A426李林880题数三线代概率部分做题本_00.扫描内部讲义汇总（含书籍扫描版增值讲义）_李林880题_李林880数三

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
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第十四章二次型87
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拓展题131
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第十七章多维随机变量及其分布132
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第十八章随机变量的数字特征147
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第十九章大数定律与中心极限定理168
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一、选择题168
二、填空题169
三、解答题170
第二十章数理统计的基本概念172
基础题172
一、选择题172
二、填空题173
三、解答题174
综合题175
一、选择题175
二、填空题177
三、解答题178
第二十一章参数估计181
基础题181
解答题181
综合题187
解答题187
拓展题189
解答题189
·第3页，共189页·线性代数
第九章行列式
基础题
一、选择题
3 0 4 0
 
2 2 2 2
(1)设行列式D= ,则D的第4行各元素的余子式之和M +M +M +M =( ).
41 42 43 44
0 -7 0 0
5 3 -2 2
A. -28 B. 28 C. 14 D. -14
(2)设β
1
,β
2
,α
1
,α
2
,α
3
均是4维列向量,且 A = β
1
,α
1
,α
2
,α
3
   =1,B = β
2
,α
1
,3α
2
,α
3
   =3,则
A+B=( ).
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
(3)设3阶矩阵A=a ij  满足AT=kA* k>0 3×3 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,若a =a =a =c>0,则c=( ). 11 12 13
3 3k2 3
A. B. C. 3k2 D.
3k 3 k2
·第4页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
二、填空题
k 0 -1 1
 
0 k 1 -1
(1)行列式 =____.
-1 1 k 0
1 -1 0 k
λ-a -1 -1
 
(2)若 -1 λ-a 1 =0,则λ=_____.
-1 1 λ-a
1 0 0 1
 
0 2 0 1
(3)行列式D = =_____.
4
0 0 3 1
1 1 1 4
·第5页，共189页·0 1 2 0
 
1 0 0 2
(4)行列式D = =_____.
4
0 3 4 0
3 0 0 4
a -1 0 0
 
0 a -1 0
(5)行列式D = =_____.
4
0 0 a -1
4 3 2 a+1
(6)设fx 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
x -2x 1 2
 
1 x 1 -1
= ,则x3的系数为_____.
3 2 3x 1
1 1 1 x
·第6页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
(7)设A是n阶方阵,且AAT=E,A<0,则A+E=_____.
(8)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则A=_____.
(9)设A,B均为n阶方阵,且A=B=A-1+B=2,则A+B-1 =_____.
·第7页，共189页·(10)设A=2,B=-2,其中A,B均为n阶方阵,则A-1B*-A*B-1 =_____.
(11)设3阶方阵A=α ,α ,α
1 2 3
 ,B=3α -α ,3α -2α ,2α -α -2α
1 2 2 1 3 1 2
 ,且B=14,则A=_____.
(12)设A=a ij  为n阶方阵,A=1,且A的每列元素之和均为kk≠0 n×n 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则A的代数余子式之和
A +A +⋯+A =_____.
11 12 1n
三、解答题
·第8页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
b a a ⋯ a
 
a b a ⋯ a
(1)计算n阶行列式D = .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a a a ⋯ b
x -1 0 ⋯ 0 0
 0 x -1 ⋯ 0 0 
n
(2)证明:D
n
= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ =xn+a
i
xn-i
0 0 0 ⋯ x -1 i=1
a a a ⋯ a x+a
n n-1 n-2 2 1
2 -1 0 ⋯ 0 0
-1 2 -1 ⋯ 0 0
0 -1 2 ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D =
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 2 -1
0 0 0 ⋯ -1 2
·第9页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
a 0 0 ⋯ 0 b
1 n
a b 0 ⋯ 0 0
1 1
 0 a b ⋯ 0 0  b 1 a 2 0 ⋯ 0 0 
2 2
0 b a ⋯ 0 0
(4)计算n阶行列式D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ + 2 3 ,其中a i ,b i 均
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
n-1 n-1
0 0 0 ⋯ a 0
n-1
b 0 0 ⋯ 0 a
n n
0 0 0 ⋯ b a
n-1 n
不为0.
综合题
一、选择题
(1)设A是3阶可逆矩阵,A-1的特征值为3,2,1,则A的代数余子式之和A
11
+A
22
+A
33
=( ).
1 1 1
A. B. C. D. 1
6 3 2
·第10页，共189页·0 0 0 1
 1 0 0 0  4 4
(2)A= 的所有代数余子式A
ij
之和A
ij
=( ).
0 1 0 0
i=1j=1
0 0 1 0
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
1 (3)设A是3阶方阵,A*是A的伴随矩阵,A= ,则 2A
2
  -1 -2A*=( ).
1 1 1 1
A. B. - C. - D.
2 2 4 4
(4)设fx 
1 x x2 x3
 
1 2 4 8
= ,则曲线y=fx
1 -1 1 -1
1 1 1 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
在(-1,2)内存在水平切线的条数为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第11页，共189页·二、填空题
A 3A*
(1)设A,B均为n阶方阵,A=6,B=1,C= B

2


  -1
O


,则C=_____.
 1 0 1
(2)设A,B均为3阶方阵,且满足A2B-A-B=E,若A=  0 2 0

-2 0 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则B=_____.
(3)设A是3阶方阵,且满足A-E=A+2E=2A+3E=0,则2A*-3E=_____.
·第12页，共189页·(4)设A是3阶方阵,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,且Aα
1
=α
1
+α
2
,Aα
2
=α
2
+α
3
,Aα
3
=α
3
+α
1
,则A=____
_.
(5)设α,β,α ,α ,α 均为4维列向量, A= α,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3
 ,B= β,α ,α ,α
1 2 3

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,且 A =2,B =1,则
A-1+B-1 =_____.
0 1 0 ⋯ 0
0 0 2 ⋯ 0 
(6)设n阶行列式A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ,则A的第k行元素的代数余子式之和A
k1
+A
k2
+⋯
0 0 0 ⋯ n-1
n 0 0 ⋯ 0
+A =_____.
kn
·第13页，共189页·三、解答题
b-a2 -a a ⋯ -a a
1 1 2 1 n
 
-a a b-a2 ⋯ -a a
(1)计算n阶行列式D = 2 1 2 2 n .
n
⋮ ⋮ ⋮
-a a -a a ⋯ b-a2
n 1 n 2 n
a+b a ⋯ a
1
 
a a+b ⋯ a
(2)计算n阶行列式D n = 2 b i ≠0
⋮ ⋮ ⋮
a a ⋯ a+b
n

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
a -1 0 ⋯ 0 0
0
 a 1 x -1 ⋯ 0 0 
a 0 x ⋯ 0 0
(3)计算n阶行列式D = 2 .
n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
a 0 0 ⋯ x -1
n-2
a 0 0 ⋯ 0 x
n-1
·第14页，共189页·a b 0 ⋯ 0 0
c a b ⋯ 0 0
0 c a ⋯ 0 0
(4)计算n阶行列式D n = a2-4bc≥0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ a b
0 0 0 ⋯ c a
 .
拓展题
解答题
3 2 2
 (1)设A= 0 1 1

0 0 3
 1 0 0
 ,B= 0 0 0

0 0 -1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,若矩阵X满足AX+2B=BA+2X,求X2.
·第15页，共189页·(2)设A为3阶非零实矩阵,且AT=kA*(k为非零常数).
(I)证明:A是可逆矩阵;
(II)求行列式A-1 + A* 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
-1  .
·第16页，共189页·第十章矩阵
基础题
一、选择题
(1)设A=a ij 
a 21 a 22 +a 23 a 23

3×3 ,B=a 31 a 32 +a 33 a 33 
a a +a a
11 12 13 13
 0 1 0

,P= 0 0 1 
1 0 0
 1 0 0

,Q= 0 1 0 
0 1 1

,则B=( ).
A. AQP B. PAQ C. QAP D. APQ
(2)设A是nn≥3  阶可逆方阵,下列选项中结论正确的是( ).
①A*  -1 =A-1  * ; ②kA  * =kn-1A* k≠0  ；
③A*  T =AT  * ; ④A*  * n-2 =A A.
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
 1 0 1
 (3)设A= 2 1 0

-3 2 -5

,则行列式 E-A  *  
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
-1  =( ).
1 1 1 1
A. B. - C. D. -
4 4 16 16
·第17页，共189页· 1 1 1

0 1 0
(4)设矩阵A= 
 2 k 3

k-1 5 1
 1 1 1

0 1 -1
与B= 
2 3 k

3 5 1

等价,则( ).
A. k=1 B. k≠1 C. k=-1 D. k≠-1
1 0 -1
 (5)设A= 2 a 1

1 2 1

,B是3阶矩阵,且rB  =2,rAB  =1,A*与B*分别是A与B的伴随矩阵,则下
列选项中正确的是( ).
A* O
A. r 
A B
  
A O
=3 B. r 
O B*
  
A* B
=3 C. r 
O A
  
A B*
=3 D. r 
O B
   =3
二、填空题
(1)设α=1,2,3  T 1 1 ,β=1, ,
2 3

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
T ,A=αβT,则An=_____.
·第18页，共189页·(2)设α=2,-1,3  T ,β=1,2,0  T ,A=αβT,E是3阶单位矩阵,则A+E  n =_____.
1 0 1
 (3)设A= 0 2 0

1 0 1

,则An=_____.
0 -1 0
 (4)设B= 1 0 0

0 0 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,A=P-1BP,则A4-2B2=_____.
·第19页，共189页·(5)设A是n阶方阵,且A=2,将A的第i行与第j行互换得到B,则行列式B-1B*BT =_____.
1 2 3 4

2 3 4 5
(6)设A= 
3 4 5 6

4 5 6 7

,则rA  =_____.
(7)若An=O,n为正整数,则E-A 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
-1 =_____.
·第20页，共189页·(8)若An=E,n为正整数,则A*  n =_____.
(9)设方阵A满足A2-3A-2E=O,则A-1=_____.
x

(10)设存在3阶矩阵A,对任意的x,y,z有A y

z
 z

= x

y

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则A=_____.
·第21页，共189页·(11)设α=k,0,⋯,0,k  T k≠0  1 ,且A=E-ααT,A-1=E+ ααT,则k=_____.
k
三、解答题
2 -1 3
 (1)设A= a 1 b

4 c 6

,且BA=O,B是3阶方阵,rB 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
>1,求An.
(2)设α,β是n维列向量,且αTβ=2,A=E+αβT.证明:A可逆,并求A-1.
·第22页，共189页·1 1 1
(3)设A-1=  1 2 1

1 1 3

,求A*  -1 .
1 0 0
 (4)设A= 2 3 0

0 4 5

,B=E+A  -1 E-A  ,求 E+B  2   -1 .
(5)已知方阵A,B,A+B  均可逆,求A-1+B-1 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
-1 .
·第23页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
(6)设AB=BA,A可逆,证明:A-1B=BA-1.
(7)设A为2n+1阶正交矩阵,且A=1,证明:A-E不可逆.
(8)设n阶方阵A,B满足A2=E,B2=E,且A+B=0,证明:A+B不可逆.
·第24页，共189页· 1 0 1
 (9)设A= 0 2 0

-1 0 1

,AB+E=A2+B,求B.
1
 0 0
 3
 1 (10)设A= 0 0
 4
 1
0 0
 7

,A-1BA=6A+BA,求B.
0 1 0

(11)设A= 1 0 0

0 0 1
 1 0 0

,B= 0 0 1

0 1 0
 1 -4 3

,C= 2 0 -1

1 -2 0

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满足AXB=C,求矩阵X.
·第25页，共189页·1 2
(12)设矩阵A满足A
0 1

2 1
=
3 2
 A,求矩阵A.
综合题
一、选择题
1 2 k

(1)设A= 1 k+1 1

k 2 1

,B是3阶非零矩阵,且AB=O,则( ).
A. 当k=1时,rB  =1 B. 当k=-3时,rB  =1
C. 当k=1时,rB  =2 D. 当k=-3时,rB  =2
a b b
 (2)设A= b a b

b b a

a,b均不为0  ,且rA* 
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=1,则必有( ).
A. a=b B. a=b或a+2b≠0
C. a+2b=0 D. a≠b且a+2b≠0
·第26页，共189页·a 11 a 12 a 13
 (3)设A=a
21
a
22
a
23 
a a a
31 32 33
 0 0 1
 ,P= 0 1 0

1 0 0

,且PnAPm=A,则正整数n,m可以为( ).
A. n=m=4 B. n=5,m=4 C. n=4,m=5 D. n=m=5
O A
(4)设A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,矩阵
B E

A B
,
O E

A AB
,
E B
 的秩分别为r ,r ,r ,则
1 2 3
正确的是( ).
A. r ≥r ≥r B. r ≥r =r C. r ≥r ≥r D. r ≥r ≥r
2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1
(5)下列选项中命题正确的是( ).
①若A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,则BCA=CAB；
②若A,B均为n阶不可逆矩阵,则A+B必不可逆;
③若A,B均为n阶不可逆矩阵,则AB必不可逆；
④若n阶矩阵A,B满足AB  2 =E,则BA 
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2 =E.
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④
·第27页，共189页·(6)设A=a ij  3×3 是非零实矩阵,且a ji =A jii,j=1,2,3  ,A 是A中元素a 的代数余子式,则A必为 ji ji
( ).
A. 对称矩阵 B. 正交矩阵 C. 对角矩阵 D. 数量矩阵
二、填空题
A O
(1)设A,B是n阶方阵,A=2,B=3,A*,B*分别是A,B的伴随矩阵,C=
O B

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,则C的伴随矩阵
C*=_____.
(2)设A是n阶可逆矩阵,A的每行元素之和均为k,则A-1的每行元素之和均为_____.
·第28页，共189页· 1 -1 -1 -1

-1 1 -1 -1
(3)设A= 
-1 -1 1 -1

-1 -1 -1 1

,则An n≥1  =_____.
0 1 0 0

0 0 1 0
(4)设A= 
0 0 0 1

0 0 0 0

,则E+A  -1 =_____.
0 2 3

(5)设矩阵A= 2 2 a

2 3 4

,3阶矩阵B≠E,且满足AB=A-B+E,其中E为单位矩阵,若rA+B 
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=
3,则常数a=_____.
·第29页，共189页·三、解答题
0 0 0 1

0 0 0 2
(1)设A= 
0 0 0 3

3 2 1 0

,求An n≥1  .
-1 1 1 -1

1 -1 -1 1
(2)设A= 
 1 -1 -1 1

-1 1 1 -1

,证明:A2+4A=O,并求E+A  -1 .
 1 1 2

(3)设A= 0 -2 -4

-1 -1 -1

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,证明:A可逆,并将A表示为初等矩阵的乘积.
·第30页，共189页·1 0 0
 (4)设A= 0 -2 0

