250515_114858-第三章-二维随机变量及其分布答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_强化_概率

第三章 二维随机变量及其分布 巩固练习 1.【答案】 1 1 7 8 【解析】由题设，知 k 3  1 P { X  k }  1 ， P { X  k }  1 3 ，根据全概率公式得 P  Y  2 .5    k 1 3 3  1  P 1   Y 1   2 2 .5 .5 3 ,  X   k 8 .5 9    1 1 k 7 8 3  1 . P  X  k  P  Y  2 .5 | X  k  2.【答案】 1 4 F ( y )  3 4 F ( y  1 ) 【解析】 X 1 ~ B  1 , 3 4  ，即 X P 1 0 1 4 1 3 4 ． 由全概率公式，得 F Y ( y )    P P 1 4   P X X  1 1 X   2 X 0   2 P y    y X   2 3 4   P P y    X X  2  1 P   y X X  2 1 1    y 1  ,  1 4 X P 1  F  X ( y 0 2 )     y 3 4 P  F  X  1 ( y 1   1 X ) . 2  y , X 1  1  3.【答案】 0 .3 【解析】方法一：根据归一性 0.10.20.10.20.61， 即0.4.又 0.5 P  X2 Y2 1   P  X2 0,Y2 1  P  X2 1,Y2 0   PX 0,Y 1PX 0,Y 1PX 1,Y 0 0.10.10.2 故0.3也就有0.1；  2 2 P X Y 1 P P 0   .2 X X 2 1 1 , , Y Y 0 2 .3 1 .  1  P  X 1 , Y 1                 . 方法二：本题所给条件 X 2 ，Y2，所以也可以转换成：已知 Y 2 0 1 X2 0 0 .2 0.1 1 0 . 1 0 . 2   且P  X2 Y2 1  0.5，求 P  X 2 Y 2  1  ． 显然 0 . 1 0 . 2 0 . 7       ，则 0 .4     ， 又 P  X 2 Y 2 1  0 . 1 0 . 1 0 . 5        ， 得0.3，则P  X2Y2 1  0.20.3． 4.【答案】 2  【解析】由于 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; 21 , 22 ; 0 )     ，所以X,Y 相互独立， F ( x , y )  F X ( x ) F Y ( y ) ， X ~ N ( 1 , 21 ) , Y ~ N ( 2 , 22 )     . 由正态分布密度函数对称性， F X ( 1 ) P  X 1  1 2      ， F ( 1 , y ) F X ( 1 ) F Y ( y ) 1 2 F Y ( y ) 1 4      ， 就有 F Y ( y )  1 2 ，即y． 2  1 1 1 1  5.【答案】N   , ; , ;0   2 2 4 4  【解析】 ( X , Y ) 的分布函数为(2x1)(2y1)，可知 X , Y 必独立．  (  2 x   x 1  )  1 2  ( 2 1 2 y    1  )  y  1 2 1 2   F X ( x ) F Y ( y ) 由正态分布 X ~ N ( , 2 )  的标准化，可知 F X ( x ) P  X x  P X x x                    ， 现 F X ( x )    x    1 2 1 2    1 1 ，所以X ~ N   , ．同理  2 4 Y ~ N  1 2 , 1 4  ． 总之 ( X , Y ) ~ N   1 2 , 1 2 ; 1 4 , 1 4 ; 0  ． 6.【答案】  ( x ) 【解析】将事件“Y  1”和“Y 1”看成一完备事件组，则由全概率公式 F(x) PZ  x PXY  x  PX  x,Y 1PX  x,Y 1  PX xPY 1PX  xPY 1 1 1  PX x PX  x 2 2 由对称性可知： P  X   x   P  X  x  ，所以 F ( x )  1 2  ( x )  1 2  ( x )   ( x ) ． 7.