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2024-2025 学年度秋学期期中联考试卷
高一数学
命题人：王慧 复核人：王登智
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设命题 ： ，则 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. “ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 或 B. C. D.
4. 若 、 、 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的部分图象大致为（ ）A. B.
C. D.
7. 一元二次不等式则 对一切实数 都成立，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在 上的函数 ，对 ，都有 ，若函数 的图象关于
直线 对称，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 集合 的真子集有7个;
B. 设 ， 是两个集合，则 ;
C. 若集合 ，则 的元素个数为4;
D. 已知 ，则 的取值范围为 .
10. 若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值.
C 有最小值 D. 有最小值4
的
11. 下列说法正确 是（ ）
A. 函数 表示同一个函数；
B. 函数 的值域是 ；
C. 已知 ，则函数 的解析式为 （ ）；
D. 函数 ，若不等式 对x∈(0,+∞)恒成立，则 范围 为
．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 __________;
13. 指数函数 的图象如图所示，则二次函数 图象顶点的横坐标的取值范围为
______.
14. 若关于 的不等式 的解集为 且非空，则 的值为
____________.
15. 已知函数 ，存在直线 与 图象有4个交点，则 _____，
的
若存在实数 ，满足 ，则的取值范围是_______________．
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （1）求值：
（2）已知正实数 满足 ，求 的值.
17. 在① ，②“ ”是“ ”的充分不必要条件，③ 这三个条件中任选一个，补
充到本题第（2）问的横线处，并求解.
.
已知集合 ，
（1）当 时，求 ；
（2）若______，求实数 的取值范围.
18. 函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 的解析式；
（2）判断并证明 的单调性；
19. （1）已知 ，且 ，求 的取值范围.
（2）解关于 的不等式 .
20. 某地区上年度电价为 元/（kW·h），年用电量为 kW·h，本年度计划将电价下降到0.55
元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电
量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本
年度电价下调后电力部门的收益为 （单位：元），实际电价为 （单位：元/（kW·h））.（收益=实际电
量 （实际电价-成本价））
（1）写出本年度电价下调后电力部门收益为 关于实际电价为 的函数解析式；（2）当 时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 ?
（3）当 时，求收益 的最小值.
21. 设函数 的定义域分别为 ，且 ．若对于任意 ，都有 ，则称
为 在 上的一个延伸函数．给定函数 ．
（1）若 是 在给定 上的延伸函数，且 为奇函数，求 的解析式；
（2）设 为 在 上的任意一个延伸函数，且 是 上的单调函数．
①证明：当 时， ．
② 判 断 在 的 单 调 性 （ 直 接 给 出 结 论 即 可 ） ； 并 证 明 ： 都 有
．2024-2025 学年度秋学期期中联考试卷
高一数学
命题人：王慧 复核人：王登智
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由并集运算法则可得 ，再由区间表示可得结果.
【详解】集合 ， 则 ，
再由集合的区间表示可得 .
故选：B
2. 设命题 ： ，则 的否定为（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题根据题意直接写出命题 的否定即可.
【详解】解：因为命题 ： ，
所以 的否定 ： ，
故选：B
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.3. “ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，解出不等式，然后将充分不必要条件转化为真子集关系，即可得到结果.
【详解】解不等式 可得 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ，
因此不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围是解集的真子集，
即 是 或 的真子集.
故选：B
4. 若 、 、 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解.
【详解】对于A，B，取 ， ，则 ， ，故A，B错误；
对于C，因为 ， ，所以 ，故C正确；
对于D，取 ，则 ，故D错误；
故选：C
5. 函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】由 且 可求得结果.
【详解】由题意得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 .
故选：C
6. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可.
【详解】 定义域为 ，且 ，则原函数为奇函数.排除B.
再取特殊值 ，且为正数.排除D.
当 时， ， 越大函数值越接近1，排除C.
故选：A.
7. 一元二次不等式则 对一切实数 都成立，则 的取值范围为（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及二次不等式的解法列式可得.
【详解】由一元二次不等式 对一切实数x都成立，
则 ，解得 .
