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概率统计强化小灶课-1
2
1.向一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 ，已知前6次射击命中目标4次，
3
则第4次射击时恰好命中目标3次的概率为( )
8 3 2 1
A. B. C. D.
15 5 5 5
2.已知事件A发生的概率为𝑝，事件A不发生时事件B发生的概率为𝑝⁄2，则事件A和B至少
有一个发生的概率为( )
3𝑝−𝑝2 3𝑝 𝑝2 𝑝(1−𝑝)
A. B. C.𝑝− D.
2 2 2 2
3.设𝑃(𝐴),𝑃(𝐵),𝑃(𝐶),𝑃(𝐴𝐶)∈(0,1),则下列命题一定正确的是( )
A.𝑃(𝐵|𝐴)≥𝑃(𝐵|𝐴𝐶) B.𝑃(𝐴)𝑃(𝐶)≤𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐴∪𝐶)
C.𝑃(𝐵|𝐴)≤𝑃(𝐵|𝐴𝐶) D.𝑃(𝐴)𝑃(𝐶)≥𝑃(𝐴𝐶)𝑃(𝐴∪𝐶)
4.若二维随机变量(𝑋,𝑌)的分布律为
Y
-1 0 1
X
-1 𝑎 0 0.2
0 0.1 𝑏 0.1
1 0 0.2 𝑐
2
且𝑃{𝑋 ≤0|𝑌 ≤0}= ,𝐸(𝑋𝑌)=0,则(𝑎,𝑏,𝑐)=( ).
3
A. (0.1,0.1,0.2) B.(0.1,0.2,0.1) C. (0.2,0.1,0.1) D.(0.2,0.2,0)
1 2
5.设随机变量𝑋~(1 1),𝑌~𝑈[−1,1],且𝑋和𝑌相互独立，则P{𝑌 ≤0|𝑋+𝑌 ≤2}=( ).
2 2
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 3 46.设二维随机变量(𝑋,𝑌)的联合概率密度为
2
𝑒−√𝑥2+𝑦2,𝑥 >0,𝑦 >0,,
𝑓(𝑥,𝑦)={𝜋
0, 其他,
𝑈 =√𝑋2+𝑌2
令{ 𝑌 ，
𝑉 =arctan
𝑋
𝜋
(1)求𝑃{𝑈≤1,𝑉 ≤ }；
4
(2)求(𝑈,𝑉)的联合分布函数𝐹 (𝑢,𝑣)与概率密度𝑓 (𝑢,𝑣).
𝑈,𝑉 𝑈,𝑉
𝑎(𝑥+𝑏)𝑒−𝑥,𝑥 >0,
7.设随机变量𝑋的概率密度𝑓(𝑥) ={ 在𝑥 =1处取得最大值，其中𝑎,𝑏均
0, 𝑥 ≤0,
为常数，则𝑃{𝑋 >𝐸(𝑋)}= .
8.在[0,𝑎]内任取两点，记𝑍为两点间距离，则𝐸(𝑍)= .
𝑥(2−𝑥)
9.设随机变量𝑋的密度函数为𝑓(𝑥) =𝑎𝑒 2 (−∞,+∞),则𝐸(𝑋2𝑒𝑋)=( ).
1 1 3 3
A. 5𝑒2 B. 3𝑒2 C. 5𝑒2 D.3𝑒2
𝑘𝑥,0 <𝑥 <1 1
10.设随机变量𝑋的密度函数为𝑓(𝑥) ={ ，记事件𝐴={𝑋 ≤ }，
0, 其它 2
对𝑋进行6次独立观测，记𝑌表示6次观测中事件𝐴发生的次数，则𝐸(𝑋2+𝑌2)=( )
9 27 31
A. B. C. 4 D.
8 8 8
11.设随机变量𝑋~𝑈(0,1)，当𝑋 =𝑥时，𝑌~𝑈(𝑥,1)，则𝐸(|𝑋−𝑌|)= .概率统计强化小灶课-2
3
1.设随机变量𝑋~𝑈[0, ],𝑌 =[𝑋],其中[∙]表示取整函数，则𝑋和𝑌的相关系数为( ).