0 0 1

,且A*BA=2BA-8E,求B.
 1 0 1

(5)设矩阵X满足 2 1 -1

-1 -1 2
  0 1

X= 2 0

-2 1

,求X.
A C
(6)设分块矩阵P=
O B

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为正交矩阵,A,B分别是m阶和n阶方阵,证明:A与B是正交矩阵.
·第31页，共189页·拓展题
解答题
(1)设列向量α=1,2,1  T 1 ,β=1, ,0
2
 T ,γ=0,0,8  T ,A=αβT,B=βTα,且2B2A2x=A4x+B4x+γ,
求x.
1 1 0
 (2)设A= 0 1 1

1 0 1

,X是3阶矩阵,且满足A*  * XA*=4AX+A  .求:
(I)行列式 A* 
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*  ；
(II)矩阵X.
·第32页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
第十一章向量
基础题
一、选择题
(1)若α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,则( ).
1 2 3 2 3 4
A. α 可由α ,α 线性表示 B. α 可由α ,α ,α 线性表示
1 2 3 4 1 2 3
C. α 可由α ,α 线性表示 D. α 可由α ,α 线性表示
4 1 3 4 1 2
(2)向量组α ,α ,⋯,α 线性无关等价于( ).
1 2 n
A. 存在一组不全为0的数,使其线性组合不为0
B. 存在一个向量不能由其他向量线性表示
C. 任何一个向量均不能由其他向量线性表示
D. 其中任意两个向量线性无关
(3)设向量组α ,α ,α ,α 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
1 2 3 4
A. α +α ,α +α ,α +α ,α +α B. α +α ,α +α ,α +α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
C. α +α ,α -α ,α +α ,α -α D. α -α ,α -α ,α -α ,α -α
1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
·第33页，共189页·(4)设向量组I  :β 1 ,β 2 ,⋯,β t ;II  :α ,α ,⋯,α ,则下列选项中命题正确的是( ). 1 2 s
①若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,且s<t,则必有向量组(I)线性相关；
②若向量组(II)可由向量组(I)线性表示,且s<t,则必有向量组(I)线性相关；
③若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,且向量组(I)线性无关,则必有s≥t；
④若向量组(II)可由向量组(I)线性表示,且向量组(I)线性无关,则必有s≥t.
A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④
(5)设α =a ,a ,a 1 1 2 3  T ,α =b ,b ,b 2 1 2 3  T ,α =c ,c ,c 3 1 2 3  T ,其中a2 i +b2 i ≠0i=1,2,3  ,则三条直线a x i
+b i y+c i =0i=1,2,3  恰好仅交于一点的充分必要条件是( ).
A. rα ,α ,α
1 2 3
 =3 B. rα ,α ,α
1 2 3
 =1
C. rα ,α ,α
1 2 3
 =rα ,α
1 2
 D. rα ,α ,α
1 2 3
 =rα ,α
1 2

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=2
(6)设α ,α ,α 均为3维向量,则对任意常数k和μ,向量组α +kα ,α +μα 线性无关是向量组α ,α ,
1 2 3 1 3 2 3 1 2
α 线性无关的( ).
3
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
·第34页，共189页·1

0
(7)设α = 
1 0

c
1

1

2

,α =0
2
0

c
2

-1

2
 ,α =
3  3

 c
3
 -2

1
 ,α =
4  5

 c
4

,其中c ,c ,c ,c 为任意常数,则( ).
1 2 3 4
A. α ,α ,α 线性无关 B. α ,α ,α 线性相关
1 2 3 1 2 3
C. α ,α ,α ,α 线性无关 D. α ,α ,α ,α 线性相关
1 2 3 4 1 2 3 4
(8)设向量组α ,α ,α -2α +α 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).
1 2 1 2 3
A. α +α ,α +α ,α -α B. α ,α ,α
1 2 2 3 3 1 1 2 3
C. α -α ,α -α ,α -2α +α D. α +α ,α +α ,α +2α +α
1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
二、填空题
(1)已知向量α 1 =1,2,3  T ,α 2 =2,-1,1  T ,α 3 =-2,k,4 
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T线性相关,则k=_____.
·第35页，共189页·(2)设向量组I  :α 1 =1,1,2  T ,α 2 =2,3,3  T ;II  :β 1 =2,3,5  T ,β 2 =-1,0,1  T ,则既可由向量组(I)
线性表示,又可由向量组(II)线性表示的非零列向量为_____.
三、解答题
(1)设向量组α 1 =1,1,1,3  T ,α 2 =-1,-3,5,1  T ,α 3 =3,2,-1,a+2  T ,α 4 =-2,-6,10,a  T .问:
(I)当a为何值时,该向量组线性无关?并将向量β=4,1,6,10 
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T用α ,α ,α ,α 线性表示； 1 2 3 4
(II)当a为何值时,该向量组线性相关?并求其一个极大线性无关组.
·第36页，共189页·(2)设向量组α 1 =0,4,2  T ,α 2 =1,1,0  T ,α 3 =-2,4,3  T ,α 4 =-1,1,1  T ,求α ,α ,α ,α 的一个极大 1 2 3 4
线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
(3)设α 1 =1,0,2,3  T ,α 2 =1,1,3,5  T ,α 3 =1,-1,a,1  T ,β=1,b,4,7 
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T ,问:
(I)当a,b为何值时,β不能由α ,α ,α 线性表示?
1 2 3
(II)当a,b为何值时,β可由α ,α ,α 线性表示?并写出表达式.
1 2 3
·第37页，共189页·(4)设向量组α 1 =1,2,-3  T ,α 2 =3,0,1  T ,α 3 =9,6,-7  T与向量组β 1 =0,1,-1  T ,β 2 =k,2,1  T ,
β 3 =μ,1,0  T有相同的秩,且β 可由α ,α ,α 线性表示,求k,μ的值. 3 1 2 3
(5)设有向量组(I):α 1 =2,3,5  T ,α 2 =0,1,2  T ,α 3 =1,0,0  T ;(II):β 1 =3,1,2  T ,β 2 =1,1,1  T ,β = 3
1,1,-1  T ,β 4 =2,1,0 
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T ,证明:向量组(I)与向量组(II)等价.
(6)设向量组α ,α ,⋯,α 线性无关,且可由向量组β ,β ,⋯,β 线性表示,证明:这两个向量组等价.
1 2 k 1 2 k
·第38页，共189页·(7)设向量组I  :α 1 ,α 2 ,⋯,α s ;II  :β 1 ,β 2 ,⋯,β t ,rI  =rII  ,且向量组(I)可由向量组(II)线性表示.
证明:向量组(I)与向量组(II)等价.
(8)设向量组I  :α 1 ,α 2 ,α 3 ;II  :α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ;II  :α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 5 ,且rI  =rII  =3,rIII 
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=4,证明:向量
组α ,α ,α ,α -α 的秩为4.
1 2 3 5 4
(9)设A是3阶方阵,α ,α 为A的分别属于特征值-2,1的特征向量,且Aα =α +α ,证明:α ,α ,α
1 2 3 2 3 1 2 3
线性无关.
·第39页，共189页·(10)设矩阵A 5×4 的秩为2,α 1 =1,1,2,3  T ,α 2 =-1,1,4,-1  T ,α 3 =5,-1,-8,9  T是方程组Ax=0的
解向量,求Ax=0的基础解系,并将其正交单位化.
综合题
一、选择题
(1)设A是m×n矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,向量组(I):α ,α ,⋯,α；(II):Aα ,Aα ,⋯,Aα,则
1 2 t 1 2 t 1 2 t
下列选项中正确的是( ).
A. 若向量组(I)线性无关,则向量组(II)线性无关
B. 若向量组(II)线性相关,则向量组(I)线性相关
C. 若向量组(II)线性无关,则向量组(I)线性无关
D. 向量组(I)与向量组(II)具有相同的线性相关性
(2)设3维列向量α ,α ,α 线性相关,α ,α ,α 线性无关,记β ,β ,β
1 2 3 2 3 4 1 2 3
 =α ,α ,α
1 2 3
 A ,γ ,γ ,γ
3×3 1 2 3
 =
α ,α ,α
2 3 4

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B ,则( ).
3×3
A. 存在矩阵A ,使得β ,β ,β 线性无关 B. 不存在矩阵A ,使得β ,β ,β 线性相关
3×3 1 2 3 3×3 1 2 3
C. 存在矩阵B ,使得γ ,γ ,γ 线性无关 D. 不存在矩阵B ,使得γ ,γ ,γ 线性相关
3×3 1 2 3 3×3 1 2 3
·第40页，共189页·(3)设向量α ,α ,α 满足k α +k α +k α =0,k ,k ,k 为常数,且k k ≠0,则( ).
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3
A. α 与α 等价 B. α ,α 与α ,α 等价
1 3 1 2 1 3
C. α ,α 与α ,α 等价 D. α ,α 与α ,α 等价
1 2 2 3 1 3 2 3
(4)设n维向量组I  :α 1 ,α 2 ,⋯,α kk<n  线性无关,则n维向量组II  :β ,β ,⋯,β 也线性无关的充 1 2 k
分必要条件是( ).
A. β ,β ,⋯,β 可由α ,α ,⋯,α 线性表示 B. α ,α ,⋯,α 可由β ,β ,⋯,β 线性表示
1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k
C. 向量组(I)与向量组(II)等价 D. 矩阵α ,α ,⋯,α
1 2 k
 与β ,β ,⋯,β
1 2 k
 等价
(5)设4维列向量α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关,β ii=1,2,3,4  为非零列向量,且β 与α ,α ,α 均正交,则 i 1 2 3
rβ ,β ,β ,β
1 2 3 4

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=( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第41页，共189页·(6)设A,B均是m×n矩阵,则Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是( ).
A. A,B的列向量组等价 B. A,B的行向量组等价
C. A,B是等价矩阵 D. ATx=0与BTx=0同解
(7)设A,B为n阶矩阵,P,Q为n阶可逆矩阵,下列选项中错误的是( ).
A. 若A=BQ,则B的列向量组与A的列向量组等价
B. 若A=PB,则B的行向量组与A的行向量组等价
C. 若A=PBQ,则矩阵A与B等价
D. 若A=PBQ,则B的行(列)向量组与A的行(列)向量组等价
(8)设A,B分别为m×n与n×s矩阵,且rA 
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=n,则下列选项中正确的是( ).
A. AB的列向量组与B的列向量组等价 B. AB的行向量组与B的行向量组等价
C. AB的列向量组与A的列向量组等价 D. AB的行向量组与A的行向量组等价
·第42页，共189页·二、填空题
设向量组α 1 =1,k+2,3  T ,α 2 =2,-1,1  T ,α 3 =k-1,1,-1  T线性相关,但任意两个向量线性无关,
则k=_____.
三、解答题
1 0 0 0

(1)设A= 1 2 0 0

2 4 3 -3

=α ,α ,α ,α
1 2 3 4

1 0 0 0

,B= 0 2 0 0

0 0 3 0

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.求:
(I)向量组α ,α ,α ,α 的一个极大线性无关组；
1 2 3 4
(II)可逆矩阵P ,Q ,使得PAQ=B.
3×3 4×4
·第43页，共189页·(2)设向量组α 1 =1,0,1  T ,α 2 =0,1,1  T ,α 3 =1,3,5  T不能由向量组β 1 =1,1,1  T ,β 2 =1,2,3  T ,β 3
=3,4,a  T线性表示,求a的值,并将β ,β ,β 用α ,α ,α 线性表示. 1 2 3 1 2 3
(3) 设 A = α ,α ,α 1 2 3  , 其中 α 1 = 1,0,1  T ,α 2 = 1,1,2  T ,α 3 = 1,2,a  T ,B = β ,β 1 2  , 其中 β = 1
-1,2,1  T ,β 2 =1,0,b 
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T .问:
(I)当a,b为何值时,β ,β 不能同时由α ,α ,α 线性表示?
1 2 1 2 3
(II)当a,b为何值时,β ,β 可同时由α ,α ,α 线性表示?并求表达式.
1 2 1 2 3
·第44页，共189页·(4)设n维向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α kk<n  线性无关,且α =λ α +λ α +⋯+λ α ,λ ≠0,i=1,2,⋯,k, k+1 1 1 2 2 k k i
证明:α ,α ,⋯,α ,α 中任何k个向量都线性无关.
1 2 k k+1
(5)设矩阵A=α 1 ,α 2 ,⋯,α m  ,α i 为n维列向量i=1,2,⋯,m 
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,且m≤n,证明:α ,α ,⋯,α 线性无关 1 2 m
的充分必要条件是ATA≠0.
·第45页，共189页·(6)设A是3阶方阵,A的特征值为λ 1 =1,λ 2 =2,λ 3 =3,对应的特征向量分别为α 1 =1,1,1  T ,α = 2
1,2,4  T ,α 3 =1,3,9  T ,另一个向量β=1,1,3  T .
(I)试将β用α ,α ,α 线性表示；
1 2 3
(II)求Anβ(n为正整数).
(7)设A是m×n矩阵,α 与α 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解.
1 2
(I)证明:α ,α -α 线性无关;
1 1 2
(II)若β是Ax=0的一个非零解向量,rA 
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=n-1,证明:β,α ,α 线性相关. 1 2
·第46页，共189页·  x 1 -3x 2 +x 3 =2,

(8)设α ,α ,α 是方程组 2x +x -x =-1, 的解向量,证明:α -α ,α -α 线性相关.
1 2 3  1 2 3 1 2 1 3

 7x -2x =-1
1 3
(9)设A是3阶矩阵,α ii=1,2,3  是3维非零列向量,且Aα i =iα ii=1,2,3 
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,α=α +α +α ,证明:α, 1 2 3
Aα,A2α线性无关.
·第47页，共189页·1 1 2 5

(10)设矩阵A= 1 2 2 6

1 a 2 5a

的秩为2.求:
(I)a的值;
(II)A的列向量组的一个极大线性无关组α ,α ,并求矩阵H,使得A=GH,其中G=α ,α
1 2 1 2
 .
拓展题
解答题
(1)设向量组α 1 =1,1,1,2  T ,α 2 =3,a+4,2a+5,a+7  T ,α 3 =4,6,8,10  T ,α 4 =2,3,2a+3,5  T ,α=
0,1,3,b 
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T
.
(I)求向量组α ,α ,α ,α 的秩及其一个极大线性无关组；
1 2 3 4
(II)若α不能由α ,α ,α ,α 线性表示,求a,b的取值.
1 2 3 4
·第48页，共189页·(2)设A=α ,α ,α 1 2 3  ,α 1 =0,3,c  T ,α 2 =a,2,1  T ,α 3 =b,1,0  T ,B=β ,β ,β 1 2 3  ,β 1 =1,2,-3  T ,β = 2
3,0,1  T ,β 3 =9,6,-7  T ,且rA  =rB 
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,α ,α 可由β ,β ,β 线性表示. 2 3 1 2 3
(I)求a,b,c的值;
(II)若BX=A,求矩阵X.
·第49页，共189页·第十二章线性方程组
基础题
一、选择题
(1)已知η ,η 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,ξ ,ξ 是对应齐次线性方程组Ax=0的基础
1 2 1 2
解系,k ,k 为任意常数,则Ax=b的通解为( ).
1 2
A. k ξ +k ξ +ξ
1 1 2 1 2