【答案】0 【解析】P  1 m P P P 1 2 a P    x (  m X X 1 2 X m a , Y a x x ( 1 2 ) ( X X , Y , Y  P 1 2 , Y )   ) Y 0  . P    P  m P  i n 1  X P ( m  X i X P n , Y )  m ( X , Y i n , Y  ( ) P  X   , Y Y  )                                                     8.【答案】A 【解析】如果 F Z ( z ) 在 z  a 有间断点，即 F Z ( a )  F Z ( a  0 )  0 ，也就有 PZ a F (a)F (a0)0． Z Z 由全概率公式知，对任意实数 a ， P      P P P 1 2 X      X X X P Y     X  Y a a a      a , Y 1 , Y  1 P a  1     1 Y  1    P   1  P P  X    X X P    a  X  Y a 1     1 a  a , Y   , Y 1 1 2   (   P 0  1   1  Y 0   )   1 0  , 所以 X  Y  Z 的分布函数 F Z ( z ) 是连续函数， 答案选（A）． 9.【答案】D 【解析】显然我们可以通过计算每个选项中的随机变量的分布来确定正确选项，这样会有大 量计算．我们也可以利用指数分布的一些性质来判断． 如果 X ~ E ( ) 1  ，则EX  ．  E ( X Y ) E X E Y 2 2 1        ， 1 E(X Y) EX EY 0 ， 2 所以（A）不对，（B）也不对；当X,Y 独立时，max(X,Y)的分布函数为Pmax(X,Y) x  PX  x,Y  x PX  xPY  x (1ex)2, x0   PX  x  2   0, x0 显然不等于 E ( 2 )  的分布函数； 当X,Y 独立时，min(X,Y)的分布函数为 P  1 1 m 1 i n (  P  P e 0 X m X 2 , , Y i n x , ) ( X x  x x x , Y P  )  Y 0 0 x  x  1 1 P  [ 1 X F ( x x , Y ) ] 2 x                        即min(X,Y)~ E(2)， 所以选择（D）． 10.【答案】A 【解析】 ( X , Y ) ~ f ( x , y )  2 1  e  x 2 2 y 2  1 2  e  2 x2  1 2  e  2 y2 ， 本题可以看成 X ~ N ( 0 , 1 ) ， Y ~ N ( 0 , 1 ) ，且 X 与 Y 相互独立， 1  x2 f (x) e 2 ， X 2 f Y ( y )  1 2  e  2 y2 ， f(x,y) f (x)f (y) X Y f ∣X Y ( x | y )  f ( f Y x ( , y y ) )  f X ( x f Y ) ( f Y y ( ) y )  f X ( x ) , 显然 f Y ( y )  0 ，答案应选（A）． 11.【答案】D 【解析】二维正态分布应具有密度函数f ( x , y ) ( x 2 21 1 ) 1 2 1 2 2 1 ( x 2 e x ) 1 1 p ( 2 y 2 (1 ) 2 1 ( 2 y ) 22 2 ) 2                           其中 1 ，， 0， 2 1 2 0   ， 1 1     均为常数，记作 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; 21 , 22 ; )      ． 显然本题的 f ( x , y ) 不具这种形式，因此 ( X , Y ) 不服从二维正态，所以（A）（B）不正 确．由于 s i n x e  2 x2 是奇函数，因此      s i n x e  2 x2 d x       s i n y e  2 y2 d y  0 ． 而 f X ( x )     2 2     1  1  e e f   ( x 2 x2 2 x2 ,   y  ) d y   e   2          2 y d y 2 1 2 1     e s i n 2   s   2 x  2 x  i n s x i n s i y n  y e e   2 x  y 2 2 y d 2 2 y d  y 即X ~ N(0,1)，同理可证 Y ~ N ( 0 , 1 ) ，由此可知，虽然联合分布 ( X , Y ) 不服从二维正态分 布，但其边缘分布 X 与 Y 均为正态分布，故选（D）． 12.