(81)-强化结课测试卷数学一解析_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

年全国硕士研究生招生考试数学一试题及解析 2025 （强化阶段结课测试卷） 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. 1. 下列说法中正确的个数是( ). ①设数列x 与y 满足limx 0及limy 1，则对于任意正整数n，都有x  y ； n n n n n n n n ②设数列x 与y 满足limx 0及limy ，则limx y 不存在； n n n n n n n n n 1 1 ③设数列x 满足limx 0,则当n充分大后一定有  x  ； n n n n n n ④如果对于任意正整数n，都有数列x 0，且limx a，则a0. n n n (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】（A） 【解析】limx 0及limy 1,则当n充分大后，必有x  y ，而不是对于任意正整数 n n n n n n 1 n，都有 x  y ，所以①不正确；取 x  ， y n 则满足limx 0及limy  ，但 n n n n n n n n n 2 limx y 1存在，所以②不正确，实际上limx y 可能存在也可能不存在，不能确定；取x  n n n n n n n n 1 1 1 满足limx 0，但   x  永远不成立，所以③不正确；取 x  0 恒成立，但 n n n n n n n limx a0 ，故④不正确.故选（A） n n 2. 设 f(x) 在(,) 内是有界连续的奇函数,则 F(x) x te|t|f(t)dt 在(,) 内 0 ( ). (A)必为有界的奇函数 (B)必为有界的偶函数 (C)为奇函数但末必有界 (D)为偶函数但未必有界 【答案】(A) 【解析】有题设知xe x与 f(x)都是奇函数，则xe x f(x)是偶函数，所以F(x)必为 奇函数，又 f(x)有界，因而M 0，使得对x(,均有| f(x)|M 相应的有 |F(x)|  x tetf(t)dt M |x| tetdt , 而limM |x| tetdt存在，所以F(x)有界，答案为（A）. 0 0 x 0 3. 设 f(x,y)在x ,y 处偏导数 fx ,y 0,fx ,y 0 , 则( ). 0 0 x 0 0 y 0 0(A) lim f(x,y)存在 (B) f x,y 在x 连续, f x ,y在y 连续 xx0 0 0 0 0 yy0 (C) 全微分df(x,y) 0 (D) f(x,y)在x ,y 一定存在极值. x0,y0  0 0 【答案】(B) 【解析】x ,y 处偏导数存在，极限不一定存在也不一定可微，也未必取极值. 0 0 f(x,y ) f(x ,y ) 而 fx ,y  lim 0 0 0 0,所以一定有 lim f(x,y ) f(x ,y )即 f x,y  x 0 0 xx0 xx 0 xx0 0 0 0 0 在x 连续, 同理 f x ,y在y 连续.所以答案选(B). 0 0 0 f(x)  ,x0 4.设函数 f(x)在x0处具有二阶导数，且 f(0) f(0)0，令g(x) x ，则   0, x0 g(x)在x0处( ). (A)不连续 (B)连续但不可导 (C)可导但导数不连续 (D)可导且导数连续 【答案】（D） f(x) f(x) f(0) 【解】由 f(0) f(0)0可得limg(x)lim lim  f(0)0g(0)，故 x0 x0 x x0 x g(x)在x0处连续，排除(A). f(x) 0 g(0)lim g(x)g(0) lim x lim f(x)  1 lim f(x) f(0)  1 f(0) ，故 g(x) x0 x x0 x x0 2x 2x0 x 2 1 在x0处可导且g(0) f(0)，排除(B). 2 f(x)x f(x) 当x0时，得g(x) ， x2 f(x) f(x) f(x) f(0) f(x) limg(x)lim lim lim lim x0 x0 x x0 x2 x0 x x0 2x 1 f(x) f(0) 1  f(0) lim  f(0) g(0), 2x0 x 2 故g(x)在x0处可导，且导数连续. 故选(D). 5. 设A是三阶方阵，1, 2, 1为其三个特征值，对应的特征向量依次为 1 2 3 a ,a ,a 令P3a ,2a ,a  , 则P1 A* E  P( ) 1 2 3 2 3 1 0  3  1  2          (A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 1                  3  1  1  1 【答案】(A) 【解析】 A 2，所以A*的特征值分别为2,1,2，A* E特征值是3,0,1，对应的特 征向量仍为a ,a ,a ，而3a 仍是0的特征向量，2a 仍是1的特征向量，a 仍是3的特征 1 2 3 2 3 1 0  向量，所以P1 A*E  P  1       3 6.