η -η
+ 1 2 B. k ξ +k ξ -ξ
2 1 1 2 1 2

η +η
1 2 +
2
C. k ξ +k η +η
1 1 2 1 2

η -η
+ 1 2 D. k ξ +k η -η
2 1 1 2 1 2

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η +η
1 2 +
2
(2)设A是n阶矩阵,对方程组(I):Ax=0和(II):ATAx=0,必有( ).
A. 方程组(II)的解是(I)的解,方程组(I)的解也是(II)的解
B. 方程组(II)的解是(I)的解,但方程组(I)的解不是(II)的解
C. 方程组(I)的解不是(II)的解,方程组(II)的解也不是(I)的解
D. 方程组(I)的解是(II)的解,但方程组(II)的解不是(I)的解
(3)设A是n阶矩阵,若对任意的n维列向量α,有A*α=0,则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k
满足( ).
A. k=0 B. k=1 C. k>1 D. k=n
·第50页，共189页·λx +x +λ2x =0,
 1 2 3

(4)设方程组 x +λx +x =0, 的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则必有( ).
 1 2 3

 x +x +λx =0
1 2 3
A. λ=-2且B=0 B. λ=-2且B≠0 C. λ=1且B=0 D. λ=1且B≠0
(5)设矩阵A ,B ,则( ).
m×n n×m
A. 当m>n时,AB必可逆 B. 当m>n时,必有AB=0
C. 当n>m时,必有rAB 
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<m D. 当n>m时,ABx=0必有唯一解
(6)设矩阵A ,B 满足AB=E,其中E是单位矩阵,α与β为非零列向量,则下列选项中正确的
m×n n×m
是( ).
A. 方程组AX=α有唯一解,方程组BX=β有唯一解
B. 方程组AX=α有无穷多解,方程组BX=β有无穷多解
C. 方程组AX=0仅有零解,方程组BX=β有解
D. 方程组AX=α有解,方程组BX=0仅有零解
·第51页，共189页·二、填空题
x +2x +x =3, 1 2 3
(1)设方程组 2x 1 +k+4 
 

x -5x =6,,有无穷多解,则k=_____.  2 3

 -x -2x +kx =-3
1 2 3
1 2 1
 (2)设A= 2 3 a+2 
1 a -2

,β 1 =1,3,4  T ,β 2 =0,1,2 
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T ,若方程组AX=β 有解,且AX=β 无解,则a= 1 2
_____.
三、解答题
  2x 1 -x 2 +4x 3 -3x 4 =-4,
x +x -x =-3,
1 3 4
(1)求方程组 的通解.

3x +x +x =1,
 1 2 3
 7x +7x -3x =3
1 3 4
·第52页，共189页·  2x 1 +λx 2 -x 3 =1,

(2)设方程组 λx -x +x =2, 问:当λ为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?当有
 1 2 3

 4x +5x -5x =-1,
1 2 3
无穷多解时,求其通解.
x +x =0, x -x +x =0,
 1 2  1 2 3
(3)设有方程组①: 与②: 求:
x -x =0 x -x +x =0.
2 4 2 3 4
(I)方程组①与②的基础解系;
(II)方程组①与②的非零公共解.
x +x =0,
 1 2 (4)设有方程组(I): 与(II):Ax=0,其中(II)的基础解系为α 1 = -1,2,2,1
x -x =0
2 4
 T , α = 2
0,-1,-1,0 
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T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解.
·第53页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
  x 1 -x 4 =-2,   x 1 +ax 2 -x 3 -x 4 =-5,
 
(5)设有方程组① x -x =-4, ②: bx -x -2x =-11,
 2 4  2 3 4
 
 -4x -x +6x =21,  x -2x =-c+1.
2 3 4 3 4
(I)求方程组①的通解;
(II)问:当a,b,c为何值时,方程组①与②同解？
(6)设n阶矩阵A满足A=0,A
ij
为A的元素a
ij
对应的代数余子式,且A
11
≠0,求方程组A*x=0的
基础解系和通解.
·第54页，共189页·(7)已知4×3矩阵A=α ,α ,α 1 2 3  ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,-1  T +k1,-2,3  T ,k为
任意常数,令B=α ,α ,α ,β+α
1 2 3 3
 ,求方程组By=α -α 的通解.
1 2
(8)设A是5×4矩阵,rA  =2,已知α ,α ,α 是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且α +α 1 2 3 1 2
=4,6,-8,4  T ,α 3 =1,2,-1,1  T ,又0,1,-3,0 
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T是Ax=0的解,求Ax=b的通解.
综合题
一、选择题
(1)设A是m×n矩阵,m<n,且A的行向量组线性无关,b ,b 分别为m维、n维非零列向量,则下列
1 2
选项中错误的是( ).
A. ATx=0只有零解 B. ATAx=0必有非零解
C. Ax=b 必有无穷多解 D. ATx=b 必有唯一解
1 2
·第55页，共189页·(2)设A是m×n矩阵,则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是( ).
A. rA∣b  <n B. Ax=0有非零解
C. Ax=b有两个不同解 D. A的列向量组线性相关
(3)设AT=α ,α ,⋯,α 1 2 n-1  是n×n-1  矩阵,rAT  =n-1,β ,β 是与α ,α ,⋯,α 都正交的两 1 2 1 2 n-1
个不同的n维列向量,k是任意常数,则方程组Ax=0的通解为( ).
A. kβ -β
1 2
 B. kβ +β
1 2
 C. kβ D. kβ
1 2
(4)设n维实列向量α满足αTα=2,A,B均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,且AE-2ααT  =B,则( ).
A. 方程组BX=0与方程组E-2ααT  X=0同解
B. 方程组BTX=0与方程组E-2ααT 
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X=0同解
C. 方程组BX=0与方程组AX=0同解
D. 方程组BTX=0与方程组ATX=0同解
·第56页，共189页·(5)设A是n阶实对称矩阵,B是n阶实矩阵,若对任意n维非零列向量α,都有αT AB+BTA  α>0,则
下列选项中正确的是( ).
A. 方程组ABX=α有无穷多解 B. 方程组ABX=α无解
C. 方程组AX=α有唯一解 D. 方程组AX=α无解
二、填空题
(1)设α ,α ,α ,β均为三维列向量,A=β-α -2α -3α ,α ,α ,α
1 2 3 1 2 3 1 2 3
 ,则方程组Ax=β的一个特解为_
____.
(2)设A=a ij  3×3 为实矩阵,且A ij =a iji,j=1,2,3  ,其中A ij 为a ij 的代数余子式,a 33 =1,A=1,则
x 1

方程组Ax
2 
x
3
 0

= 0

1

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的解为_____.
·第57页，共189页·3
(3)设A是2阶矩阵,线性方程组AX=
2
 的通解为k-2,1  T +3,-4  T .若β=5,-10  T ,则βTAβ
=_____.
三、解答题
(1)设A是m×n矩阵,rA  =n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α ,α ,α 满足α +α = 1 2 3 1 2
1,2,3,4  T ,α 2 +2α 3 =-2,1,5,3  T ,2α 3 +3α 1 =11,5,-6,7 
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T ,求方程组Ax=b的通解.
·第58页，共189页·(2)设A=α ,α ,α ,α 1 2 3 4  是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为1,2,2,1  T T +k(1,-2,4,0) ,
k为任意常数,记B=α ,α ,α ,β-α
3 2 1 4
 .
(I)证明:rB  =2;
(II)求方程组Bx=α -α 的通解.
1 2
(3)设A为3×4矩阵,rA  =1,若向量组α 1 =1,2,0,2  T ,α 2 =-1,-1,1,a  T ,α 3 =1,-1,a,5  T ,α = 4
2,a,-3,-5 
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T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.
·第59页，共189页·  l 1 :ax+2by+3c=0,

(4)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l :bx+2cy+3a=0, 证明:这三条直线交于一点的充分必
 2

 l :cx+2ay+3b=0,
3
要条件为a+b+c=0.
(5)设A是3阶方阵,A=a ij  3×3 ,且a ij =A iji,j=1,2,3  ,其中A 为a 的代数余子式,a ≠0,b= ij ij 33
a ,a ,a
13 23 33

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T
,求非齐次线性方程组Ax=b的解.
(6)设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.
·第60页，共189页·(7)设A是3阶矩阵,向量β=3,3,3  T ,非齐次线性方程组Ax=β的通解为k 11,2,-2  T +k 22,1,2  T
+1,1,1  T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)证明:任意3维列向量α可由A的三个特征向量线性表示;
(II)若α=1,2,-1  T ,求Aα.
(8) 设 n 阶方阵 A 的行列式 A = 0,A 有一个代数余子式 A
ij
≠ 0, 证明:Ax = 0 的通解
kA ,A ,⋯,A
i1 i2 in

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T
,k为任意常数.
·第61页，共189页·(9) 设有 4 维列向量组 α ,α ,α ,α , 且 α ,α ,α 线性无关, α = α + α + 2α , B =
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3
α -α ,α +α ,-α +kα +α
1 2 2 3 1 2 3
 ,方程组Bx=α 有无穷多解.求:
4
(I)k的值;
(II)方程组的通解.
a-3 -1 2

(10)设A= -1 a-3 2

 -1 -1 a

,且rE-A  =1.
(I)求a的值;
(II)若非零列向量α,β满足A-E  α=β,A2-E 
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α=2β,求α,β.
·第62页，共189页·-1 0 1
(11)设A=
-1 1 a

-1 1
 ,B= -1 1

 b 2

.
(I)若方程组AX=0的解均是方程组BTX=0的解,但这两个方程组不同解,求a,b的值；
(II)若方程组AX=0与方程组BTX=0有非零公共解,求a,b的值,并求全部非零公共解.
2 0 0 2

(12)设A= 1 1 0 3

0 1 3 5
 1 0 1 2

,B= 0 2 0 4

0 1 a-1 a-3
 2

,α= 2

1
  1

,β= 2

-1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
(I)证明:方程组AX=α的解均是方程组BX=β的解;
(II)若方程组AX=α与方程组BX=β不同解,求a的值.
·第63页，共189页·a 1 1
 (13)设矩阵A= 0 a-1 0

1 1 a
 b
 不可逆,β= 1

1

.已知方程组ATX=0的解均是βTX=0的解.求:
(I)a,b的值;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
拓展题
解答题
 1 2a 1
1 
设A= -1 2 2b
2 
 2 2c - 2

.
(I)当A是正交矩阵时,求a,b,c的值；
1

(II)当A是正交矩阵时,求方程组Ax= 1

1

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的解.
·第64页，共189页·第十三章相似矩阵
基础题
一、选择题
1
(1)设λ=2是矩阵A的一个特征值,且A≠0,则 A2
3

-1
有一个特征值为( ).
4 3 1 1
A. B. C. D.
3 4 2 4
(2)设4阶实对称矩阵A的特征值为0,1,2,3,则rA  =( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)设C=diag1,2,2 
2 0 0

,A= 0 2 1

0 0 1
 2 1 0

,B= 0 2 0

0 0 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则( ).
A. A与C相似,B与C不相似 B. A与C相似,B与C相似
C. A与C不相似,B与C相似 D. A与C不相似,B与C不相似
·第65页，共189页·(4)下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( ).
 1 -1 3

A. A= -1 2 0

 3 0 6
 1 0 0

B. B= 0 2 0

5 0 3

0 0 0

C. C= 0 0 0

1 2 3
 1 2 0

D. D= 0 0 3

0 0 0

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
(5)设矩阵A与B相似,则必有( ).
A. 矩阵λE-A与λE-B相等 B. A,B同时可逆或不可逆
C. A和B有相同的特征向量 D. A和B均与同一个对角矩阵相似
(6)设A为3阶方阵,A的三个特征值为1,1,2,α ,α ,α 分别为对应的三个特征向量,则( ).
1 2 3
A. α ,α ,α 必为2E-A的特征向量
1 2 3
B. α +α 必为2E-A的特征向量
1 3
C. α -α 必为2E-A的特征向量
1 2
D. α ,α 必为2E-A的特征向量,α 不是2E-A的特征向量
1 2 3
·第66页，共189页·(7)设3阶实矩阵A有三重特征值1,fx  =xE-A-A-1 ,其中E是3阶单位矩阵,x∈R,则至少存
在一点x 0 ∈0,1  ,使得y=fx  在点 x ,fx 0 0    处的切线( ).
A. 平行于直线y=1 B. 垂直于直线y=1 C. 平行于直线y=x D. 垂直于直线y=x
二、填空题
1 2 2

(1)已知A= 2 1 2

2 2 1
 -1 0 0

与B= 0 5 0

 0 0 a

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
相似,则a=_____.
(2)设方阵A满足A2+2A+E=O,则A有特征值_____.
·第67页，共189页·(3)设3阶矩阵A的特征值为0,1,2,B=A3-2A2,则rB  =_____.
三、解答题
1 2 2

(1)设A= 2 1 2

2 2 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.求:
(I)A的全部特征值和特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ；
(III)正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ.
·第68页，共189页·(2)判别下列矩阵A与B是否相似.若相似,则求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
1 1 1

(I)A= 1 1 1

1 1 1
 3 0 0

,B= 0 0 0

0 0 0

;
2 0 0

(II)A= 0 0 1

0 1 0
 1 0 0

,B= 0 -1 0

0 -6 2

.
 2 -1 2
 (3)设矩阵A= 5 a 3

-1 b -2

有特征向量α=1,1,-1 
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T .
(I)试确定参数a,b及α对应的特征值λ；
(II)问:A能否相似于对角矩阵？并说明理由.
·第69页，共189页· 1 -1 1
 (4)设A= x 4y y

-3 -3 5

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,A∼Λ,且λ=2是A的二重特征值,求x,y的值及可逆矩阵P,使得P-1AP
=Λ.
(5)设A是3阶矩阵,α ,α ,α 是线性无关的3维列向量,且Aα =α +α +α ,Aα =2α +α ,Aα =
1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3
2α +3α .求:
2 3
(I)A的全部特征值;
(II)可逆矩阵P及Λ,使得P-1AP=Λ,并计算A-2E.
·第70页，共189页·1 2 3
 (6)设A是3阶实对称矩阵,A∼B,B= 2 4 6 
3 6 9

,A的二重特征值对应的特征向量为α 1 =1,1,0  T ,
α 2 =0,2,1  T .求:
(I)A的特征值与特征向量;
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
1 a 1

