文档内容
高二数学期中考试
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，若 ，则 的长轴长为（
）
A. B. C. 8 D. 4
3. 已知椭圆 （ ）的左，右焦点分别为 ， ，P为椭圆上一点， 的最大值为 3，且
，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆 上位于第一象限内的一点，若
， （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. M点是圆 上任意一点， 为圆 的弦，且 ，N为 的中点.
则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 椭圆 的两个焦点为 ， ，椭圆C上有一点P，则 的周长为（ ）
.
A 12 B. 18 C. 16 D. 20
7. 已知 是方程 的两个不等实数根，则点 与圆 的位置关系是（ ）
A. 点 在圆内 B. 点 在圆上
C. 点 在圆外 D. 无法确定
8. 若圆 上点到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（共3小题）
的
9. 已知空间向量 ， ， ，且 ，则下列说法正确 有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知直线 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 在 轴上的截距为
B. 过定点
C. 若 ，则 或
D. 若 ，则
11. 若圆 ： 与圆 ： 的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线AB的方程为C. AB中点的轨迹方程为
D. 圆 与圆 公共部分的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 是相互独立事件，且 ，则 _____．
13. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办
相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为 ，乙每轮答对的概率为
.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为
______.
14. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下
一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题
就晋级下一轮的概率为________.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
的
15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试 情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分
为 ，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求实数 的值.
（2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在 内的学生中抽取13名，问其中成绩在 的学生有几名？
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分.
16. 已知直线 经过点 .
（1）若直线 在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线 的方程；
（2）若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的负半轴于点 为坐标原点， 的面积为 ，求 的最小值及
此时直线 的方程.
17. 已知点 ， ，动点 到点 的距离是 到点 的距离的2倍，记动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程.
的
（2）已知动点 在直线 上，过点 作曲线 两条切线 ， ，切点分别为 ， ，直线 是否过
定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由.
18. 在平面直角坐标系 中，已知直线 过点 ，且 与 ， 分别交于点
A，B．
（1）若点A在直线 上，且 的平分线为射线 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求点B的坐标．
（2）若直线 与 轴负半轴及 轴正半轴分别交于点M，N，求 的最小值及取最小值时直线 的方
程．
19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ．
（1）证明： ．（2）若点 ， ， ， 都在半径为 的球 的表面上．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求平面 与平面 夹角的余弦值．
ACBDB CCB 9ABD 10ABD 11BC
12
## 13 ## 14 ##
15 【小问1详解】
由频率分布直方图知：
，
解得 .
【小问2详解】
采取分层抽样，[130,150]的学生个数为： ，
即成绩在 的学生有2名.
【小问3详解】
由频率分布直方图知：平均数为：
.
16 【小问1详解】
解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线 过坐标原点，设直线 的方程为 .因为直线 过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
当在坐标轴上的截距不为0时，设直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
【小问2详解】
解：如图所示，可得直线 的截距不为0，斜率存在且斜率 ，
设直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，则 ，所以 ；
令 ，解得 ，则 ，所以 ，
则 的面积为
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为12，此时直线 的方程为 ，即 .17 【小问1详解】
由题意得 ，所以 .
设 ，因为点 ， ，
所以 ，化简得 .
所以曲线 的方程为 .
【小问2详解】
由（1）知，曲线 是圆心为 ，半径 的圆，
因为 和 是圆 的两条切线， ， 为切点，
所以点 ， 在以 为直径的圆 上，所以圆 与圆 相交，
因为点 在直线 上，所以设 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以圆 的方程为 ，
化简得 .
因为圆 的方程为 ，
上面两圆方程做差得直线 的方程为 ，即 .
解 得 ，所以直线 过定点 .
18【小问1详解】
（ⅰ）由题意知，直线 ， 均过坐标原点 ，直线 的方程为 ，
因为点 为直线 与直线 的交点，所以 ．
因为 的平分线为射线 ，所以点 关于直线 的对称点 在直线 上，
设 ，则
解得 ， ．
（ⅱ）设 ，因为点 ， ， 共线，且直线 斜率存在，
所以 ．
解得 ，所以 ．
【小问2详解】
设直线 的倾斜角为 ，则 ．
由 ，得 ， ，所以 ，
当 时取等号，此时直线 的斜率为1，方程为 ，即 ．
19【小问1详解】
因为平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
故 .
【小问2详解】
如图，以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 ， 轴，
过点 在平面 内作 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
（ⅰ）设 ，由 ，
得 ，
解得 ， ，所以 ，
设 不同时为零，由 ， ，
得 且 ，
解得 ， ，所以 ，则 .（ⅱ）由（ⅰ）可得 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
取 ，得 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
取 ，得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