设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为( ). (A)R(A)n (B)A的所有特征值非负(C)ACCT,(C是n阶可逆矩阵) (D)A的所有k阶子式都为正 【答案】（C） 1 0  【解析】R(A)n是A正定的必要不充分条件，例如设二阶实对称矩阵A  ，则满 0 1 足R(A)2，但A的特征值为1,1，不正定，所以(A)错误；A的特征值非负，则A的特征 值可能为0，当A有特征值0时，A不正定，所以(B)错误；如果A的所有k阶子式都为正， 则A正定；但如果A正定，则其左上角各阶顺序主子式都为正，未必保证所有k阶子式都 为正，所以(D)错误； 选项(C)正确， ACCT且C可逆，则CT也可逆，则C1A(CT)1C1A(C1)T  E ,令 (C1)T P,则PTAP E 即A与E合同，这是A正定的充要条件，故选(C). 7．线性方程组Axb经初等行变换其增广矩阵化为 1 0 3 2 M 1    0 a3 2 6 M a1   ， 0 0 a2 a M 2    0 0 0 3 M a1 若方程组无解，则a( ). (A)1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】（D） 【解析】非齐次线性方程组Axb无解的充分必要条件是rAr  A  .   当a1时，rA4，r A 4，方程组必有唯一解，故（A）不正确，注意此时第 4个方程是3x 0，不要与0x 3相混淆. 4 4 当a1时，仍有rAr  A  4，故（B）不正确. 当a2时， 1 0 3 2 M 1 1 0 3 2 M 1     0 1 2 6 M 1 0 1 2 6 M 1 A   ， 0 0 0 2 M 2 0 0 0 1 M 1     0 0 0 3 M 3  0 0 0 0 M 0 rAr  A  4，方程组有无穷多解，故（C）不正确. 当a3时，1 0 3 2 M 1   0 0 2 6 M 1 A  ，可观察出二、三两个方程矛盾，方程组无解，故选（D）. 0 0 1 3 M 2   0 0 0 3 M 4  8.设0P(A)1,0P(B)1,P(AB)P(AB)1,则( ). (A) 事件A和B 互不相容 (B) 事件A和B 相互对立 (C) 事件A和B 互不独立 (D) 事件A和B 相互独立 【答案】(D) 【解析】事实上,当0P(B)1时,P(A|B)P(A|B)是事件A与B 独立的充分必要条件, 证明如下： 若P(A|B)P(A|B),则 P(AB) P(AB)  , P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB) , P(B) 1P(B) P(AB)P(B)[P(AB)P(AB)]P(B)P(A) , 由独立的定义,即得A与B相互独立. 若A与B相互独立,直接应用乘法公式可以证明P(A|B)P(A|B) . P(A|B)1P(A|B)P(A|B) . 由于事件B 的发生与否不影响事件A发生的概率,直观上可以判断A和B相互独立. 所以本题选(D). C 9.设离散型随机变量 X 服从分布律 PX k e2,k 0,1,2,L .则常数 C 必为 k! ( ). (A) 1 (B) e (C) e1 (D) e2 【答案】（B）   C  1 【解析】PX k1,即1 e2 Ce2 Ce1, k! k! k0 k0 k0 所以Ce,故选(B). 1 n 10. 设随机变量 X ,X ,L ,X (n1) 独立同分布，且其方差2 0. 令Y  X ，则 1 2 n n i i1 ( ). 2 (A) cov(X ,Y) (B) cov(X ,Y)2 1 n 1 n2 n1 (C) D(X Y) 2 (D) D(X Y) 2 1 n 1 n 【答案】（A） 【解析】由于X ,X ,L ,X 独立，所以cov(X ,X )0(i j)，那么 1 2 n i j1 n 1 n cov(X ,Y)cov(X , X ) cov(X ,X ) 1 1 n i n 1 i i1 i1 1 1 2  cov(X ,X ) D(X ) . n 1 1 n 1 n 二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上. 1cosx x   1  2  11.求极限lim __________. x0(1 cosx)arcsin3x 1 【答案】 . 3 xln 1cosx xln 1cosx ln  1 cosx1  【解析】原式lim (e 2 1)(1 cosx) 2lim 2  4 lim  2  x0 3x(1cosx) x0 3 x3 3x0 x2 2 1  x2 2 cosx1 2 2 1  lim  lim  . 3x0 x2 3x0 x2 3 sinx  12. 设 f(x)有一个原函数 ，则 xf(x)dx .  x 2 4 【答案】 1  sinx xcosxsinx 【解析】由题设可知 f(x)( ) .由分部积分法，得 x x2    xf(x)dx   xdf(x)xf(x)      f(x)dx 2 2 2 2 xcosxsinx  sinx  2 2 4   1   1 x  x     2 2 13. 