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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章-第二十二章。
5．难度系数：0.85。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知抛物线的解析式是 ，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 抛物线的解析式为 ，
顶点坐标为： ．
故选：A．
2．用配方法解方程 方程应变形为（ ）
A． B．（x－1）2＝1 C． D．
【答案】D
【详解】解： ，
，
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；
故选：D．
3．将抛物线 向左平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将抛物线 向左平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解
析式为 ，即 ，
故选D．
4．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设
参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝21B． x（x﹣1）＝21 C．2x（x﹣1）＝21 D．x（x＋1）＝21
【答案】B
【详解】解：由题意，每个队都要赛 场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为 ，
故选：B．
5．若 是方程 的一个根,则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由根与系数的关系,即3加另一个根等于5,计算即可.
由根与系数的关系,设另一个根为x,
则3+x=5,
即x=2．
故选B．
6．在平面直角坐标系 中，点 ，点 的位置如图所示，抛物线 经过 ， ，则下列说法
不正确的是（ ）
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A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴是
C．点 在抛物线对称轴的左侧 D．抛物线的顶点在第四象限
【答案】C
【详解】解： ，
时， ，
图象经过原点，
又 对称轴为直线 ，
抛物线开口向上，点 在对称轴的右侧，顶点在第四象限．
即A、B、D正确，C错误．
故选：C．
7．已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 3
y … 10 5 2 1 2 …
则当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=5；当x=4时，y=5，
∴当 时，x的取值范围为x<0或x>4
故选：C．
8．如图，等腰 的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，
开始时点C与点D重合，让 沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止 设CD的长为x，
与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是
（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可以得到y与x之间的函数关系式为：
，
所以y与x之间的函数关系的图象大致是：
故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．一元二次方程 的解是 ．
【答案】
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
∴ 或 ，
解得 ，
故答案为： ．
10．写出一个二次函数，其图像开口向上，且与y轴交于点（0，1），这个二次函数的解析式可以是
．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：∵图像为开口向上，并且与y轴交于点 ，
∴ ，
∴二次函数表达式为： （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
11．抛物线 交y轴于点M，点M关于其对称轴的对称点N的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【详解】解：由抛物线解析式 可得对称轴为直线 ，点M的坐标为
，
∴点M关于其对称轴的对称点N的坐标为 ；
故答案为 ．
12．若点 ， 为二次函数 图象上的三个点，则y，
1
y，y 的大小关系是 ．
2 3
【答案】
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【详解】解：∵ ，
，对称轴为直线 ，
∴抛物线开口向上，
∴点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，
，
，故答案为： ．
13．在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．若关于 的一元二次方程
（ 为实数）在 的范围内有实数根，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
一元二次方程 的实数根可以看作 与函数 的有交点，如图，
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当 时， ．
∵方程在 的范围内有实数根，即函数 的图象在 的范围内与 的图
象有交点，
∴ ．
故答案为： ．
14．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷，近50
万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲
美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百
六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设
矩形田地的长为x步，可列方程为 ．
【答案】x（x-12）=864．
【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：x（x-12）=864．
15．如图所示是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为 ，且与x轴的一个交点在点
和 之间，则下列结论：① ；② ；③ ；④一元二次方程
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没有实数根．其中正确的结论个数是 ．
【答案】
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与x轴的一个交点在点 和 之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在点 和 之间，
∴当 时， ，即 ，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵ 时， ，
∴ ，
即 ，故②正确；
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线 与直线 有唯一一个交点，
即方程 有两个相等的实数根，
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∴
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∴直线 与抛物线没交点，
∴一元二次方程 没实数根，故④正确；
故答案为： ．
16．如图，在平面直角坐标系 中，有五个点 ，将二次函数
的图象记为W．下列的判断中
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②
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【详解】由二次函数 知其顶点坐标为（2，m），而m≠0，
故（2，0）不在函数图象上，
所以，点A不在函数图象上，即点A一定不在W上，故①正确；
把C（-2，4），B（0，-2）代入 得，
，
解得， ，
∴
当x=4时，y=-2,
所以，点D在函数 的图象上，
因此，点B，C，D可以同时在W上，故②正确；
把C（-2，4），E（7，0）分别代入 得，
，
解得，
∴
所以，点C，E可能同时在W上，故③错误.