【答案】A 【解析】 X ~ B  1 , 1 2  ， X 取值只能为X 0或 X  1 ，将X 0和 X  1 看成完备事件组， 用全概率公式有P       P P P 1 2 1 2 X    P   Y Y Y  1 3 Y    Y   1 3 1 3 1 3  1 2 1  3  , X , X  P  1  3   0      X 0 0 1 2 1 6    P .   0  P P  Y     1 Y P     Y Y 2 3     2 3 1 3 ,  , X 2 3 X    1 P 1    X  1  13.【答案】B 【解析】设 ( X 1 , X 2 ) 的分布为 F 1 ( x 1 , x 2 ) ， ( Y 1 , Y 2 ) 的分布为 F 2 ( y 1 , y 2 ) ， F 2 ( y 1 , y 2 )   P P   Y 1 X  1  y , Y 1 y 1 2 2 ,  X 2 y 2   3  y 2 P    2 X F 1 1   y 2 1 y , 1 , 3 1 3 y 2 X  2  y 2  3  y  所以 f (y ,y ) f  1,3y ，故选（B）． 2 1 2 2 1  2 2  14.【答案】 F U ( u )   0 , u 3 u  3 , 0 8 3 u  , 1 4 8 1 , u     0 u u 2 ,   . 1 2 , , 【解析】由 X 0, x0,  3 的分布函数为F (x) , 0 x1，可知X 为离散型随机变量， X 4  1, x1,  P ( X  0 )  3 4 ， P ( X  1 )  1 4 ；则 F (u) P(U u) P(X Y u) U  P(X Y u,X 0)+P(X Y u,X 1)  P(Y u,X 0)+P(Y u1,X 1)当u0时， F U ( u )  0 ； 当 0  u  1 时， F U ( u )   P P ( ( U X   u 0 ) )  P ( P Y ( X  u  ) Y   3 4 u  ) u   2 P 1 ( X  3  u 0  8 , Y 3  u ) 当 1  u  2 时， F U ( u )  P ( X  0 , Y  u )  P ( X  1 , Y  u  1 )  3 4  1 4  u 2  3 4  u 8 当u2，F (u)1. 所以 U F U ( u )   0 , u 3 u  3 , 0 8 3 u  , 1 4 8 1 , u     0 u u 2 ,   . 1 2 , , ex,x0 2e2y,y 0 15.【答案】（1） f (x) ； f (y) （2） X 0, x0 Y 0, y0 X , Y 相互独立 【解析】（1） f X ( x )       f ( x , y ) d y 当 x  0 时， f (x)0； X 当 x  0 时， f X ( x )       f ( x , y ) d y    0  2 e  ( x  2 y )d y  e  x   0  e  2 y d ( 2 y )  e  x ex,x0 则 f (x) . X 0, x0 f Y ( y )       f ( x , y ) d x ， 当 y 0时， f (y)0； Y 当 y 0时，   f (y) 2e(x2y)dx2e2y exdx2e2y， Y 0 0则 f Y ( y )   2 0 e ,  2 y , y y   0 0 . （2）因为 f ( x , y )  f X ( x ) f Y ( y ) ，所以随机变量 X , Y 相互独立. 16.【答案】（1） f ( x , y )   1 x 0 , , 其 0  他 y .  x  1 , （2） f Y ( y )    0 l n y , , 其 0  他 y .  1 , 【解析】（1）因为 X ~ U ( 0 , 1 ) ，所以 1,0 x1 f (x) X 0,其他 又在X  x(0 x1)下，Y U(0,x)，所以 f Y |X ( y | x )   1 x 0 , , 其 0  他 y  x 1  ,0 y x1, 故 f(x,y) f (x)f (y|x)x X Y|X  0,其他. (2) f Y ( y )       f ( x , y ) d x ，当 y  0 或 y  1 时， f Y ( y )  0 ； 11 当0 y1时， f (y) dxln y ，故 Y y x f Y ( y )    0 l n y , , 其 0  他 y .  1 , 17.【答案】 f U ( u )   0 e e , 2 2 u  2 u , 1  2 u 4  2 u  e , u    1 , u 2  . 