(7)已知A∼B,A= 1 5 1

4 12 6
 b

,B= b

 c

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,求a,b,c的值.
·第71页，共189页·(8)设3阶实对称矩阵A的特征值为λ 1 =λ 2 =1,λ 3 =-1,α 1 =1,1,1  T和α 2 =2,2,1  T是λ =λ =1 1 2
对应的特征向量.求:
(I)A的属于λ =-1的特征向量；
3
(II)矩阵A.
(9)(I)设A是n阶实对称矩阵,且A2=A,rA  =rr<n  ,计算3E-A；
(II)设A是n阶矩阵,且A2=A,rA  =rr<n 
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,计算3E-A.
·第72页，共189页· 1 1 1
 (10)设矩阵A=a 21 a 22 a 23

a a a
31 32 33

有3个特征向量α 1 =1,1,1  T ,α 2 =1,1,0  T ,α 3 =1,0,0 
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T .求:
(I)A;
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=AT.
综合题
一、选择题
(1)设A,B是n阶可逆矩阵,且A-1∼B-1,则下列选项中结果正确的个数为( ).
①AB∼BA； ②A∼B； ③A2∼B2； ④AT∼BT.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第73页，共189页·1 1 0 0

1 1 0 0
(2)设矩阵B相似于A=  0 0 2 2

0 0 2 2

,则r 1 =rB  ,r 2 =rB-E  ,r 3 =rB-2E  满足( ).
A. r <r <r B. r <r <r C. r <r <r D. r <r <r
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2
0

(3)与Λ= 1
 -1

既相似又合同的矩阵是( ).
1 0 0

A. A= 0 1 -1

0 2 -2
 1 0 0

B. B= 0 -1 -2

0 -2 -4

1 0 0
 1 1
C. C=
0 -
2 2

 1 1
0 -
 2 2

1 0 0

D. D= 0 -1 2

0 2 2

1 1 0

(4)下列矩阵中,与矩阵 0 1 1

0 0 1

相似的是( ).
1 1 -1

A. 0 1 1

0 0 1
 1 0 -1

B. 0 1 1

0 0 1
 1 1 -1

C. 0 1 0

0 0 1
 1 0 -1

D. 0 1 0

0 0 1

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·第74页，共189页·(5)设n阶矩阵A有特征值λ =1,λ =-1,对应的特征向量为α ,α ,k为任意常数,则下列选项中正确
1 2 1 2
的是( ).
A. kα 必是A的特征向量 B. α -α 必是A的特征向量
1 1 2
C. α +α 必是A的特征向量 D. α +α 必是A2的特征向量
1 2 1 2
(6)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1.k ,k 为任意常数,则方程 1 2
组AX=0的通解为( ).
A. k 11,1,0  T +k 21,-1,0  T B. k 11,1,0  T +k 21,0,1  T
C. k 11,1,0  T +k 21,1,1  T D. k 11,1,0  T +k 21,0,-1  T
(7)设3维列向量α ,α ,α 线性无关,A=a
1 2 3 ij

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满足Aα =α ,Aα =α +α ,Aα =α +α ,A 是a
3×3 1 1 2 2 3 3 1 3 ij ij
的代数余子式,则A +A +A =( ).
11 22 33
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
·第75页，共189页·二、填空题
(1)设A是3阶方阵,α为3维列向量,P=α,Aα,A2α

为可逆矩阵,B=P-1AP,且A3α+2A2α=3Aα,
则A+E=_____.
(2)设A 3×3 是秩为1的实对称矩阵,λ 1 =2是A的一个特征值,对应的特征向量为α 1 =-1,1,1  T ,则
方程组Ax=0的基础解系为_____.
(3)设α 1 ,α 2 ,⋯,α kk>1 
k
是n维正交单位实列向量组,A=ααT,E是n阶单位矩阵,则行列式 i i
i=1
A+E 
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*
 =_____.
·第76页，共189页·三、解答题
1 2 1
 (1)设A= 2 4 k

1 k 1

有一个特征值为0,求k的值,并求一个正交矩阵Q,使得QTAQ=Λ.
(2)已知A=α ,α ,α
1 2 3
 是3阶可逆矩阵,B是3阶矩阵,且BA=α ,-4α ,-α
1 3 2

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.求:
(I)B的全部特征值;
(II)可逆矩阵P和对角矩阵Λ,使得P-1BP=Λ.
·第77页，共189页·(3)设A是nn≥2  阶矩阵,α ,α ,⋯,α 是n维列向量,且Aα =α ,Aα =α ,⋯,Aα =α ,Aα =0, 1 2 n 1 2 2 3 n-1 n n
α ≠0.
n
(I)证明:α ,α ,⋯,α 线性无关;
1 2 n
(II)求可逆矩阵P及三角矩阵B,使得P-1AP=B.
(4)设A 有三个不同的特征值λ ,λ ,λ ,它们对应的特征向量分别为α ,α ,α ,令β=α +α +α .
3×3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
(I)证明:β,Aβ,A2β线性无关;
(II)若A3β=Aβ,求rA-E 
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.
·第78页，共189页·(5)设α=a 1 ,a 2 ,⋯,a n  T ,β=b 1 ,b 2 ,⋯,b n  T 均为非零列向量,A=αβT.
(I)求A的全部特征值;
(II)问:当αTβ满足什么条件时,A可以相似于对角矩阵Λ？并求可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
(6)设nn≥2 
a 1 1 ⋯ 1

1 a 1 ⋯ 1

阶矩阵A=1 1 a ⋯ 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 1 1 ⋯ a

.求:
(I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)rA* 
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.
·第79页，共189页·(7)设α,β为3维单位列向量,且αTβ=0,记A=αβT+βαT.
(I)证明:A相似于对角矩阵;
(II)若存在3维列向量γ≠0,使得Aγ=0,记P= γ,2α+β   ,β-α  ,求P-1AP.
1 a 12 a 13

(8)设A=1 a
22
a
23

1 a a
32 33
 1 2a 12 2a 13

可逆,B是3阶实对称矩阵,且满足BA=1 2a
22
2a
23

1 2a 2a
32 33

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.求:
(I)B的特征值和对应的特征向量;
(II)正交矩阵Q,使得QTBQ=Λ.
·第80页，共189页·(9) 设向量组   α 1 = -a,0,1  T ,α 2 = 1-a,a,1-a  T ,α 3 = 1,0,-a  T ,(ii)β 1 = -1,0,a  T , β = 2
-1,1,a  T ,β 3 =1,-1,-a  T a≠0  ,向量组(i)与(ii)等价.
(I)求a的值;
(II)记A=α ,α ,α
1 2 3
 ,问当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ？并求Q及Λ.
a 0 1

(10)设A= 0 -a 0

1 0 a
 -1 1 0

,B= 1 -1 0

 0 0 -a
 1

,β= 1

a

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,a≠0.若方程组AX=β有无穷多解.
(I)求a的值,并求方程组AX=β的全部解；
(II)问当a为何值时,存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B?并求正交矩阵Q.
·第81页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
(11)设A,B均是n阶矩阵.
(I)证明:AB与BA有相同的特征值;
(II)若AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明:B相似于对角矩阵.
(12)设A是n阶实对称矩阵,α ,α ,⋯,α 是A的n个单位正交特征向量,对应的特征值为λ ,λ ,⋯,
1 2 n 1 2
λ ,证明:A=λ α αT+λ α αT+⋯+λ α αT.
n 1 1 1 2 2 2 n n n
·第82页，共189页·(13)设A是2阶矩阵,α是非零向量,且α不是A的特征向量.
(I)证明:α,Aα线性无关;
(II)记P=α,Aα  ,若A2α-2Aα=8α,证明:A相似于对角矩阵,并求P-1AP.
(14)设向量β=b,1,1  T可由α 1 =a,0,1  T ,α 2 =1,a-1,1  T ,α 3 =1,0,a  T线性表示,且表示法不唯
一.记A=α ,α ,α
1 2 3

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.求:
(I)a,b的值,并写出β由α ,α ,α 表示的线性表达式；
1 2 3
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ.
·第83页，共189页·2 1 0

(15)设A= 1 2 0

0 0 1
  a b c

与B= 0 1 0

-1 -2 4

相似.
(I)求a,b,c的值;
(II)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B；
(III)记A的伴随矩阵为A*,求方程组3E-A*  X=0的通解.
 1 -1 0
 (16)设B= 1 0 k

-1 1 1-k

不可逆,且满足AB=B,B* AT+E  =O,其中A是3阶矩阵,E是3阶单
位矩阵,B*是B的伴随矩阵.
(I)求rB* 
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;
(II)证明:A相似于对角矩阵,并求A2.
·第84页，共189页·拓展题
解答题
(1)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P-1AP=diag1,2,-1  ,且α 1 =1,k+1,2  T ,α = 2
k-1,-k,1  T 分别为A的特征值λ =1,λ =2的特征向量,A*的特征值λ 对应的特征向量 β= 1 2 0
2,-5k,2k+1  T .求:
(I)λ 与k的值;
0
(II)矩阵A-1  * .
(2)设A是3阶实对称矩阵,且A2-2A=O,rA  =1.方程组Ax=0的通解为k 11,1,0  T +k 21,0,1 
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T
k ,k 为任意常数).求:
1 2
(I)可逆矩阵P及对角矩阵Λ,使得P-1AP=Λ；
(II)矩阵A.
·第85页，共189页·1 0 0

(3)设A= 0 2 1

0 1 2
 a b c

,B= 0 1 0

1 2 4

,且A∼B.求:
(I)a,b,c的值;
(II)一个可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
(4)设数列a n  ,b n  a 满足 n b n  1 2 = -1 4  a n-1  b n-1  n=1,2,⋯ 
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∞ 1 ,a =1,b =-1,求级数 . 0 0 a -b n=0 n n
·第86页，共189页·第十四章二次型
基础题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x -x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x -x
3 1

2
的标准形为( ).
3 3
A. f=y2+y2+y2 B. f=2y2+ y2 C. f=y2+y2-y2 D. f=2y2+ y2+y2
1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3
1

(2)设A= 2
 3

2

与B= 3
 1

合同,则合同变换矩阵P=( ).
1 0 0

A. 0 0 1

1 0 0
 0 0 1

B. 1 0 0

0 1 0
 0 1 0

C. 1 0 0

0 0 1
 0 0 1

D. 1 0 0

0 0 1

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(3)设A是n阶方阵,将A的第i列与第j列互换,再交换第i行与第j行得到B,则( ).
A. A与B等价、相似且合同 B. A与B相似、合同但不等价
C. A与B相似但不合同 D. A与B等价但不相似
·第87页，共189页·(4)二次型fx ,x ,x
1 2 3

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=x2+4x2+4x2-4x x +4x x -8x x 的规范形为( ).
1 2 3 1 2 1 3 2 3
A. f=z2 B. f=z2-z2 C. f=z2+z2+z2 D. f=z2+z2-z2
1 1 2 1 2 3 1 2 3
(5)设A,B,Λ均为n阶实方阵,则下列命题中正确的是( ).
A. 若A是实对称矩阵,则存在唯一可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ
B. 若A是实对称矩阵,则存在唯一正交矩阵Q,使得Q-1AQ=Λ
C. 若B是实对称矩阵,则存在唯一实对称矩阵A,使得A2=B
D. 若B是正定矩阵,则存在唯一正定矩阵A,使得A2=B
(6)设E是n阶单位矩阵,则n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ).
A. 存在n阶矩阵C,使得A=CTC B. 二次型XTAX的负惯性指数为0
C. 存在可逆矩阵P,使得P-1AP=E D. A的伴随矩阵A*与E合同
·第88页，共189页·1 2 0
 (7)设A= 2 0 2

0 2 -1

,若存在可逆矩阵C,使得CTAC=Λ,则C可能为( ).
1 -1 -1
 1 1
A. 0
2 2

0 0 1
 1 2 0

B. 0 2 -1

0 0 1
 1 2 0

C. 0 1 2

0 0 1
 1 1 1
 1 1
D. 0
2 2

0 0 1

二、填空题
(1)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+4x2+4x2+2ax x -2x x +4x x 正定,则a的取值范围为____
1 2 3 1 2 1 3 2 3
_.
(2)设二次型 fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  在正交变换下的标准形为-2y2+8y2,且E+B=AB,其 1 2
中B为3阶矩阵,则迹trB-1+2E 
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=_____.
·第89页，共189页·三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =2x2+5x2+5x2+4x x -4x x -8x x .
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy,将f化为标准形；
(II)利用配方法,将f化为标准形.
(2)已知二次型f=2x2 1 +3x2 2 +3x2 3 +2ax 2 x 3a>0 
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,经过正交变换化成标准形y2+2y2+5y2,求参数 1 2 3
a及所用的正交变换.
·第90页，共189页·(3)证明:n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.
2 0 1

(4)设A= 0 2 -1

1 -1 a-1
 0 0 0

与B= 0 b 0

0 0 3

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合同.
(I)求a的值及b的取值范围；
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b及Q.
·第91页，共189页·(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x +x
1 2

2
+x -x
2 3

2
+x +ax
1 3

2
.
(I)求fx ,x ,x
1 2 3
 =0的解;
(II)当fx ,x ,x
1 2 3
 =0有非零解时,求正交变换X=QY将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形;
(III)求fx ,x ,x
1 2 3
 的规范形.
(6)设3阶实对称矩阵A=α ,α ,α
1 2 3
 有二重特征值1,且α +2α -α =0,A*是A的伴随矩阵.求:
1 2 3
(I)正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x
1 2 3

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=XTAX化为标准形；
(II)方程组A*X=0的通解.
·第92页，共189页·(7)设A是3阶实对称矩阵,α=-1,1,1  T满足A-2E  α=0,且rA  =1.
(I)求方程组AX=0的通解；
(II)求A；
(III)若X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,求方程XTAX=0的全部解.
综合题
一、选择题
(1)二次型fx ,x ,x
1 2 3

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=x x +x x 的正、负惯性指数分别为( ).
1 2 2 3
A. p=1,q=1 B. p=1,q=2 C. p=1,q=0 D. p=0,q=2
·第93页，共189页·(2)A是n阶实对称矩阵,B是n阶矩阵,则A合同于矩阵B的充分必要条件是( ).
①rA  =rB  ； ②A与B的正惯性指数相等；
③A与B均为正定矩阵; ④B是实对称矩阵.
A. ①成立 B. ④成立 C. ①②④均成立 D. ③成立
(3)设n元二次型 fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =x +a x 1 1 2 
2
+x +a x 2 2 3 
2
+⋯+x n +a n x 1 
2
,其中a ii=1,2,⋯,n 
均为实数,若二次型正定,则( ).
A. 1+-1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 B. 1+-1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
C. 1--1  n+1 a 1 a 2 ⋯a n ≠0 D. 1--1  n+1 a a ⋯a =0 1 2 n
 1 -1 0