故答案为：①②.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（6分）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
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【详解】解：（1） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：x=-1或x=3；…………………………………………………3分
1 2
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
√6
∴x+1=± ，
2
解得：x= 或x= ．…………………………………………………6分
1 2
18．（5分）已知二次函数 的图象经过 ， 两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当x___________时，函数y随x的增大而减小．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过 ， 两点，
∴ ，解得
二次函数的表达式为 …………………………………………………3分
（2）∵ ，对称轴为 ，
当 时， 随 的增大而减小
故答案为： …………………………………………………5分
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19．（5分）若 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【详解】解：根据题意，得 ，则 ，
即 ，…………………………………………………2分
则
． …………………………………………………5分
20．（5分）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当m为满足条件的最小整数时，求出m的值及此时方程的两个根．
【详解】（1）由题意得： ，
解得： . …………………………………………………2分
（2）∵ ，
∴m的最小整数为 ，
此时方程为 ，
解得： . …………………………………………………5分
21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，
0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
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【详解】解：(1) 抛物线 经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得 ，
所求抛物线的解析式是y=x2+2x−3． …………………………………………………3分
(2) 当y=0时， ，
因式分解得： ，
∴ ，
∴ ，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1． …………………………………………………5分
22．（5分）列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同
样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为 ，求道路宽的长度．
【详解】解：设道路宽的长度为 ，
由题意得： ， …………………………………………………2分
整理得： ，
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解得： ， （不符合题意，舍去），
答：道路宽的长度为 ． …………………………………………………5分
23．（6分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所
示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，
达到最大高度 的B处，请你自己建立平面直角坐标系，计算小丁此次投掷的成绩是多少米？
【详解】解：如图，建立直角坐标系，
∵铅球出手处距离地面的高度是 米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为 米，
∴顶点坐标为 ，A点坐标为 ，
∴可设二次函数的解析式为 ，
∴ ，
解得： ， …………………………………………………3分
∴二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
解得： （舍去），
∴小丁此次投掷的成绩是8米． …………………………………………………6分
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24．（6分）在矩形 中， ， ，点P从点A出发，沿 边向点B以 的速
度移动，同时，点Q从点B出发沿 边向点C以 的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C
两点后就停止移动，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时， 的面积等于 ？
(2)设运动开始后第t秒时，五边形 的面积为 ，写出S关于t的关系式，并指出t的取值
的范围；
(3)t为何值时，S最小？求出S的最小值．
【详解】（1）解：设运动时间为 秒，则 ，
，
的面积等于 ，
，
，
整理，得 ，
，
或 ；
故运动开始后第2秒或第4秒时， 的面积等于 ； …………………………………………3分
（2）解： 运动开始后第t秒时，
，
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，
（ ）；
（3）解： ，
又 二次项系数为 ，
抛物线开口向上，
当 时， 最小， 的最小值为63． …………………………………………………6分
25．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（Ⅰ）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式： ；
（Ⅱ）抛物线与x轴交点坐标为 ；
（Ⅲ）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（Ⅳ）当y＜0时，x的取值范围是 ；
（Ⅴ）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．
【详解】解：（Ⅰ）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1；…………………………………………………1分
（Ⅱ）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，
该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；…………………………………………………2分
（Ⅲ）当x＝0时，y＝3；
当x＝1时，y＝0；
当x＝﹣2时，y＝﹣1；
当x＝3时，y＝0；
当x＝4时，y＝3，
用上述五点描点连线得到函数图象如下：
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…………………………………………………3分
（Ⅳ）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足 时，y＜0．
故答案是： ；…………………………………………………4分
（Ⅴ）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．
故答案是：﹣1＜y＜3．…………………………………………………5分
26．（6分）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴为______；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3)设点 ， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
【详解】（1）抛物线的对称轴是直线 ；
故答案为：直线 ； …………………………………………………1分
（2） ，
∴抛物线的顶点坐标是 ，2
若抛物线的顶点在x轴上，则 ，
解得： ， …………………………………………………3分
∴抛物线的解析式为 或 ；
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（3）当 时，抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随着x的增大而减小，当 时，y随着x的增大而增大，
∵ ， 在该抛物线上，且 ，点 在抛物线上，
∴ 或 ；
当 时，抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x的增大而减小，
∵ ， 在该抛物线上，且 ，点 在抛物线上，
∴ ；
综上， 时， 或 ； 时， ． …………………………………………6分
27．（7分）已知关于x的一元二次方程 有两个不等的实根，
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数 与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D
点在此抛物线的对称轴上，若 ，直接写出D点的坐标.
【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程 有两个不等的实根,
∴ = ,
△
解得, ; ………………………………………………2分
(2)∵k取小于1的整数,
∴k=-1或0,
①当k=-1时,方程为 ,
即 ,
∴ 或 ,
解得x=3，x=1,
1 2
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②当k=0时,方程为 ,
即 ,
∵方程的解为整数,
∴k=0不符合,
∴k=-1,此时方程的两个整数根是, x=3，x=1 ………………………………………………5分
1 2
(3)如图所示,根据(2),二次函数解析式为, ,
∴点A、B的坐标分别为A（1,0），B（3,0）,
∴对称轴为直线x=2,
∴AC= （3-1）=1
∵
∴AD=2AC=2
∴CD=
当点D在AB的上方时,坐标为（2，√3）,在AB的下方时,坐标为（2， ）,
∴点D的坐标为（2，√3）或（2， ）. ………………………………………………7分
28．（7分）我们定义：把 叫做函数 的伴随函数．比如： 就是 的伴随函数．数形
结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 （ 的常数），若点 在函数 的
图象上，则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 轴对称．解答下列问题：
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(1) 的图象关于 轴对称；
(2) 直接写出函数 的伴随函数的表达式 ；
在如图 所示的平面直角坐标系中画出 的伴随函数的大致图象；
(3)若直线 与 的伴随函数图象交于 、 两点（点 在点 的上方），连接
、 ，且 的面积为12，求 的值；
【详解】（1）解：∵点 和点 都在 的图象上，
∴ 的图象关于 轴对称； …………………………………………………1分
（2）解：①由伴随函数的定义可得：函数 的伴随函数的表达式 ； ………………2分
②在 中，
当 时， ；
当 时， ，
当 时， ，
描点连线绘制函数图象如下：
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………………………………………………3分
（3）解：如图：
由 ，消去 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，令 ，则 ，
解得 ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ． …………………………………………………7分
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