2 , 【解析】由Y ~ E(4)可得 f Y ( y )   4 0 e ,  4 y , 其 y  他 0 . ,F U ( u )      P P P P 0 ( U ( X  Y   Y  .5 P      Y u 2 u u )  Y  2  2   1 1 u P u ,   2 ( , X P 1 X  X   1 ( X    2 1   0 Y )  1 .5   P ) P u P    ) ( X Y P Y    Y   2 u  u Y  2  2  u 2 , X u  2 2 2  , X   P   2 ( 2  X )  2 ) 当u1时，F (u)0； U 当 1  u  2 时， F U ( u )  0 . 5  u 0 2 1 4 e  4 x d x  1 2 ( 1  e 2  2 u ) ； 当u 2时， F U ( u )   0 1 2 .  5 (1 u 0   1 2 e 4 2  e 2  u 4 ) x d  x 1 2  0 (1 .  5  e u 0 4  2 2 2 u 4 ) e  4 x d x 0, u1,  故 f (u) F(u)e22u, 1u2, U U  e22u e42u,u 2.  18.【答案】（1） F ( x )   0 , x 2 x x  , 0 2 1 1 2  ( x  1 ) , 1 2 2 1 , x     0 x x 2 ,   1 2 , , （2）X,Z 不相互独立 【解析】（1）随机变量(X,Y)的联合密度为 1,(x,y)D f(x,y) . 0,(x,y)D U 的分布函数为 F(x) P(U  x)  P(X Z  x,Z 0)P(X Z  x,Z 1)  P(X  x,X Y)P(X  x1,X Y)当x0时， F ( x )  0 ； 当x2时， F ( x )  1 ； 当 0  x  1 时， F ( x )   P P ( ( X X   Z Y  , X x )   x P ) (  Z   x 0 d 0 u ,  X 1 u d  v x  )  x 0 ( 1  u ) d u  x  x 2 2 当1x2时， F(x) P(Z 0,X  x)P(Z 1,X  x1)  P(X Y,X 1)P(X Y,X  x1) 1 x1 u 1 1   du dv  (u1)2 2 0 0 2 2 故 U 的分布函数为 F ( x )   0 , x 2 x x  , 0 2 1 1 2  ( x  1 ) , 1 2 2 1 , x     0 x x 2 ,   1 2 , , (2) 设 ( X , Z ) 的分布函数为 F ( x , z ) ， F  1 2 , 0    P P   X X   1 2 1 2 , , Z X   0 Y     P   12 0 X d u   1 u 1 2 d , v Z    0 12 0  ( 1  x ) d x  3 8 F X  1 2   P  X  1 2   1 2 ， F Z ( 0 )  P  Z  0   P  Z  0   P  X  Y   1 2 ， 因为 F  1 2 , 0   F X  1 2  F Z ( 0 ) ，所以 X , Z 不相互独立.综合测试 1.【答案】 e  2 【解析】 X 和 Y 的分布函数为 F ( x )   10 , e  x , xx  00 ,, 又X 和 Y 独立，故 P  m i n ( X , Y )  1    P e   1 X  e   1 1  , Y e   2 . 1   P  X  1  P  Y  1  2.【答案】 1  e  1  2 e  12 【解析】应用公式P(X,Y)D f(x,y)dxdy即可求得结果.事实上， D P { X  Y   1 } 1  2 0  ( e   x  y  x  1  f e ( x x  1 , ) y d ) x d  x d 1 y   e   1 12 0  d 2 x e   1  x x 1 . 2 e  y d y 3.【答案】D 【解析】由于 X ~ E ( )  ex, x0,  ，所以密度函数为 f(x) 分布函数为 0, x0,  1ex, x0, 1 1 F(x)  E(X) ,D(X) ，因为 0, x0,  2 E ( X Y ) 2 , E ( X Y ) 0      ， 而maxX,Y 的分布函数是 P ( m a x { X , Y } x ) P F ( 2 X ( x ) x , Y 1 0 , e x ) 2 x , P x x ( X 0 0 , , x ) P ( Y x )                所以（A）（B）（C）项都不对，答案选（D）. 