2
1 1 1 √6
A. B. C. D.
3 √6 2 3
2.设随机变量𝛩~𝑈(0,2𝜋)，𝑋 =cos𝛩，𝑌=sin𝛩，则( )
A.𝑋与𝑌相互独立 B.𝑋2与𝑌2相互独立 C.𝑋与𝑌不相关 D.𝑋2与𝑌2不相关
1
3.设随机变量𝑋~𝑁(1,1),𝑌~𝑁(2,4),𝜌 = ,则用切比雪夫不等式估计概率
𝑋𝑌 2
𝑃{−7<3𝑋−2𝑌 <5}>( )
23 13 25 11
A. B. C. D.
36 36 36 36
4.设(𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 )(𝑛 >1)为来自总体𝑋~𝑁(1,4)的简单随机样本，其中样本方差
1 2 n
𝑛
1
𝑆2 = ∑(𝑋 −𝑋̅)2,则Cov(𝑋 ,𝑆2)=________.
𝑛−1 𝑖 1
𝑖=1
𝑛
1
5.设总体𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2)，𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 为来自总体𝑋的简单随机样本，𝜎̂2 = ∑(𝑋 −𝑋̅)2，
1 2 𝑛 𝑛 𝑖
𝑖=1
𝑛
1
其中𝑋̅ = ∑𝑋 ，则𝐸(𝜎̂2−𝜎2)2 =( )
𝑛 𝑖
𝑖=1
2 2𝑛−2 2𝑛−1 2
A. 𝜎4 B. 𝜎4 C. 𝜎4 D. 𝜎4
𝑛2 𝑛2 𝑛2 𝑛−1
6.已知总体𝑋可能的取值为0,1,2，𝑃{𝑋 =2}=(1−𝜃)2 (0<𝜃 <1)，𝐸(𝑋) =2(1−𝜃).
若样本观测值为0,1,1,2，则𝜃的最大似然估计值为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
2 3 4 3𝑛
1
7.设𝑋 ,𝑋 ,⋯,𝑋 为来自总体𝑋~𝑃(𝜆)的简单随机样本，若 ∑𝑎𝑋𝑖为𝑒𝜆的无偏估计，
1 2 𝑛 𝑛
𝑖=1
则𝑎=( )
A.𝑒 B.2 C.4 D.2𝑒
0 1 −1 0 1
8.设随机变量𝑋~( ),𝑌~( ),0 <𝜃 < ,𝑃{𝑋+𝑌=0|𝑋𝑌 =0}=0.
𝜃 1−𝜃 1−𝜃 𝜃 2
令𝑍 =𝑋+𝑌，−1,0,0,0,1,1为来自总体𝑍的简单随机样本值，则未知参数𝜃的最大似然
估计值为( ).
1 2 1 1
A. B. C. D.
4 5 3 5
9.设随机变量𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),𝑌 =|𝑋−𝜇|+𝜇.
(1)求随机变量𝑌的概率密度𝑓 (𝑦)；
𝑌
(2)设𝜇未知，𝜎2已知，Y ,𝑌 ,⋯,𝑌 是来自总体𝑌的简单随机样本，求𝜇的最大似然估计.
1 2 𝑛
0, 𝑥 <0,
10.设随机变量𝑋的分布函数为𝐹(𝑥) = 𝑥θ+1, 0 ≤𝑥 <1, (θ>−1)，且总体𝑌=𝑋2，
{ 1, 𝑥 ≥1,
𝑌,𝑌 ,⋯,𝑌 为一组简单随机样本.
1 2 𝑛
（Ⅰ）求𝑌的概率密度函数𝑓 (𝑦);
𝑌
（Ⅱ）求参数θ的矩估计量与最大似然估计量.