(4)设B= -1 1 0

 0 0 1
 3 0 0

,C= 0 2 0

0 0 0
  1 2 0

,D= -2 1 0

 0 0 1
 1 1 0

,则与矩阵A= 1 1 0

0 0 1

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不令同的矩阵
的个数为( ).
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
·第94页，共189页·2 1
(5)设A=
-1 0

1 1
,B=
0 1

1 0
,C=
1 1

1 0
,D=
0 1
 ,则下列选项中正确的是( ).
A. A与B相似,B与C合同 B. A与D相似,B与D合同
C. A与D合同,B与C相似 D. B与D相似,C与D合同
(6)设A是3阶实对称矩阵,且A=2,A*=A-E,其中A*是A的伴随矩阵,则二次型xTAx的规范形
为( ).
A. y2+y2+y2 B. -y2-y2-y2 C. y2+y2-y2C.-y2-y2+y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2
(7)设A=
2 1

1 4
,B=
1 1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则下列选项中正确的是( ).
A. 必存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=B B. 必存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B
C. 必存在可逆矩阵P,使得PTAP=B D. 必存在可逆矩阵P,使得A=PTP
·第95页，共189页·(8)设3阶实矩阵A的特征向量为α 1 =-1,1,0  T ,α 2 =1,1,1  T ,α 3 =-1,-1,2  T ,则A必为( ).
A. 可逆矩阵 B. 正交矩阵 C. 对称矩阵 D. 正定矩阵
a a-1
(9)设实矩阵A=
a-1 a-1
 ,若对任意的二维非零实列向量X都有XTAX<XTX,则a的取值
范围为( ).
1 A.  ,1
3
 1 B. (-1,1) C. (-1,0] D.  ,1
3

(10)设α 1 =1,2  T ,α 2 =a,1  T ,X=x ,x 1 2  T ,若二次型 fx ,x 1 2  =α ,X 1  2 +α ,X 2  2 经可逆线性变
换X=PY化为gy ,y 1 2  =by2 1 +by2 2 +2by 1 y 2b≠0 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则( ).
1 1 1 1
A. a= ,b>0 B. a=- ,b>0 C. a= ,b>-1 D. a=- ,b>-1
2 2 2 2
·第96页，共189页·(11)设A是2阶实对称矩阵,若对任意的2维非零列向量X,都有XTAX<XTX,X ,X 均为2维列
1 2
X 1 向量,则二次型
X
2
 T A+E O 
O E-A
 X 1 
X
2
 的规范形为( ).
A. y2+y2-y2-y2 B. y2+y2+y2-y2 C. y2+y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2-y2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
(12)设A是3阶实矩阵,A=3,且A*=-A+4E,其中A*是A的伴随矩阵,E是3阶单位矩阵,则二次
型XT 2E-A  T 2E-A  X的规范形为( ).
A. y2-y2-y2 B. y2+y2-y2 C. y2+y2+y2 D. -y2-y2-y2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
二、填空题
1 0 0
 (1)若3阶实对称矩阵A与B= 0 0 3

0 3 0

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合同,则二次型xTAx的规范形为_____.
·第97页，共189页·(2)设A是n阶矩阵,方程组Ax=b有唯一解,则二次型xT ATA 
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x的正惯性指数为_____.
(3)设A是3阶实对称矩阵,二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为y2+y2-y2,A*是A的伴
1 2 3
随矩阵,则二次型xTA*x的规范形为_____.
(4)设3阶实对称矩阵A的特征值为2,3,4,A*是A的伴随矩阵.若对任意3维实列向量X,都有
XTA*X-XTAX≤aXTX,则a的最小取值为_____.
·第98页，共189页·三、解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx=x2+ax2+x2+2x x -2ax x -2x x 的正负惯性指数都是1.求:
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(I)a的值;
(II)可逆线性变换x=By,将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形.
(2)设3阶实对称矩阵A=a ij 
3
3×3 有特征值λ 1 =λ 2 =2,且a ii =1,α=1,0,-2
i=1
 T是方程组A*x=
4α的解向量.求:
(I)矩阵A;
(II)正交变换x=Qy,将二次型fx ,x ,x
1 2 3

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=xTAx化为标准形.
·第99页，共189页·(3)设二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =nx2 1 +nx2 2 +⋯+nx2 n -x 1 +x 2 +⋯+x n  2 .求:
(I)二次型fx 1 ,x 2 ,⋯,x n  =xTAx的秩；
(II)可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,并求二次型的正惯性指数.
(4)设n阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ =1和λ ,且A属于λ =1的特征向量仅有
1 2 1
k1,0,⋯,0,1 
T
k≠0 
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.
(I)求矩阵A;
(II)问:当λ 满足什么条件时,A是正定矩阵?
2
·第100页，共189页·(5)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =ax2-ax2+ax2+2x x 与gy ,y ,y
1 2 3 1 3 1 2 3
 =-y2-y2+a2y2+2y y 的秩相等
1 2 3 1 2
a≠0  .问:
(I)当a为何值时,存在可逆(非正交)线性变换x=Py,可将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ?并求一个
可逆矩阵P;
(II)当a为何值时,存在正交变换x=Qy,可将fx ,x ,x
1 2 3
 化为gy ,y ,y
1 2 3
 ?并说明理由.
(6)设二次型fx ,x ,x 1 2 3  =xTAx=ax2 1 +ax2 2 +a-1  x2+2x x -2x x (a为常数,AT=A). 3 1 3 2 3
(I)求一个正交变换x=Qy将fx ,x ,x
1 2 3
 化为标准形；
(II)设x=x ,x ,x 1 2 3  T ,求方程xT aE-A 
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2 x=O的全部解.
·第101页，共189页·(7)设二次型xTAx=ax2+x2+x2
1 2 3
 +2x x +2bx x +2x x 在正交变换x=Qy下的标准形为y2+y2
1 2 1 3 2 3 1 2
+4y2,其中AT=A.
3
(I)求a,b的值及正交矩阵Q；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+A*,其中A*是A的伴随矩阵,求B.
(8)设 A是3阶矩阵,方程组 AX=b的通解为k 1-1,1,0  T +k 22,0,1  T + 1,1,-2  T ,其中b=
6,6,-12  T ,k ,k 为任意常数. 1 2
(I)求A；
(II)若A的列向量组的极大线性无关组为α,求一个3维行向量β,使得A2=αβ；
(III)记X=x ,x ,x
1 2 3

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T ,求方程XTAX=0的全部解.
·第102页，共189页·(9)已知二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =x2+2x2+ax2+2x x 经过可逆线性变换X=PY化为y2+y2.
1 2 3 1 3 1 3
(I)求a的值及可逆矩阵P；
(II)设X=x ,x ,x
1 2 3
 T ,当XTX=1时,求fx ,x ,x
1 2 3
 的最大值,并求满足x =x >0的最大值点.
1 2
 a 0
 (10)设A= -1 a

-1 0

-1 0 a
,B=
-1 1 a
 ,已知方程组ABX=0与BX=0同解.
(I)求a的取值范围;
(II)当AB为实对称矩阵时,求正交变换X=QY将二次型fx ,x ,x
1 2 3

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=XTABX化为标准形.
·第103页，共189页·拓展题
解答题
(1)设二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =2x x +3x x +4x x ,求可逆线性变换x=Pz,将fx ,x ,x
1 2 2 3 1 3 1 2 3
 化为标准形,
并求二次型的秩及正、负惯性指数.
(2)设A为3阶实对称矩阵,二次型fx ,x ,x
1 2 3
 =xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为-y2+2y2+
1 2
1 1 1
ay2,其中Q的第1列为 , ,
3
3 3 3

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T
,且A=-4.求:
(I)a的值;
(II)正交矩阵Q.
·第104页，共189页·(3)设二次型 fx ,x ,x 1 2 3  =xTAxAT=A 
1 0 a
经正交变换x=Qy化为by2+c2y2,其中Q 1  0 c 0 2 3 2 
b 0 1

b>0,c>0  求:
(I)a,b,c的值及矩阵A；
(II)可逆矩阵P,使得A+E=PTP.
(4)设二次型 fx ,x ,x 1 2 3  =XTAXAT=A  经过正交变换X=QY化为标准形2y2-y2-y2.又A*α= 1 2 3
α,其中α=1,1,-1 
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T ,A*是A的伴随矩阵.
(I)求正交矩阵Q及实对称矩阵A；
(II)若正定矩阵B满足B2=A+2E,求B.
·第105页，共189页·1 1
 a - -
 2 2
 1 1
(5)设A= - a -
 2 2
 1 1
- - a
 2 2

b 0 0

与B= 0 b 0

0 0 0

b≠0  合同.
(I)求a的值;
(II)若存在正交矩阵Q,使得QTAQ=B,求b的值及Q;
(III)对于(II)中的Q,若QT A+A*

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Q=Λ,其中A*是A的伴随矩阵,求对角矩阵Λ.
·第106页，共189页·概率论与数理统计
第十五章随机事件及其概率
基础题
一、选择题
(1)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则( ).
A. PC  =PAB  B. PC  =PA∪B 
C. PC  ≤PA  +PB  -1 D. PC  ≥PA  +PB  -1
(2)对任意两个事件A和B,若PAB  =0,则( ).
A. PA  PB  =0 B. PA-B  =PA 

C. AB=⌀ D. AB=⌀
(3)设PA  >0,PB  >0,PA∣B  =PA  ,则下列选项中错误的是( ).
A. A与B互不相容 B. A与B相容 C. PB∣A  =PB 
 
D. PA∣B 

=PA 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
·第107页，共189页·(4)设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<PC  <1,则下列四对事件中不相互独立的是( ).
      
A. A∪B与C B. AC与C C. A-B与C D. AB与C
(5)设0<PA  <1,0<PB  <1且PA∣B 
 
+PA∣B  =1,则( ).
A. A与B互不相容 B. A与B相互独立 C. A与B对立 D. A与B不相互独立
(6)设A,B为任意两个事件,且A⊂B,PB  >0,则下列选项中正确的是( ).
A. PA  <PA∣B  B. PA  ≤PA∣B  C. PA  >PA∣B  D. PA  ≥PA∣B 
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·第108页，共189页·(7)设A,B是两个随机事件,且0<PA  <1,PB  >0,PB∣A 

=PB∣A  ,则下列选项中正确的是(
).
A. PA∣B 

=PA∣B  B. PA∣B 

≠PA∣B 
C. PAB  =PA  PB  D. PAB  ≠PA  PB 
二、填空题
(1)设PA∣B  =PB∣A 
1
= ,PA
2

1
= ,则PA∪B
3
 =_____.
(2)已知事件A,B相互独立且互不相容,则min PA  ,PB   
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=_____.
·第109页，共189页·(3)设事件A,B,C满足PA  =PB  =PC 
1
= ,PAB
4
 =PBC  =0,PAC 
1
= ,则A,B,C三个事
8
件中至少出现一个的概率为_____.
(4)设PA  =0.1,PB∣A 

=0.9,PB∣A  =0.2,则PA∣B  =_____.

(5)设A,B为随机事件,且PA  =0.3,PB  =0.4,PA-B 

=0.5,则PB∣A∪B 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=_____.
·第110页，共189页·19
(6)设在三次独立重复试验中,事件A发生的概率相等,若已知A至少出现一次的概率为 ,则A在
27
一次试验中发生的概率为_____.
2
(7)在区间(0,1)内任取两个数x,y,则xy≤ 的概率为_____.
9
(8)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p0<p<1 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则此人第6次射击恰好
第2次命中目标的概率为_____.
·第111页，共189页·三、解答题
(1)设A 1 ,A 2 ,⋯,A n 为n个相互独立的事件,且PA k  =p kk=1,2,⋯,n 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,求下列事件的概率:
(I)A={n个事件全不发生}；
(II)B={n个事件不全发生}；
(III)C={n个事件中至少有一个发生}.
(2)对某一目标依次进行了三次独立的射击,设第一、第二、第三次射击命中的概率分别为0.4,0.5
和0.7,求:
(I)三次射击中恰好有一次命中的概率；
(II)三次射击中至少有一次命中的概率.
·第112页，共189页·(3)有三个盒子,第一个盒子中有3个黑球、1个白球,第二个盒子中有2个黑球、3个白球,第三个
盒子中有3个黑球、2个白球.
(I)任取一个盒子,再从该盒子中取出一个球,求这个球是白球的概率；
(II)已知取出的是白球,求此球属于第三个盒子的概率.

(4)设A,B是两个随机事件,证明:1-PA 

-PB  ≤PAB  ≤PA∪B  ≤PA  +PB 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
·第113页，共189页·综合题
一、选择题
(1)设某人毫无准备地参加一项测验,其中有5道是非题,他随机地选择“是”或“非”,则该人至少答对
1题的概率为( ).
1 1 5 31
A. B. C. D.
5 32 32 32
(2)有一根长为L的木棒,将其任意折成三段,记事件A={中间一段为三段中的最长者},则PA 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=(
).
1 1 1 2
A. B. C. D.
2 3 4 3
二、填空题
(1)设甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.5和0.4,已知目标被命中,则它是
乙射中的概率为_____.
·第114页，共189页·(2)设PA  =0.5,PB  =0.7,则PA∪B  的最大值与最小值分别是_____.
(3)设A,B是两个随机事件,0<PB 
 
<1,AB=AB,则PA∣B 

+PA∣B 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=_____.
(4)设进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为p,则在试验成功2次之前已经失败3次的概率
为_____.
·第115页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
(5)已知10部手机中有7个合格品和3个次品,每次任取一个作测试,测试后不放回,直到将3个次品
都找到为止,则需要测试7次的概率为_____.
(6)在n重伯努利试验中,事件A发生的概率为p,则事件A发生奇数次的概率为_____.
·第116页，共189页·公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
三、解答题
(1)设甲盒中有4个红球和2个白球,乙盒中有2个红球和4个白球,掷一枚均匀的硬币,若正面出现,则
从甲盒中任取一球,若反面出现,则从乙盒中任取一球,设每次取出的球观看颜色后放回原盒中.
(I)若前两次都取得红球,求第三次也取得红球的概率；
(II)若前两次都取得红球,求红球都来自甲盒的概率.
(2)设一批产品中有15%的次品,进行独立重复抽样检验,若抽取20个样品,则抽出的20个样品中,
可能性最大的次品数是多少?并求其概率.
·第117页，共189页·拓展题
解答题
(1)设事件A,B相互独立,A,C互不相容,且PA  =0.4,PB  =0.3,PC  =0.4,PB∣C  =0.2,求下列
概率:
(I)PA∪B  ;
(II)PC∣A∪B  ;