事实上，minX,Y 的分布函数为 P(min{X,Y} x)1P(min{X,Y} x)1P(X  x,Y  x) 1P(X  x)P(Y  x)1[1F(x)]2 1e2x, x0,  0, x0. 4.【答案】B【解析】由于 X ~ U (  2 , 4 ) , 因此 X 的概率密度为 f ( x )   1 6 0 , ,  其 2 他  . x  4 , 又随机变量 X , Y 相互独立，故 PXY 2 PY 2PXY 2|Y 2PY 2PXY 2|Y 2  PY 2PX 1PY 2PX 1 3 11 1 41 3 1 1 3 1   dx  dx     . 4 2 6 4 1 6 4 6 4 6 4 5.【答案】（1） f Y ( y )   b 0 1  , a l n b b   a y , a 其  他 y .  b , （2）1ln2 【解析】（1）由题意，X ~U(a,b)，故 X 的概率密度为 f X ( x )   b 0 , 1  a , a 其  他 x .  b , 对于任意给定的x(a,b)，在 X  x 的条件下，Y 的条件概率密度为  1  , x y b, f (y|x)bx Y|X  0, 其他. 故X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y )  f Y |X ( y | x ) f X ( x )   (0 b,  a 1 ) ( b  x ) , a 其  他 x .  y  b , 于是， Y 的概率密度为 f Y ( y )           y  a 0 , 1 b  0 , f ( ( b a x  l , n y ) d 1 a ) ( b b  b  x  a y x , ) d a 其 x ,  他 a 其 y .   他 b y . ,  b , （2）P  X  Y  a  b        a a a a a a 2 2 2 b b b d (  x a b b a  x   2   b  x b  a ) ( b  a ( b 2  b  x x 1  a d ) x 1 ) ( x  d  b  x    x a a 1 d )  b 2  y ( l a n  ( b ( b b   )  a ) x ) 2 ( b ( b  a  b 2 a  x  x ) 1 ) d  x l n 2 . 6.【答案】 F ( x , y )   011 , 22 ee   y y  ee   2 2 y x , 2 e  ( x  y ) , x00  0yx 或 yxy , 0 , 【解析】如图所示，①当 x  0 或者 y 0时，F(x,y)0； ②当 0  y  x 时， F ( x , y )   x   d s  y   f ( s , t ) d t  2  y 0 e  td t  t 0 e  s d s  1  2 e  y  e  2 y ； ③当 0  x  y 时， F ( x , y )    1 x    d 2 s e   y   y  f e ( s  2 , x t )  d t 2 e   2 ( x x  0  y ) e  s d s  y s e  td t 于是，(X,Y)的分布函数为 F ( x , y )   011 , 22 ee   y y  ee   2 2 y x , 2 e  ( x  y ) , x00  0yx 或 yxy ,. 0 ,拓展提升 1.【答案】（1） a   1 ；（2） f Z ( z )   1 2 1 2 0 , ( 1 ( 1    2 e z  e z ) e , z 2 ) , 0 其   他 0 z ,  2 , + 【解析】（1）由 f (y)dy 1，知 Y  a  0 ，且   0  e a y d y  1 a e a y  0   l i y  m   1 a e a y  1 a   1 若成立，必有 l i y  m  1 a e a y  0 ，解得a1. （2） 方法一（公式法）：由（1）知 Z  2 X  Y ，且 X , Y 相互独立，故 f Z ( z ) =      f X ( x ) f Y ( 2 x  z ) d x , （*） 积分区域为  0 2  x  x  z 1  , 0 , 即  0 2  x  x  z , 1 , 于是 【注】（*）处来自如下公式.