设 函 数 f(u,v) 可 微 , z  z(x,y) 由 方 程 (x1)z y2  x2f(xz,y) 确 定 , 则 dz  . (0.1) 【答案】dx2dy. 【解析】在方程(x1)z y2  x2f(xz,y)的两端同时取微分,得 d[(x1)z]d  y2 dx2f(xz,y),   即zd(x1)(x1)dz2ydy  f(xz,y)d  x2 x2d[f(xz,y)] , 得zdx(x1)dz2ydy 2xf(xz,y)dxx2d[f(xz,y)] .当x 0,y 1时,z1,代人上式,得dxdz2dy 0,从而 dz dx2dy. (0.1) 14. 设L是从A(0,1)沿圆周x2  y2 1到点B( 2 , 2 )的一段劣弧，则 xe x2y2 ds_____. 2 2 L 2 【答案】e(1 ) 2   【解析】选用参数方程，则L:xcost,ysint, t  .则 4 2  2  xe x2y2 dse xdse2 cost (sint)2 (cost)2dt e(1 ).  L L  2 4 15. 设A为2阶矩阵,α ,α 为线性无关的2维列向量,Aα 0,Aα 2α α ,则A的非零 1 2 1 2 1 2 特征值为_________. 【答案】1. 【解析】【法1】由已知,得 0 2 A  α ,α  Aα ,Aα  0,2α α   α,α    1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2 α ,α 为线性无关的 2 维列向量,记 P  α ,α  ,则P可逆.由上式有 AP  P ,故 1 2 1 2 0 1 0 2 0 2 P1AP   .即A与   B相似,又 0 1 0 1  2 |BE| (1), 0 1 易知B的特征值为0,1,故A的特征值也为0,1,从而A的非零特征值为1. 【法2】由Aα 0知,0是A的特征值. 1 又 A  2α α 2Aα  Aα  Aα 2α  α ,可知1是A的特征值.故 A的非零特征值 1 2 1 2 2 1 2 为1. 16. 设随机变量X服从标准正态分布X ~ N0,1,则E(Xe2X)=________. 【答案】2e2 【解析】由X ~ N0,1及随机变量函数的期望公式知 E  Xe2X   xe2x 1 e  x 2 2 dx 1   xe  1 2   x224 dx2e2.  2 2  三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答 ． 题 ． 纸 ． 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (本题满分10分)x  1 求函数 f(x)1  在(0,)上的值域.  x 【答案】1,e 【解析】 f(x)    1 1  x   e xln    1 1 x       ln  1 1  1    1 1  x .  x      x x1 x  1 1 1 1 1 1 记 g(x)ln1  ,则 g(x)    0,x(0,) ,于是  x x1 x1 x (x1)2 x(x1)2 g(x) 在 (0,) 上单调减少,则 g(x)g() lim g(x)0 ,故 f(x)0,x(0,) ,因此 x x  1 f(x)1  在(0,)上单调增加.  x 而 lim f(x) lim  1 1  x  lime xln    1 1 x    t 1 x lime ln(1 t t) 1；lim f(x) lim  1 1  x e.所以 x0 x0 x x0 t x x x x  1 f(x)1  在(0,)上的值域是1,e.  x 18. (本题满分12分) 计 算 曲 面 积 分 I (8y1)xdydz2(1 y2)dzdx4yzdxdy ， 其 中  是 由 曲 线  z y1   ,(1 y3)绕 y轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 y轴正向夹角恒大于 . x0 2 【答案】34 z y1 【解析】由已知得，曲线 ,(1 y3)绕 y轴旋转一周所成的曲面为旋转抛物 x0 面 x2 z2  y1,(1 y3) 令:y3,x2 z2 2，其法向量与 y轴正向相同，令为所围成的空间区域， 1 1 利用高斯公式及旋转体体积公式，则 3 I   (8y1)xdydz2(1y2)dzdx4yzdxdy1dxdydz  (y1)dy2. 1 1   1 I (8y1)xdydz2(1y2)dzdx4yzdxdy2(1y2)dzdx161dzdx32. 2  1  1 Dxz 故 I I I 34. 1 2 19.(本题满分12分) e 已知 f (x)满足 f(x) f (x)xn1ex(n为正整数)，且 f (1) ,求函数项级数 n n n n n  f (x)之和. n n1【答案】exln(1x),x[1,1) 【解析】由已知条件可见 f (x) f (x)xn1ex，这是以 f (x)为未知函数的一阶线性非齐次 n n n 微分方程，其中 p(x)1,q(x)xn1ex，代入通解公式 f(x)e p(x)dx (q(x)e p(x)dx dxC) 得其通解为 f (x)e dx xn1exe dx dxC  ex   xn C  , n    n  e 1  xnex 由条件 f (1) ,又 f (1)e C ，得C 0， 故 f (x) , n n n n  n n   xnex  xn  f (x) ex n n n n1 n1 n1 1 记S(x)  xn ,则a  1 ，lim a n1 lim n1 1，则其收敛半径为R 1 1，收敛 n n n n a n 1  n1 n n 区间为(1,1). 