(III)PAB∣C 
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.
(2)从1,2,⋯,n这n个数中任意相继不放回地取出两个数,求取出的第二个数比第一个数大的概率.
·第118页，共189页·第十六章随机变量及其分布
基础题
一、选择题
(1)设随机变量X 1 与X 2 的分布函数分别为F 1x  与F 2x  ,Fx  =aF 1x  -bF 2x  是某一随机变量的
分布函数,则( ).
3 2 2 2 1 3 1 3
A. a= ,b=- B. a= ,b= C. a=- ,b= D. a= ,b=-
5 5 3 3 2 2 2 2
(2)设随机变量X的概率密度为fx  ,且f-x  =fx  ,X的分布函数为Fx  ,则对任意实数k,有(
).
A. F-k 
k
=1- fx
0
 dx B. F-k 
1 k
= - fx
2
0
 dx
C. F-k  =2Fk  -1 D. F-k  =Fk 
(3)下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数的是( ).
A. Fx 
1
= B. Fx
1+x2

1 1
= arctanx+
π 2
C. Fx 
1
1-e-x
= 2
  , x>0,
 D. Fx
0, x≤0

x
= ft
-∞

+∞
dt,且 ft
-∞

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dt=1
·第119页，共189页·(4)设X是随机变量,对任意实数x,P{X=x}=0的充分必要条件是( ).
A. X的概率密度fx  是连续函数 B. X的分布函数Fx  是连续函数
C. X为离散型随机变量 D. X是非离散型随机变量
(5)设X∼Nμ,42  ,Y∼Nμ,52  ,记p =P{X≤μ-4},p =P{Y≥μ+5},则( ). 1 2
A. 对任意实数μ,有p >p B. 对任意实数μ,有p <p
1 2 1 2
C. 对任意实数μ,有p =p D. 只对μ=0,有p =p
1 2 1 2
(6)设X∼Nμ,σ2  ,则随着σ的增大,Px-μ<σ 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
( ).
A. 单调减少 B. 单调增加 C. 保持不变 D. 增减不确定
·第120页，共189页·(7)设 fx  为随机变量X的概率密度,且 f1-x  = f1+x 
2
, fx
1
 dx=0.4,X的分布函数为Fx  ,
则F0  =( ).
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
二、填空题
(1)设随机变量X服从参数为λλ>0  的指数分布,则P{X>16∣X>8}=_____.
(2)设X∼N2,σ2 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
且P{0<X<2}=0.3,则P{X>0}=_____.
·第121页，共189页·(3)设X∼Nμ,σ2  ,fx  为X的概率密度,当x=1时,fx 
1
取得最大值 ,则P{X<3}=
2 2π
_____(用标准正态分布函数Φx  表示).
(4)设自动机床在任何时长为t的时间间隔内发生故障的次数X服从参数为λt的泊松分布,Y表示相
继两次故障之间的时间间隔,则当t>0时,P{Y>t}=_____.
(5)设X∼N0,1  ,则Y=X的概率密度f Yy 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=_____.
·第122页，共189页·(6)设随机变量X服从参数为1的指数分布,k为大于零的常数,则P{X≤k+1∣X>k}=_____.
(7)设随机变量X服从Nμ,σ2  ,A={X>μ},B={X>σ},C={X>μ+σ}.若PA  =PB  ,则事件
A,B,C至多有一个发生的概率为_____.
三、解答题
(1)设离散型随机变量X的分布律为
求:(I)X的分布函数;
1
(II)PX>

2

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
X -1 1 2
p 0.2 0.3 0.5
; (III)P{-1≤X≤2}.
·第123页，共189页·(2)设连续型随机变量X的分布函数为Fx 
0, x≤-a,

 x
= k +k arcsin , -a<x≤a, 其中a>0.求:  1 2 a


1, x>a,
(I)常数k ,k 的值;
1 2
(II)X的概率密度;
a
(III)P X<
2

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.
(3)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,对X进行三次独立重复观察,至少有一次观测值大于3
26
的概率为 ,求λ的值.
27
·第124页，共189页·(4)设随机变量X的概率密度为fx 
3x2, 0<x<1, 1
= 求Y= 的分布函数和概率密度.
0, 其他, X
(5)设随机变量X在(0,1)内服从均匀分布,求Y=-2lnX的概率密度.
(6)设随机变量X的概率密度为fx 
1
=
π1+x2

-∞<x<+∞ 
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,求Y=1- 3 X 的分布函数和概率
密度.
·第125页，共189页·1
(7)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,记Y=maxX,
X
 ,求Y的分布函数.
综合题
一、选择题
(1)设fx  为随机变量X的概率密度,则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是( ).
A. f1-x 
x
B. f
2
 C. fx2  D. f2 x 
(2)设 X 1 ,X 2 ,X 3 都服从正态分布,且 X 1 ∼ N0,1  ,X 2 ∼ N0,22  ,X 3 ∼ N5,32  ,p = P{-2≤ i
X ≤2 i  i=1,2,3 
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,则( ).
A. p >p >p B. p >p >p C. p >p >p D. p >p >p
3 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 3
·第126页，共189页·(3)设随机变量X的概率密度为fx  ,若当-∞<x<+∞时,恒有0≤fx  <1,则X可能服从( ).
A. N1,σ2  B. Nμ,1  C. Nμ,σ2  D. N0,σ2 
(4)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,Gx  是区间0,1  上均匀分布的分布函数,记Y=GX  ,
则( ).
A. Y在0,1  上服从均匀分布 B. Y是连续型随机变量
C. Y是离散型随机变量 D. y=1是Y的分布函数的间断点
二、填空题
(1)设随机变量X∼Nμ,σ2  σ>0  ,x ,y 0 0  为其分布函数曲线y=Fx 
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的拐点,则x =_____,y 0 0
=_____.
·第127页，共189页·(2)设随机变量X∼Nμ,σ2  ,其中σ>0,Fx  为X的分布函数,则Fμ-xσ  +Fμ+xσ 
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=_____.
(3)设随机变量X服从泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则P{X>1}=_____.
3
(4)在伯努利试验中,设事件发生的概率p= ,X表示事件首次发生所需的试验次数,n为正整数,则
4
∞
P{X=2n}=_____.
n=1
·第128页，共189页·a
(5)设离散型随机变量X的分布律为P{X=k}= e-2 k=0,1,2,⋯
k!
 ,则常数a=_____
(6)设X∼N0,σ2

,X在区间(a,b)内取值的概率最大,其中a>0,则σ2=_____.
(7)设随机变量X服从参数为λλ>0  的指数分布,Y=   X, X≤1, 则P  Y≤ 1
-X, X>1, 4

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=_____.
·第129页，共189页·三、解答题
(1)设随机变量X服从λ=2的指数分布,求Y=1-e-2X的分布函数和概率密度.
(2)设连续型随机变量X的概率密度为fx 
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,求Y=sinX的分布函数和概率密度.
·第130页，共189页·(3)设随机变量X的概率密度为 fx 
 1
x2
 e2 , x≤0,
=  2π 求Y=X2的分布函数和概率密度(可用
  e-2x, x>0,
φx  和Φx  表示).
拓展题
解答题
设随机变量X的概率密度为fx 
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=  
1-x, -1<x<1,
,求Y=X2+1的分布函数和概率密度.
0, 其他.
·第131页，共189页·第十七章多维随机变量及其分布
基础题
一、选择题
(1)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为Fx,y  ,则PX>x ,Y>y  0 0  =( ).
A. 1+Fx ,y
0 0
 -Fx ,+∞
0
 -F+∞,y
0
 B. Fx ,y
0 0
 -1+Fx ,+∞
0
 +F+∞,y
0

C. 1-Fx ,+∞
0
 -F+∞,y
0
 D. 1-Fx ,y
0 0

(2)设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N0,1  与N1,1  ,则( ).
1 1
A. P{X+Y≤1}= B. P{X+Y≤0}=
2 2
1 1
C. P{X-Y≤1}= D. P{X-Y≤0}=
2 2
(3)设随机变量X 与X 同分布,Y 与Y 同分布,则( ).
1 2 1 2
A. X +Y 与X +Y 同分布 B. X -Y 与X -Y 同分布
1 1 2 2 1 1 2 2
C. X ,Y
1 1
 与X ,Y
2 2

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同分布 D. kX 与kX 同分布,kY 与kY 同分布(常数k≠0)
1 2 1 2
·第132页，共189页·二、填空题
(1)设二维随机变量(X,Y)的分布律为且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则a=_____,b
=_____.
(2)设X与Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布,则Z=min{X,Y}的分布函数F Zz  =_____.
(3)设随机变量X,Y均服从区间为0,4 
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X 0 1
Y
0 1/4 a
1 b 1/4
9
的均匀分布,P{max{X,Y}≤3}= ,则P{min{X,Y}>3}
16
=_____.
·第133页，共189页·三、解答题
(1)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
(I)求2X+Y,max{X,Y},min{X,Y}的分布律;
(II)求P{min{X,Y}≥0};
(III)问X与Y是否相互独立?并说明理由.
(2)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
λ2e-λx, 0<y<x,
= λ>0
0, 其他

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Y 0 1
X
-1 3/16 9/16
1 1/16 3/16

 .
(I)证明:Y服从参数为λ的指数分布;
(II)问X与Y是否相互独立？并说明理由.
·第134页，共189页·(3)设随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
1, 0<x<1,-x<y<x,

= ,求:
0, 其他.
(I)边缘概率密度f Xx  ,f Yy  ;
(II)条件概率密度f x∣y
X∣Y
 ,f y∣x
Y∣X
 ;
1
(III)Px> ∣Y>0

2
 .
(4)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
ke -4x+3y
=
  , x>0,y>0,
 ,求:
0, 其他.
(I)常数k的值,并判别X与Y是否相互独立,说明理由；
(II)Z=X+Y的概率密度f Zz 
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.
·第135页，共189页·(5) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 其概率密度分别为 f Xx 
-λ x
λ e 1 , x>0,
=  1 ,f Yy
0, x≤0,
 =
-λ y
  λ 2 e 2 , y>0, 其中λ 1 >0,λ 2 >0为常数,令Z=   1, X≤Y, 求Z的分布律和分布函数.
0, y≤0, 0, X>Y,
(6)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
y
xe , 0<x<y<+∞,
= 求:
0, 其他.
(I)X与Y的边缘概率密度,并判别X与Y是否相互独立;
(II)(X,Y)的分布函数Fx,y  ;
(III)Z=X+Y的概率密度f Zz 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
·第136页，共189页·(7)设随机变量X与Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为fx 
2
 , x>2, X
= x2 求Z= 的分
Y
0, 其他,
布函数和概率密度.
(8) 设随机变量 X 和 Y 相互独立, X 在区间 (0,1) 内服从均匀分布, Y 的概率密度为 f Yy 
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=
y
 1 e - 2, y>0,
 2
0, y≤0.
(I)求(X,Y)的联合概率密度;
(II)设X和Y满足关于k的二次方程,k2+2Xk+Y=0,求k有实根的概率.
·第137页，共189页·1 1
(9)设X与Y相互独立,X服从参数为 的指数分布,Y服从参数为 的指数分布,求Z=X+Y的概
2 3
率密度.
(10)设(X,Y)服从区域G= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤1 
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上的均匀分布,求Z=XY的分布函数和概率
密度.
·第138页，共189页·(11)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y  1 = 1+xy
k
 -1 x2+y2 e 2  k>0,x,y   ∈R2  .
(I)求k的值,并判别X与Y是否相互独立；
(II)若Z服从-π,π  上的均匀分布,且X与Z相互独立,求U=X+Z的概率密度.
(12) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从 p = 0.6 的 0 - 1 分布, Y 的分布函数为 F Yy  =
-y
1-e , y≥0,


记Z=X-Y.求:
0, y<0,
1
(I)PZ≤- ∣X=0

2

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;
(II)Z的分布函数.
·第139页，共189页·综合题
一、选择题
(1)设随机变量X与Y独立同分布,均服从P{X=k}=p1-p  k-1 k=1,2,⋯;0<p<1  ,则P{X=Y}
=( ).
p 1-p 2p p
A. B. C. D.
1-p 2-p 1-p 2-p
(2)设二维随机变量 X ,X
1 2
 的概率密度为 f x ,x
1 1 2
 ,Y =2X ,Y =3X ,则 Y,Y
1 1 2 2 1 2
 的概率密度
f y ,y
2 1 2
 =( ).
A. f 2y ,3y
1 1 2

1 1
B. f  y , y
1 2 1 3 2

1
C. f 2y ,3y
2 1 1 2

1 1 1
D. f  y , y
6 1 2 1 3 2

(3)设随机变量X,Y均服从N0,1 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,且X与Y相互独立,则( ).
1 1
A. P{X-Y≥0}= B. P{X+Y≥0}=
4 4
1 1
C. P{min{X,Y}≥0}= D. P{max{X,Y}≥0}=
4 4
·第140页，共189页·(4)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,1 
1 3
.Y的概率分布为P{Y=0}= ,P{Y=1}= ,记Z=
4 4
XY,则对于Z的分布函数Fz  有( ).
A. limFz
z→0-

3
= ,limFz
8 z→0+

5
= B. limFz
8 z→0-
 =limFz
z→0+

1
=
2
C. limFz
z→0-

1
= ,limFz
4 z→0+

3
= D. limFz
4 z→0-

3
= ,limFz
4 z→0+

5
=
8
二、填空题
1
(1)设随机变量X与Y相互独立,X服从二项分布B4,
2

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,Y服从λ=1的泊松分布,则概率P{1<
max{X,Y}≤3}=_____
(2)设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ=1的指数分布,Y服从参数为0.6的0-1分布,则P
{X+Y≥1.6}=_____.
·第141页，共189页·(3)设随机变量X与Y均服从N0,σ2 
1
,且P{X≤1,Y≤-1}= ,则P{X>1,Y>-1}=_____
4
(4)设D= x,y   ∣0≤x≤a,0≤y≤a  ,向D上均匀地投掷随机点,(X,Y)表示随机点的坐标,0<b<
a,则PX-Y≤b  -P minX,Y   ≤b  =_____.
三、解答题
(1)在区间0,1 
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上随机地掷两点,求这两点间距离的概率密度.
·第142页，共189页·(2) 设二维随机变量 ( X , Y ) 在 D = x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤1  上服从均匀分布, 令 U =
0, X≤Y, 0, X≤2Y,
 
 V= 求(U,V)的联合分布律,并判别U与V是否相互独立.
1, X>Y, 1, X>2Y,
(3)设随机变量X和Y都在a,b  上服从均匀分布,且X与Y相互独立.求:
(I)Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的概率密度;
1 2
(II)Z ,Z
1 2
 的联合概率密度.
(4) 设随机变量 X 与 Y 均服从 N 2,σ2  σ>0 
1
, 且 X 与 Y 相互独立, 若 P{X ≤-1} = ,求
3
P maxX,Y  ≤2,minX,Y   ≤-1 
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.
·第143页，共189页·(5)设二维随机变量(X,Y)服从D= x,y   ∣y≥0,x2+y2≤1  
0, X<0,