设 ( X , Y ) ~ f ( x , y )   1 e(2xz)dx, z 0,  0   f (z) 1 e(2xz)dx, 0 z 2, Z z  2   0, 其他 1 (1e2)ez, z 0,  2   1 (1ez2), 0 z 2,  2   0, 其他 ，则Z aX bY(ab0)的概率密度为 1   zby  1   zax f (z)  f  ,y  dy   f  x,  dx Z a   a  b   b 进一步，若 X , Y 相互独立，且 X ~ f X ( x ) , Y ~ f Y ( y ) , 则 f Z ( z )  1 a      f X  z  a b y  f Y ( y ) d y  1 b      f X ( x ) f Y  z  b a x  d x . 方法二（分布函数法）：由（1）知 Z  2 X  Y ，且 X , Y 相互独立，故 f ( x , y )   e 0  , y , 0 其  他 x  1 , y  0 F Z ( z )  P  Z  z   P  2 X  Y  z  当z 2时， F Z ( z )  1 当0z2时， 1 2xz 1 F (z)1 dx eydy 1 (1ez2x)dx Z z z 0 2 2 1  ez2x  z 1 ez2 1x      2  z 2 2 2 2 当 z  0 时， F Z ( z )   1 0 d x    2 x  z e  y d y   1 0 e z  2 x d x   e z  2 2 x 1 0  e z  2 e z  2 所以概率密度为 f Z ( z )   1 2 1 2 0 , ( ( 1 1   e e  z 2  ) 2 e ) z , , z 0 2    0 z z ,  . 2 , 2.【答案】A 【解析】题设二次型 g ( x 1 , x 2 , x 3 ) 对应的矩阵为A   1 1 X 1 2 0 X 0 Y  注意到 A 的顺序主子式：  1  1  0 ,  2  1 1 1 2  1  0 ,  3  A ，故若要 A 正定，当且仅 当 1 1 X A  1 2 0 Y 2X2 0 X 0 Y 故g(x ,x ,x )正定的概率为 1 2 3 P  Y 2X2 0   1 dx 2 1 dy  2 . 1 2x2 4 3 3.【答案】 4  4 2   2 2   ( 2 ) 【解析】由于 f X ( x )   1 2 0 , , 0 其  他 x ,  2 , f Y ( y )   2 0 e ,  2 y , y 其  他 0 , , 且 X , Y 相互独立，故 e2y, 0 x2,y 0, f(x,y) 0, 其他, 方程a2  XaY 0有实根，则需要X2 4Y 0，即 Y  X 4 2 .故方程有实根的概率为P  Y  X 4 2          2 x y  4 2  d 0 1  2 1  1  1  f ( x 2 x  x 4 0 2  ( e 0 2  2 2  2 2  4 , y )  2 e 2 x  2 2  0 [   d x d y y d y   1 ) d 1 e 2  ( 2 )  2   2    0  x  22 x 0  y  4 1 2   ( 2 0 1 x  1  2 2 x  d x 2  ( 0 ) ] 4 ( 2 )  e e  2 y d  2 y 2  e 0  4 x d 2 x ) 40 2 x  2 2  y d d x x  2 2   ( 2 ) . 4.【答案】（1） f ( x , y )   1 0 , 0 , 其  他 x  . 1 且  x  y  x , （2） F W ( w )   0 , 1 21 21 , (  w 1 2  1 w ) 2 2 , , w  0 w  1     w 1 1 w  . ,  1 0 , ,  1  , x y x, 【解析】（1）由题意得，当0x1时， f (y|x)2x YX  0, 其他, 则 f ( x , y )   f X 1  0  ( , , x ) 0 其 f Y |X  他 ( x . y  | 1 x 且 )  x  y  x , （2） F (w) PW w PX [Y]w W  PX [Y] w,[Y]1PX [Y] w,[Y]0  PX w1,1X Y 0PX  w,0Y  X 1 若w1，则F (w)0 W若1w0，则 F W ( w )   w 0  1 d x  0  x 1 d y  0  1 2 ( w  1 ) 2 若 0  w  1 ，则 F W ( w )   1 0 d x  0  x 1 d y   w 0 d x  x 0 1 d y  1 2  1 2 w 2 若 w  1 ，则 F W ( w )  1 F W ( w )   0 , 1 21 21 , (  w 1 2  1 w ) 2 2 , , w  0 w  1     w 1 1 w  . ,  1 0 , , 5.