满足一元二次不等式 对一切实数x都成立的k的取值范围是 .
故选：C.
8. 已知定义在 上的函数 ，对 ，都有 ，若函数 的图象关于
直线 对称，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可；
【详解】由函数f (x−1)的图象关于直线 对称，可得 ，
即 ， 为偶函数，
由 得 ，即 是以4为周期的偶函数，
所以 ，
由 ,令 可得 ，所以 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 集合 的真子集有7个;
B. 设 ， 是两个集合，则 ;
C. 若集合 ，则 的元素个数为4;
D. 已知 ，则 的取值范围为 .
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合中元素的个数判断集合真子集的个数，可判断A的真假；根据集合的运算结果，可判断
两集合的包含关系，判断B的真假；可列出集合 中的元素，判断C的真假；根据不等式的性质确定
的取值范围，判断D的真假.
【详解】对A：因为集合 有3个元素，所以其真子集的个数为： ，故A正确；
对B：因为 ，所以 ，故B错误；
对C：由题意： ，有4个元素，故C正确；
对D：因为 ， ，两式相加得： ，即 ，故D错误.
故选：AC
10. 若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值4【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式和乘“1”法逐项分析即可；
【详解】对于A， ，所以 ，当且仅当 时取等号，故A正确；
对于B， ，当且仅当 时取等号，所以
有最大值 ，故B正确；
对于C， ，当且仅当 时取等号，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时取等号，故D正确；
故选：ABD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 表示同一个函数；
B. 函数 的值域是 ；
C. 已知 ，则函数 的解析式为 （ ）；
D. 函数 ，若不等式 对x∈(0,+∞)恒成立，则 范围为
．
【答案】BCD
【解析】
【分析】由两函数的定义域不同可得A错误；由二次函数的单调性可得B正确；由换元法设 可
得C正确；由换元法结合指数幂的运算可得D正确；
【详解】对于A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以不是同一个函数，故A错误；对于B， ，
图象关于 对称，在 上单调递减，在[1,2]上单调递增，
所以 ，故B正确
对于C，设 ，则 ，
则 ，即 （ ），故C正确；
对于D，因为x∈(0,+∞)，所以 ，
所以 ，
又 ，
令 ，所以
，
当且仅当 时取等号，
所以 范围为 ，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 __________;
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式 ，把点 代入求 的值.
【详解】设幂函数 ，因为函数过点 ，所以 ，解得： ，.
所以
13. 指数函数 的图象如图所示，则二次函数 图象顶点的横坐标的取值范围为
______.
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数 的图象可知 ，结合二次函数性质分析求解即可.
【详解】由指数函数 的图象可知 ，
所以二次函数 图象顶点的横坐标 .
故答案为： .
14. 若关于 的不等式 的解集为 且非空，则 的值为
____________.
【答案】 或 ## 或−2
【解析】
【分析】由题意可得 ，且方程 的实数解为 ，再利用韦达定理求出 即
可.【详解】因为关于 的不等式 的解集为 且非空，
所以 ，且方程 的实数解为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或 .
15. 已知函数 ，存在直线 与 的图象有4个交点，则 _____，
若存在实数 ，满足 ，则
的取值范围是_______________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】作出分段函数 的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当 时，直线 与 的
图 象 有 4 个 交 点 ； 第 二 个 填 空 ： 当 时 ， 存 在 实 数 ， 满 足
，进而可得 取值范围，再结合函数对称性从而可得结论.
【详解】当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 ；
故可作出 的图象，如图：由图可知，当 时， ，当 时， ，
所以若存在直线 与 的图象有4个交点时，如图：
当 时，直线 与 的图象有4个交点；
若存在实数 ，满足 ，
如图：
可知当 时，存在实数 ，满足 ，
令 ，解得 ，
则 可得 ；
因为关于 对称， ；同理 关于 对称， ；
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：1； .
【点睛】关键点睛：作出分段函数 的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属
于较难题.
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （1）求值：
（2）已知正实数 满足 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则直接计算可得结果；
（2）利用平方关系可求得 ，再由立方差公式计算即可得出结果.