上的均匀分布,令U= 1, 0≤X<Y, 

2, Y≤X,
0, X≥ 3Y,

V= 求:
1, X< 3Y.
(I)(U,V)的联合概率分布;
(II)P{UV≠0}.
(6)设(X,Y)的概率密度为fx,y 
1
1+xy
= 4
  , x<1,y<1,

0, 其他.
(I)求X和Y的边缘概率密度,并判别X与Y是否相互独立;
(II)记Z =X2,Z =Y2,求Z ,Z 的分布函数及Z ,Z
1 2 1 2 1 2

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的联合分布函数.
·第144页，共189页·(7)设随机变量X的概率密度为 fx 
k
= -∞<x<+∞
ex+e-x
 ,对X作两次独立观察,其观测值分
1, x ≤1,
i
别记为x 1 ,x 2 ,令Y i = i=1,2
0, x >1
i


 .求:
(I)k的值及PX <0,X <1
 1 2
 ；
(II)Y,Y
1 2
 的概率分布.
(8)设随机变量X与Y相互独立,其中X的概率密度为fx 
x, 0≤x<1,

= 2-x, 1≤x<2,,Y服从参数为2的指 


0, 其他,
数分布.Fx  为X的分布函数,记Z=FX  +Y.求:
(I)FX  的分布函数与概率密度;
(II)Z的概率密度f Zz 
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.
·第145页，共189页·拓展题
解答题
(1)设某手机一个月的需求量X是随机变量,其概率密度为fx 
xe-x, x>0,

= 记k个月的需求总
0, x≤0.
量为Y,设各个月的需求量相互独立.
k
(I)求Y 2 和Y 3 的概率密度f 2x  与f 3x  ;
(II)记连续三个月中的月最大需求量为Y,求Y的概率密度.
(2)设随机变量X与Y相互独立,X的概率密度为f Xx 
1, 0≤x≤1,

=
0, 其他,
Y 的分布函数为F Yy  ,令Z
1
  Y, X≤
2
,
=  1 求Z的分布函数F Zz
X, X> ,
 2

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.
·第146页，共189页·第十八章随机变量的数字特征
基础题
一、选择题
(1)设随机变量X服从参数为2的指数分布,则Y=2X+e-2X的期望EY=( ).
3 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 3
(2)设随机变量X∼Bn,p  ,且EX=2.4,DX=1.44,则( ).
A. n=8,p=0.6 B. n=6,p=0.4 C. n=4,p=0.5 D. n=12,p=0.1
(3)设EX与EX2  均存在,则( ).
A. EX2  ≥EX  2 B. EX2  <EX  2 C. EX2  <EX D. EX2 
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>EX
·第147页，共189页·(4)设(X,Y)服从二维正态分布,则U=X+Y与V=X-Y不相关的充分必要条件是( ).
A. EX=EY B. EX2  =EY2 
C. EX2  +EY  2 =EY2  +EX  2 D. EX2  +EX  2 =EY2  +EY  2
(5)设随机变量X与Y相互独立,且均存在非零方差,DX≠DY,则( ).
A. 2X+1与2Y-1相关 B. X+Y与X-Y不相关
C. eX与Y+1相互独立 D. X+Y与Y+1相互独立
(6)设X∼N0,1  ,Y∼N1,4 
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,且ρ =1,则( ). XY
A. P{Y=2X+1}=1 B. P{Y=-2X+1}=1
C. P{Y=-2X-1}=1 D. P{Y=2X-1}=1
·第148页，共189页·(7)设随机变量X在-1,1 
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上服从均匀分布,Y =arcsinX,Y =arccosX,则ρ =( ). 1 2 YY
1 2
1 3
A. 1 B. -1 C. D.
2 4
(8)设袋中有6只红球,4只白球,任意摸出一只球,记住颜色后放回袋中,共进行4次,设X表示摸到
红球的次数,则EX=( ).
2 8 12 48
A. B. C. D.
5 5 5 5
二、填空题
(1)一袋中有N个球,其中白球数目X是一个随机变量,且EX=n,从袋中任取一球,则取得的球是白
球的概率为_____.
·第149页，共189页·(2)设随机变量X的概率密度为fx  = 1 e-x2+2x-1 -∞<x<+∞
π
 ,则EX2  =_____.
(3)从1,2,3,4,5中任取一数X,再从1,⋯,X中任取一数Y,则EY=_____.
(4)设随机变量X的分布函数Fx 
x-4
=0.3Φ
2

x+1
+0.7Φ
3
 ,其中Φx 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
为标准正态分布的分布
函数,则EX=_____.
·第150页，共189页·(5)设随机变量X∼Nμ ,σ2 1  ,Y∼Nμ ,σ2 2 
1
.若 X+Y 2 
1
与 X-2Y 3  不相关,则X与Y的相关系
数ρ =_____.
XY
(6)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
xe -x1+y
=

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
 , x>0,y>0,
 则P{X>2∣X>EX}=
0, 其他,
_____.
·第151页，共189页·三、解答题
(1)设X与Y的概率分布分别为
且PX2=Y2

 =1.求:
(I)(X,Y)的概率分布;
(II)ρ .
XY
1 1
(2)设随机变量X,Y,Z满足EX=EY=1,EZ=-1.DX=DY=DZ=1,ρ =0,ρ = ,ρ =- ,
XY XZ 2 YZ 2
求EX+Y-2Z  ,DX+Y+Z 
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X 0 1 Y -1 0 1
p 1/3 1/3 p 1/3 1/3 1/3
.
·第152页，共189页·1
(3)设X与Y相互独立,且均服从N1,
2
 ,求DX-Y  .
(4)设X的概率密度为fx  = 1 e -x -∞<x<+∞
2
 .
(I)求EX和DX;
(II)求CovX,X 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,并判别X与X是否不相关；
(III)问X与X是否相互独立?
·第153页，共189页·(5)设X∼N1,1  ,Y∼N-2,1  ,且X与Y相互独立.求:
(I)Z=2X+Y的概率密度；
(II)E2X+Y  ,D2X+Y  .
(6)设二维随机变量(X,Y)服从区域D= x,y   ∣0≤x≤2,0≤y≤2  上的均匀分布.求:
(I)Z=X+Y的概率密度；
(II)EZ2 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
·第154页，共189页·1
(7)设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P{X=0}=P{X=1}= ,Y在0,1
2
 上服从均匀分
布.求:
(I)Z=X+Y的分布函数和概率密度；
(II)相关系数ρ .
XZ
综合题
一、选择题
(1)设对任意两个随机变量X与Y,有EXY  =EX⋅EY,则( ).
A. X与Y相互独立 B. X与Y不相互独立
C. DX+Y  =DX+DY D. DXY 
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=DX⋅DY
·第155页，共189页·(2)设X∼N0,1  ,Y=X2+X+1,则X与Y( ).
A. 相关且相互不独立 B. 相关且相互独立
C. 不相关且相互独立 D. 不相关且相互不独立
(3)设随机变量X与Y相关,相关系数为ρ ,Z=aX+b(a,b为常数),则ρ =ρ 的充分必要条件
XY YZ XY
为( ).
A. a>0 B. a<0 C. a≠0 D. a=1
(4)设随机变量X在 0, π
 2

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上服从均匀分布,U=sinX,V=cosX,则U与V的相关系数ρ 为( ).
UV
A. ρ =0 B. ρ =1 C. 0<ρ <1 D. -1<ρ <0
UV UV UV UV
·第156页，共189页·(5)设随机变量X服从参数为λλ>0 
1
的泊松分布,Y服从参数为 的指数分布,则ρ =1的充分 XY
λ
必要条件是( ).
A. CovX+Y,X  =0 B. CovX-Y,X  =0 C. CovX+Y,Y  =0 D. CovX-Y,X+Y  =0
(6)设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,已知P{X>0}=1-e-1,则CovX,X2  =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
(7)设随机变量X在区间(0,2)内服从均匀分布,Y在(0,X)内服从均匀分布,则CovX,Y 
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=( ).
1 1 1
A. 1 B. C. D.
2 4 6
·第157页，共189页·二、填空题
C
(1)设随机变量X的概率分布为P{X=k}= k=0,1,2,⋯
k!
 ,则EX2  =_____.
(2)设随机变量X在0,a  a≤12  上服从均匀分布,则X位于EX与DX之间的概率为_____.
(3)设随机变量X 1 ,X 2 ,⋯,X n 独立同分布,且有相同的概率密度,则概P X n >min  X 1 ,X 2 ,⋯,X n-1    
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=____
·第158页，共189页·(4)设随机变量X的概率密度为fx 
1
=
π1+x2

,则E minX,1    =_____.
(5)设15000件产品中有1000件次品,从中任取150件进行检测,则检测到次品数X的期望EX=__
___.
(6)设随机变量X的分布函数为Fx 
-1, x<0,

,记Y=  0, x=0, 则EY2

1, x>0,

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=_____.
·第159页，共189页·(7)设X∼N1,2  ,Y∼N0,1  ,且X与Y相互独立,则Z=2X-Y+3的概率密度f Zz  =_____.
(8)设X,Y  ∼N1,1,2,2;0  ,U=X+2Y,V=X-2Y,则ρ =_____. UV
(9)设二维随机变量X,Y  ∼N1,1;2,4;0  ,则DXY 
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=_____.
·第160页，共189页·(10)设某商品的销售额X是一个随机变量,X在a,b  b>a>0  内服从均匀分布,销售利润函数为Y
4X-2h-X
=
 , X≤h,
a<h<b
4h, X>h

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
 .当期望销售利润最大时,h=_____.
三、解答题
(1)在区间(0,1)内随机取n个数X ,X ,⋯,X .
1 2 n
(I)求最大数与最小数之间距离d的数学期望；
2
(II)若用Y表示n个数中大于 的个数,求EY和DY.
3
·第161页，共189页·(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>2  为独立同分布的随机变量,且均服从N0,1 

,Y i =X i -Xi=1,2,⋯,n  ,其
 1 n
中X = X.求:
n i
i=1
(I)DY ii=1,2,⋯,n 
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;
(II)ρ .
Y
1
Yn
1
(3)设随机试验E有三种两两不相容的结果A ,A ,A ,且三种结果发生的概率均为 ,将试验E独立
1 2 3 3
重复做2次,X表示2次试验中结果A 发生的次数,Y表示2次试验中结果A 发生的次数.求:
1 2
(I)(X,Y)的联合分布律;
(II)ρ .
XY
·第162页，共189页·(4) 设随机变量 X ,X ,X 相互独立, 且均服从参数为 λ 的指数分布, 记 Y = minX ,X
1 2 3  1 2
 , T =
maxY,X
 3
 .求:
(I)Y的概率密度f Yy  ；
(II)期望ET.
(5)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 相互独立同分布,其相同的概率密度为fx 
2e -2x-θ
=
 , x>θ,
θ为常数
0, x≤θ


 ,
求Z= minX
 i
1≤i≤n

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的数学期望.
·第163页，共189页·(6) 设 X 1 与 X 2 相互独立, X i ∼ B i,p  i=1,2;0<p<1 
0, X +X =1,
 1 2
.令 Y 1 =  ,Y 2 =
1, X +X ≠1,
1 2
0, X -X =2,
 2 1

1, X -X ≠2.
2 1
(I)求CovY,Y
1 2
 ;
(II)确定p的值,使CovY,Y
1 2
 取值最小.
(7)设随机变量X与Y相互独立,且均服从N0,1 
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1, X2+Y2>1, 1, X2+Y2>2,
,记U= V=
0, X2+Y2≤1, 0, X2+Y2≤2.
求:
(I)(U,V)的概率分布;
(II)ρ .
UV
·第164页，共189页·(8)设袋中有红球16个、黄球3个、白球1个(设球的大小相同),从袋中任取一球,记
1, 取到第i种颜色的球i=1,红;i=2,黄;i=3,白
X = i
 , 
 求: 0, 其他.
(I)X ,X
1 2
 的联合概率分布;
(II)CovX ,X
1 2
 .
(9)设X与Y相互独立,且均服从Nμ,σ2  ,求Emax{X,Y} 
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.
·第165页，共189页·(10)设随机变量X的概率密度为 f x  = 1 e x2-x
e π
 ,x∈ -∞,+∞  ,Y= 2X-EX  ,求ρ 与 XY
DY2  .
(11)设随机变量X 1 与X 2 相互独立,且均服从N0,1  ,X 的分布律为PX =-1 3  3 
1
= ,PX =1 4  3  =
3
,且X 与X 相互独立.
4 1 3
(I)求Z=X 1 X 3 的概率密度f Zz  ;
(II)求X 与Z的相关系数ρ ;
1 X Z
1
(III)问:X +X
1 2

2
与X -X
1 2

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2
是否相互独立?说明理由.
·第166页，共189页·拓展题
解答题
(1)设随机变量X 1 与X 2 相互独立,且X 1 ∼B1,p  ,X 2 ∼B2,p  ,其中0<p<1,令Y =2X +X ,Y = 1 1 2 2
X -X .
1 2
(I)求相关系数ρ ;
YY
1 2
(II)问Y 与Y 是否相互独立?并说明理由.
1 2
1  -1, X≤a,  -1, X≤b,
(2)设X是连续型随机变量,且P{X≤a}=P{X>b}=
4
,令X
1
=
1, X>a,
X
2
=
1, X>​​b.
,
求:
(I)X ,X
1 2
 的联合分布及边缘分布;
(II)CovX ,X
1 2
 ,DX -X
1 2

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
.
·第167页，共189页·第十九章大数定律与中心极限定理
基础题
一、选择题
(1)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是总体X的简单随机样本,且EXk  =a kk=1,2,3,4  ,根据中心极限定理,当n充
n
1
分大时,Y
n
=
n
X
i
2近似服从( ).
i=1
a -a2
A. Na , 4 2
2 n
 B. Na ,a -a2
2 4 2

a -a2
C. Na , 4 2
1 n
 D. Na ,a2
2 2

(2)设随机变量X ,X ,⋯,X 相互独立,记Y =X +X +⋯+X ,根据列维-林德伯格中心极限定理,
1 2 n n 1 2 n
Y 近似服从正态分布(n充分大),则只要X ,X ,⋯,X ( ).
n 1 2 n
A. 服从同一离散型分布 B. 服从同一连续型分布
C. 服从同一指数分布 D. 具有相同的期望与方差
(3)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是独立同分布的随机变量序列,且EX i 2  <+∞,则对任意ε有( ).
n
A. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 <ε
i=1

n
1 =0 B. limP X2-EX2 n→∞ n i i
i=1
    <ε  =0
n
1 C. limP X2-EX2 n→∞ n i i
i=1
    <ε 
n
=1 D. l n i → m ∞ P    1 n X i 2 ≥ε
i=1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=0
·第168页，共189页·二、填空题
(1)设随机变量X i 服从二项分布Bi,0.2  i=1,2,⋯,10  ,且X ,X ,⋯,X 相互独立,则根据切比雪夫 1 2 10
10