当x(1,1)时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，     xn   xn   1 1 S(x)      xn1  ，其中 1xx2L xnL  n1 n  n1  n  n1 1x 1x 故根据函数积分和求导的关系f(x)dxf(x)C，得 x S(t)dtS(t) x S(x)S(0) 0 0  0n 0 02 又由于S(0)   L 0，所以 n 1 2 n1 x x 1 S(x)S(0) S(t)dt 0 dt ln(1x) ， 0 0 1t  xn 即有  ln(1x),x(1,1) n n1  (1)n 当x1时，  ln2. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围 n n1 可扩大到x1处，即  xn  ln(1x),x[1,1) n n1  于是 f (x)exln(1x),x[1,1) n n1 20.(本题满分12分) 设 f x连续，且常数a0，证明： a f  x2  a2   dx  a f  x a2   dx . 1  x2  x 1  x  x【答案】证明略 【证】 a f  x2  a2   dxx2t  a2 f  t a2   1 1 dt  a2 f  t a2   1 dt  a2 f  x a2   1 dx 1  x2  x 1  t  t 2 t 1  t 2t 1  x 2x 1 a  a2 1 1 a2  a2 1   f x  dx  f x  dx. 2 1  x x 2 a  x x 而  a2 f  x a2   1 dx t a x 2  1 f   a2 t   t   a2  dt  a f   a2 t   1 dt  a f   a2 x   1 dx , a  x x a  t a2  t2  1  t t 1  x x 所以 a f  x2  a2   dx  a f  x a2   dx . 1  x2  x 1  x  x 21.(本题满分12分) 设A是3阶矩阵，α ,α ,α 是3维列向量，其中α 0，若Aα α ,Aα α ,Aα 0, 1 2 3 3 1 2 2 3 3 (1)证明α ,α ,α 线性无关;(2)求矩阵A的特征值和特征向量;(3)求行列式 A2E 的值. 1 2 3 【答案】（1）证明略；（2）   0，cα (c0)；（3）8. 1 2 3 3 【解析】(1) 设 kα k α k α 0 ①成立，对①两边同时左乘矩阵 A ，且有 1 1 2 2 3 3 Aα α , Aα α ,Aα 0，则有kα k α 0②. 对②两边再左乘矩阵A，则有kα 0 1 2 2 3 3 1 2 2 3 1 3 ③，而由已知 α 0 ，故由③得 k 0 ,代入②得 k 0 ，再代入①得 k 0 . 综上 3 1 2 3 k k k 0，故α ,α ,α 线性无关. 1 2 3 1 2 3 0 0 0   (2)由已知有 A(α ,α ,α )(α ,α ,0)(α,α ,α) 1 0 0 (α, α, α)B ,由(1)知列向量 1 2 3 2 3 1 2 3   1 2 3   0 1 0 组α ,α ,α 线性无关，从而 α ,α ,α 0即矩阵(α ,α ,α )可逆，所以矩阵A与B相似，则矩 1 2 3 1 2 3 1 2 3 阵A和矩阵B具有相同的特征值.  0 0 令矩阵B 的特征多项式为 BE  1  0 3 0,即得矩阵B 的特征值为 0 1     0，则矩阵A的特征值也为   0,对应的特征向量为cα (c0). 1 2 3 1 2 3 3 (3)由矩阵 A 的特征值为   0 ，得矩阵 A2E 的特征值为 2,2,2，故得 1 2 3 A2E 2228. 22.(本题满分12 分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 3x,0x1,0 yx, f(x,y) 0, 其他.求(1)EX .(2)Z  X Y 的概率密度 f (z). Z 3 3z2 3   ,0 z1， 【答案】（1） ；（2） f (z)2 2 . 4 Z   0, 其他. 【解析】   1 x 1 3 (1) EX   xf(x,y)dxdy dx x3xdy 3x3dx .   0 0 0 4  (2)由于 f (z) f(x,xz)dx, 其中 Z  3x, 0x1,0zx, f(x,xz)  0, 其他， 当z 0或z1时, f (z)0; Z 1 3 3z2 当0 z1时, f (z) 3xdx  ; Z z 2 2 3 3z2   ,0 z1， 故 f (z)2 2 Z   0, 其他.