【详解】（1）原式 ；
（2）因为 是正实数，由 可得 ，
所以 ，则 ，所以 ，
可得
所以 .
17. 在① ，②“ ”是“ ”的充分不必要条件，③ 这三个条件中任选一个，补
充到本题第（2）问的横线处，并求解.
已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若______，求实数 的取值范围.
【答案】（1） .
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）解不等式可得 ，代入 可得 ，可得出结果；
（2）根据选择的条件得出集合间之间的关系，对集合 是否为空集进行分类讨论，得出对应的不等关系，
解不等式可得实数 的取值范围.
【小问1详解】
由题意得 ,
可得
当 时， ，
所以 .
【小问2详解】
若选① ，由 可得 ，
由已知可得当 时， ，解得 ;
当 时，有 ，解得 ；
所以
若选②“ ”是“ ”的充分不必要条件，
由已知可得 是 的真子集，
当 时， ，解得 ;
当 时，有 ，解得 ；
所以，
若选③ ，
由已知可得当① 时， ，解得 ;
当 时，需满足 ，即 ；
由 或 ，解 或 ；
所以可得 或
即 .
18. 函数 是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 的解析式；
（2）判断并证明 的单调性；【答案】（1）
（2）为增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性 及已知条件 代入 即可求出未知参量，从而得出
.
（2）先下结论，再根据单调性的定义法判断 的单调性.
【小问1详解】
由题函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，解得 ，
又由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
则 定义域为 ，且 ，
所以 .
【小问2详解】
在区间 上为增函数.证明如下：
设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ， ， ，
所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递增.19. （1）已知 ，且 ，求 的取值范围.
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）运用基本不等式，换元结合一元二次不等式解法求解；（2）进行分类讨论解二次不等式即
可.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ,令 ，
则 ，所以 ,因为 ，所以 ，所以 .
（2）由题意得 ，
得 ，
当 ，即 时，由 ，得 ，
当 ，即 时， 无解，
当 ，即 时，由 ，得 ，
的
综上，当 时，该不等式 解集为 ；
当 时，该不等式的解集为 ;
当 时，该不等式的解集为 .
20. 某地区上年度电价为 元/（kW·h），年用电量为 kW·h，本年度计划将电价下降到0.55
元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电
量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本
年度电价下调后电力部门的收益为 （单位：元），实际电价为 （单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量 （实际电价-成本价））
（1）写出本年度电价下调后电力部门收益为 关于实际电价为 的函数解析式；
（2）当 时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 ?
的
（3）当 时，求收益 最小值.
【答案】（1） ，
（2）0.6元/（kW.h）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意表示出下调电价后新增用电量，从而得到电力部门的收益的表达式，由此得解；
（2）当 时，代入表达式中列出不等式，解之即可得解；
（3）当 时，代入收益 中，利用基本不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意知，下调电价后新增用电量为 ，
故电力部门的收益 ， .
【小问2详解】
当 时， ，
由题意知 且 ，
化简得 ，解得 或 ，
又 ， ，
所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
【小问3详解】
当 时， ，
令 ， ， ，
，，
当且仅当 时取等号，
故收益 的最小值 .
21. 设函数 的定义域分别为 ，且 ．若对于任意 ，都有 ，则称
为 在 上的一个延伸函数．给定函数 ．
（1）若 是 在给定 上的延伸函数，且 为奇函数，求 的解析式；
（2）设 为 在 上的任意一个延伸函数，且 是 上的单调函数．
①证明：当 时， ．
② 判 断 在 的 单 调 性 （ 直 接 给 出 结 论 即 可 ） ； 并 证 明 ： 都 有
．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得 的解析式；
（2）①通过差比较法证得不等式成立；
②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立.
【小问1详解】
依题可知 ，
当 时 ． 则 ，，
为奇函数， ，
.
【
小问2详解】
①证明： 当 时 ，
，
.
② 当 时 且单调递增，
在 上单调递增，
，
即 ，即 ，
同理可得 ，
将上述两个不等式相加可得 ．
原不等式成立.
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳
“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