不等式,有P6<X
i
<16
i=1

≥_____.
1
(2) 设 X 与 Y 满足:EX =-2,EY = 2,DX = 1,DY = 4,ρ =- , 则根据切比雪夫不等式, 有
XY 2
PX+Y≥6  ≤_____.
(3)设X在区间-1,b  上服从均匀分布,由切比雪夫不等式有PX-1<ε 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
2
≥ ,则b=_____,ε
3
=_____.
·第169页，共189页·1
(4) 设随机变量 X , X , ⋯ , X 相互独立, 且均服从 B 1,
1 2 n 2
 .若存在常数 k , 使得
n
k X -X
2i 2i-1
i=1 limP
n→∞
 
  ≤x
n
 =Φx  ,其中Φx  为N0,1 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
的分布函数,则k=_____.
三、解答题
(1)设一条生产线的合格率为0.8,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问
这批产品至少要生产多少件?
·第170页，共189页·(2)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx 
xn
 e-x, x≥0,
= n!
0, x<0.
(I)利用切比雪夫不等式证明:P 0<X<2n+1   
n
≥ ;
n+1
n
X i -nn+1
(II)求limP i=1
n→∞

  ≤1
n n+1
 ;
n
(III)判断是否存在正实数a,对任意ε>0,都有l n i → m ∞ P    1 n X i 2-a  <ε
i=1
 =1.
(3)设随机变量序列X ,X ,⋯,X 独立,X 的分布律为
1 2 n i
X -ia 0 ia
i
p 1/2i2 1-1/i2 1/2i2
n
其中i=1,2,⋯,n,利用大数定律,证明:l n i → m ∞ P    1 n X i  ≥ε
i=1

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=0.
·第171页，共189页·第二十章数理统计的基本概念
基础题
一、选择题
(1)设X ,X ,X 1 2 3  为总体X∼N0,σ2 
X -X
的简单随机样本,则统计量U= 1 2 服从的分布为( ).
2X 
3
A. t1  B. t2  C. F1,1  D. F2,1 
(2)设随机变量X,Y均服从N0,1  ,则( ).
A. X+Y服从正态分布 B. X2+Y2服从χ2分布
X2
C. 服从F分布 D. X2与Y2均服从χ2分布
Y2
(3)设总体X∼Nμ,σ2  ,X ,X ,⋯,X 1 2 16 
 1 16
为总体X的简单随机样本,X = 16 X i ,且PX-μ<k
i=1


=P X-μ<4 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
,则k=( ).
A. 4 B. 4σ C. 16 D. 16σ
·第172页，共189页·(4) 设 X ,X ,⋯,X 1 2 10  是来自总体 X ∼ N0,1 
4
1
的简单随机样本, 则统计量 T =  X 4 i
i=1

2
+
10
1
 X
6 i
i=5

2
服从的分布为( ).
A. N0,2  B. χ2 10  C. χ2 2  D. N0,10 
二、填空题
(1)从总体X∼N3.4,62  中抽取样本X 1 ,X 2 ,⋯,X n 
 1 n 
,X = X,若X 位于(1.4,5.4)内的概率不小 n i
i=1
于0.95,则样本容量n至少应取_____.(已知Φ1.96  =0.975)
(2)设总体Nμ,42  的简单随机样本为X ,X ,⋯,X 1 2 10  ,样本方差为S2,已知PS2>a   =0.1,则a≈
_____.(已知χ 0 2 .19 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=14.684,上侧分位数)
·第173页，共189页·(3)设随机变量X∼Fn,n 
1
,且P{X>a}=0.05,则PX> 
a
 =_____.
(4)设X∼tn  ,Y∼F1,n  ,给定α0<α<0.5  ,常数k满足P{X>k}=α,则PY>k2   =_____.
三、解答题
(1) 设 X ,X ,⋯,X 1 2 9  为总体 X ∼ N 0,22  的简单随机样本, 若 a,b,c 使 X = aX +X 1 2  2 +
bX +X +X
3 4 5
 2 +cX +X +X +X
6 7 8 9

公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
2 服从χ2分布,求a,b,c的值及χ2分布的自由度.
·第174页，共189页·(2)设总体X∼N0,σ2  ,X ,X ,⋯,X 1 2 10  为X的简单随机样本,求下列统计量的分布.
7 X 1 +X 2 +X 3
(I)T = ⋅
1 3

2
X +X +X 7 1 2 3
; (II)T = ⋅ ;
X2+⋯+X2 2 3 X2+⋯+X2
4 10 4 10
7 X 1 2+X 2 2+X 3 2
(III)T = ⋅ .
3 3 X2+⋯+X2
4 10
综合题
一、选择题
(1)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为总体X∼N0,σ2  n  的简单随机样本,S2= X -X 1 i
i=1
 2  1 n  ,X = X,则下列选 n i
i=1
项服从tn-1  分布的统计量为( ).

nX n-1X nn-1
A. B. C.
n-1S nS 1 1


X
D.
S 1 nn-1 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
S 1
·第175页，共189页·(2)设总体X∼N0,σ2  σ>0  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X nn>1 

为来自总体X的简单随机样本,X 为样本均值,S2
为样本方差,则下列选项中错误的是( ).
nX
A. ∼tn-1
S


2 nX n-1
B. +
σ2
 S2
∼χ2 n
σ2


2 nX C. ∼F1,n-1
S2
 D. X i 2 + n-1
σ2
 S2 ∼χ2 n
σ2

(3)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 
 1 n
为总体X的简单随机样本,X = n X i ,则EX2
i=1
 的矩估计量为( ).
 2 1 n 
A. X + X -X
n i
i=1

2  2 1 n 
 B. X + X -X
n-1 i
i=1

2

1 n 
C. X -X
n-1 i
i=1

2 1 n 
 D. X -X
n i
i=1

2

(4)设总体X与总体Y相互独立,且都服从Nμ,σ2 
 
,X 与Y 分别为来自总体X,Y的样本均值,样本容
 
量均为n,则当n固定时,P X-Y>σ 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
的值随着σ增大而( ).
A. 单调增加 B. 单调减少 C. 保持不变 D. 增减性不确定
·第176页，共189页·(5) 设 X 1 ,X 2 , ⋯ ,X 10 是来自总体 N μ,σ2  σ>0 

的简单随机样本, X 是样本均值, 记 Y =
1 10 
X -X 10 i
i=1


2 X-μ
 ,T= ,若P{T≥a}=0.05,则P3T≥3a Y  =( ).
A. 0.05 B. 0.10 C. 0.20 D. 0.30
二、填空题
(1)设X,Y  ∼Nμ ,μ ;σ2,σ2;0 1 2  ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 1 n 1 >1  和Y 1 ,Y 2 ,⋯,Y n 2 n 2 >1  分别为来自总体X与
n
  1 1  Y的简单随机样本,X 与Y 分别为其样本均值,且T= X -X
n +n -2 i
1 2 i=1

n
2  2  + Y -Y
j
j=1
   2 


 ,则方
差DT  =_____.
(2)设 X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体N0,1 

的简单随机样本, X 为样本均值,S2为样本方差,T2=

nX-S  2 ,则ET2 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
=_____.
·第177页，共189页·(3)设总体X的分布律为
若从总体X中抽取容量为10的一组样本,其样本值为0,0,2,2,2,1,1,1,1.则经验分布函数为_____.
三、解答题
(1)设总体X∼N0,1  ,X ,X ,⋯,X 1 2 2n 
公众号：做题本集结地 880·数三线概做题本
X 0 1 2
(0<θ<1/2)
P θ2 2θ(1-θ) (1-θ) 2
为X的简单随机样本,求下列统计量的分布.
2n n
1
(I)T = X2+X X ;
1 2 i 2i-1 2i
i=1 i=1
2n-1X
1
(II)T = ;
2
2n
X2
i
i=2
·第178页，共189页·2n-3
(III)T =
3

3
X2 i
i=1
.
2n
3X2
i
i=1
(2)设随机变量X 1 ,X 2 ,X 3 相互独立且均服从N0,σ2 
X +X +X
,证明:T= 2 1 2 3 服从t1 3 X -X 
2 3

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分布.
·第179页，共189页·(3) 设 X 1 ,X 2 ,⋯,X n ,X n+1  为总体 X ∼ N μ,σ2 
 1 n
的简单随机样本, 记 X = X , S2 = n i
i=1
1 n 
X -X
n-1 i i=1

2 n
 ,Y=
n+1 

⋅X -X
σ2 n+1


2 kX n+1 -X
,T=

2
.
S2
(I)求EY和DY;
(II)若T服从F分布,求k的值.
(4)设总体X的分布函数为Fx  ,X ,X ,⋯,X 为来自总体X的简单随机样本,样本的经验分布函数 1 2 n
为F nx  .
(I)对给定的x∈-∞,+∞  ,证明:F nx  依概率收敛于Fx  ;
(II)当0<Fx  <1时,求E F nx    与D F nx   
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.
·第180页，共189页·第二十一章参数估计
基础题
解答题
n-1
 (1)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 为来自总体X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,若θ=k X i+1 -X i
i=1
 2   满足Eθ
=σ2,求k的值.
(2)设总体X的概率分布为
已知容量为3的样本值为x =1,x =2,x =1,求θ的矩估计值和最大似然估计值.
1 2 3
(3)设总体X的概率密度为fx;λ 
-λxlnλ, x≥0,
= 0<λ<1
0, x<0
 ,X 1 ,X 2 ,⋯,X n 
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X 1 2 3
P θ2 2θ(1-θ) (1-θ) 2

 为总体X的简单随机
样本,求λ的矩估计量.
·第181页，共189页·(4)设总体X的概率密度为fx;θ 
 θ⋅x θ-1, 0≤x≤1,
= 其中θ>0为未知参数,x 1 ,x 2 ,⋯,x n
0, 其他,
 为
X的简单随机样本值.求:
(I)θ的矩估计值;
(II)θ的最大似然估计值.
(5)设总体X的概率密度为 fx;θ 
1
 , 0≤x≤θ,
= θ 其中θ>0为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n
0, 其他,
 为X的
简单随机样本.求:

(I)θ的最大似然估计量θ；

(II)Eθ 

和Dθ 
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.
·第182页，共189页·(6)某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为p>0,设他在第X次射击时首次击中目标,以
X为总体,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为X的简单随机样本.求:
(I)X的概率分布;
(II)参数p的矩估计量和最大似然估计量.
(7)设X ,X ,⋯,X 1 2 10  为总体X∼N0,σ2 
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的简单随机样本,σ>0为未知参数.
(I)求σ2的最大似然估计量σ
2
；
6 10
2
(II)若记U=X,V=X,利用最大似然估计量σ 求相关系数ρ .
i i UV
i=1 i=5
·第183页，共189页·(8)设总体X的概率密度函数为 fx 
1 -lnx-μ
e
= 2πx
 2  
2 , x>0,
 X 1 ,X 2 ,⋯,X n

0, x≤0,
 为总体X的简单随
机样本.

(I)求μ的最大似然估计量μ;

(II)记Y=lnX,求Y的分布函数和Eμ.
(9)设总体X∼B1,p  ,参数p∈  1 , 3
 4 4

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,样本容量为1,求p的最大似然估计值.
·第184页，共189页·(10)设总体X在 θ- 1 ,θ+ 1  2 2  上服从均匀分布,θ为未知参数,X 1 ,X 2 ,⋯,X n  为总体X的样本,求:

(I)θ的矩估计量θ ；
1

(II)最大似然估计量θ .
2
(11)设总体X∼Nμ,σ2  ,μ,σ2为未知参数,x 1 ,x 2 ,⋯,x n 
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为总体X的简单随机样本值,求μ,σ2的最大
似然估计量.
·第185页，共189页·(12)设随机变量X的概率密度为fx  = 1 e -x-μ -∞<x<+∞
2
 ,μ为未知参数,试根据样本值1028,
968,1007,求μ的矩估计值和最大似然估计值.
(13)设X 1 ,X 2 ,⋯,X n 是来自总体X的简单随机样本,X的概率密度为fx 
1
-x
= e θ ,-∞<x<+∞ 2θ
 2
θ>0.求参数θ的矩估计量θ及Eθ 
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.
·第186页，共189页·综合题
解答题
(1)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 fx,y 
x2+y2
1 -
= e 2σ2 , x,y
2πσ2
 ∈R2,σ>0.记Z=X2+Y2.
(I)求Z的概率密度f Zz  ;
 
(II)若Z 1 ,Z 2 ,⋯,Z n 为来自总体Z的简单随机样本,求σ2的最大似然估计量σ2,并求Eσ2  .
1
(2)设T是连续型随机变量,P{T≤a}=θ,P{T>b}=θ,其中θ∈0,
2

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-1, T≤a, 
,a<b.令X=
1, T>a,
-1, T≤b,

Y=
1, T>​​b.
(I)求(X,Y)的概率分布及Z=X+Y的概率分布；
(II)若θ为未知参数,则利用总体Z的样本值-2,0,0,0,2,2求θ的矩估计值与最大似然估计值.
·第187页，共189页·(3)设随机变量X与Y相互独立,X∼N0,σ2  σ>0 
1
,Y的分布律为P{Y=-1}=P{Y=1}= ,记Z
2
=XY,Z ,Z ,⋯,Z 为来自总体Z的简单随机样本.
1 2 n
(I)求Z的概率密度f Zz  ;

(II)求σ2的最大似然估计量σ2;
n n
(III)若U=aZ,其中a ≥0,a =1,求DU的最小值.
i i i i
i=1 i=1
(4)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y 
2x+y
 2 -
 e θ , x>0,y>0,
=  θ2


0, 其他,
(I)求X与Y的边缘概率密度f Xx  与f Yy  ;
(II)求E minX,Y   
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；
(III)若X ,X ,⋯,X 与Y,Y,⋯,Y 分别为来自总体X与总体Y的简单随机样本,求θ的最大似然估
1 2 n 1 2 m

计量θ.
·第188页，共189页·拓展题
解答题
(1)设总体X的概率密度为 fx;λ ,λ 1 2 
x-λ
1 - 1
= λ e λ 2 , -∞<λ 1 <x<+∞,λ 2 >0,X 1 ,X 2 ,⋯,X n
2
 为X
的简单随机样本.
(I)当λ 已知时,求λ 的矩估计量和最大似然估计量；
1 2
(II)求λ ,λ 的矩估计量和最大似然估计量.
1 2
(2)设相互独立的随机变量X 1 ,X 2 ,⋯,X n 均服从Nμ,σ2 
n
1
,Y= n Y i , Y i =X i -μ i=1,2,⋯,n
i=1

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.
(I)求Y 的概率密度;
1
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量;
(III)求EY和DY.
·第189页，共189页·