【答案】（1） f ( x , y )   2 0 e ,  x  y , 0 其  他 x .  y , ez, z 0 （2） f (z) Z 0, z 0 【解析】（1）(X,Y)的联合分布函数为 F ( x , y )  P  X  x , Y  y   P  Y  y   P  X  x , Y  y  当 0  y  x 时， F ( x , y )  P  X 1  y , X 2  y   0  P  X 1  y  P  X 2  y   ( 1  e  y ) 2 当 0  x  y 时， F ( x , y )    P P (1    X X e 1 1    y ) y y 2 ,   X P ( 2   e  X x y 2    e   y y P  ) 2    x P 1    X x 2 1  e  X  y y 1  , x  e   y  2 x X P  2  2  x e y   x   X y , 2  y  故(X,Y)的联合概率密度为 f ( x , y )   2 F  ( x x  , y y )   2 0 e ,  x  y , 0 其  他 x .  y , （2）方法一：Z 的分布函数为 F (z) PZ  z PY X  z  f(x,y)dxdy, Z yxz 当 z  0 时，F (z)0； Z 当z0时，  xz F (z) dx 2exydy1ez Z 0 x ez, z 0, 故Z 的概率密度为 f (z) Z 0, z 0.方法二：由卷积公式得 f Z ( z )       f ( x , x  z ) d x ，其中 f ( x , x  z )   2 0 e ,  2 x  z , x 其  他 0 . , z  0 , 当 z  0 时， f Z ( z )  0 ； 当 z  0 时， f Z ( z )    0  2 e  2 x  z d x  e  z ； ez, z 0, 故Z 的概率密度为 f (z) Z 0, z 0. 【注】二维连续型随机变量线性组合的卷积公式： 设 Z  a X  b Y ，则  1  zax  1  zby  f (z) f  x,  dx f  ,y  dy. Z  b  b   a  a  6.【答案】（1） f Z ( z )   3 0 ( 1 ,  z ) , 0 其  他 z .  1 , （2） 1 2 3 4 0 【解析】（1）方法一：Z 的分布函数为 F (z) PZ  z PXY  z  f(x,y)dxdy. Z xyz 当z0时， F Z ( z )  0 ； 当 z  1 时， F Z ( z )  1 ； 当 0  z  1 时， F Z ( z )  1  3  1 z y d y  y zy d x  1  3  1 z ( y 2  z ) d y  3 z  2 z 32 ； 故Z 的概率密度为 f Z ( z )   3 0 ( 1 ,  z ) , 0 其  他 z .  1 ,  1  z  方法二：由卷积公式得 f (z) f ,y dy， Z  y   y   其中 f  z y , y    3 0 y , , 0 其  他 z  y 2 , 0  y  1 ,  1 1   3ydy =3(1 z), 0 z1, 故Z 的概率密度为 f (z) z y Z  0, 其他.（2）由 E ( X Z )  E ( X 2 Y )            x 2 y f ( x , y ) d x d y  3  1 0 y 2 d y  y 0 x 2 d x   1 0 y 5 d y  1 6 , E X            x f ( x , y ) d x d y  3  1 0 y d y  y 0 x d x  3 2  1 0 y 3 d y  3 8 , E Z  E ( X Y )            x y f ( x , y ) d x d y  3  1 0 y 2 d y  y 0 x d x  3 2  1 0 y 4 d y  1 3 0 , 或 E Z       z f Z ( z ) d z  3  1 0 z ( 1  z ) d z  1 3 0 , 得 C o v ( X , Z )  E ( X Z )  E X  E Z  1 2 3 4 0 . 【注】二维连续型随机变量积、商的卷积公式：  1  z  1  z  （1）设Z  XY ，则 f (z) f  x,  dx f  ,y  dy Z  x  x  y  y  （2）设 Z  Y X  ，则 f (z) |x| f x,xzdx. Z 