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初一第一学期期末试卷数学
（清华附中初 22 级）
一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实
现地区生产总值约2931亿元．数据2931亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是
正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：2931亿用科学记数法表示为 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位数
减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
2. 若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由 得不到 、 ，A、B选项错误，不符合题意；
当 时， ，C选项错误，不符合题意；
由 可得 ，D选项正确，符合题意；
故选：D【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质．
3. 若 ，则代数式 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将代数式 进行化简，然后再将 整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算．
4. 已知有理数a，b，c满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 得 ，再求得
得 ，进一步求出 ， ， 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
把 ， ， 代入 得：
原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用乘法公式变形求值，解题的关键是利用乘法公式得到
．
5. 某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：
若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（ ）元．
A包装 B包装
盒 盒
每盒面包个数（个） 4 6
每盒价格（元） 5 8
A. 50 B. 49 C. 52 D. 51
【答案】D
【解析】【分析】设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了40个面包，结合表中信息列
出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
【详解】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，
由题意得： ，
解得 或 或
当 ， 时，费用为：
（元）；
当 ， 时，费用为：
（元）；
当 ， 时，费用为：
（元）；
，
某同学正好买40个面包时，他最少需要花51元，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
6. 已知关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知， ， ，且 ，故不等式 可变形为 或 ，解
之即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，且 ，
∴ ，∴不等式 可变为 ，
∴
∴ 或 ，
∴ 或 ．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，以及分式的值大于 0的解法，考查
学生的转化思想和运算求解能力，将分式的值大于零转化为不等式组是解答本题的关键．
7. 已知a，b，c为实数，且 ， ，则a，b，c之间的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知等式求出 ， 再利用完全平方公式判断出 ，
的符号，由此即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
， ，
，
，
，
∴ ，
∵，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数加减的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
8. 关于 的不等式组 有解且至多有5个整数解，关于 的方程 有整数解，
则满足条件的所有整数 的和是（ ）
A. 2 B. 0 C. 4 D. 不存在符合条件的
【答案】D
【解析】
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多5个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，
检验，根据方程有整数解求得m的值．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
∴ ，
∵不等式组有解且至多5个整数解，
∴ ，
∴ ，分式方程两边都乘以 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程有整数解，
∴ ， ，
解得： ，
∵ ， ，
∴m无解，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，考核学生的计算能力，解分式方程时一定要检验．
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 有意义，则字母x的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣5．
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x+5≥0，
解得x≥﹣5．
故答案为x≥﹣5．
10. 已知 ，则 ______．
【答案】61【解析】
【分析】根据 可得 ， ，然后将原分式适当变形后整体代入计算即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：61．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解
．
11. 设x，y满足 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】【分析】将 ， 两式相加，再利用立方和公式，求解即可．
【详解】解：将 ， 两式相加，可得
，
即 ，
即 ，
∵ 恒成立，
∴ ，即 ，
，
为
故答案 ： ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 了 立 方 和 公 式 的 应 用 ． 解 答 该 题 时 需 要 熟 记 立 方 和 公 式
．
12. 已知 、 是有理数，且 、 满足 ，则 ______．
【答案】 或10
【解析】
【分析】把 化成 ，根据 、 是有理数，得到
的值为有理数，即 为有理数，故 ，求出 ，再求得 即可求解．
【详解】解： ，
，
，
、 是有理数，的值为有理数，
为有理数，
，
解得 ，
，
解得 ，
或 ，
故答案为： 或10．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用有理数的定义进行求解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知
识进行求解．
13. 已知关于 的方程 的解大于1，则实数 的取值范围是______．
【答案】 ，且
【解析】
【分析】先解方程 ，再利用方程的解大于1，且 求解即可．
【详解】解：方程两边乘 得： ，
移项得： ，
系数化为1得： ，
方程的解大于1，
，且 ，解得 ，且 ．
故答案为： ，且 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件．
14. 已知 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】用 将 表示出来，代入式子，求解即可．
【详解】解：联立 ， 可得
，即 ，解得
将 代入 可得
，
故答案为：
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用 将 表示出来，并代入代数式求解．
15. 如果 ， 为定值，关于 的一次方程 ，无论 为何值时，它的解总是 1，则
______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：将 代入方程 ，
，，
，
，
由题意可知， ， ，
， ，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义．
16. 为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台
旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全
相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现
金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球
次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸
到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的 4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时
段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为______元．
【答案】2100
【解析】
【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的
次数分别为 ， ， ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a， ， ．根据题意得到关
于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
【详解】解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿
球的次数分别为 ， ， ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a， ，2c．由题意得：
，即 ，
∵a，b，c均是正整数，根据 可得：
或 或 ，
当 时， 不符合题意；
当 时， 不符合题意；
当 时， 符合题意；
∴第二时段返现金额为： （元）．
故答案为：2100．
【点睛】本题主要考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．
解题时注意题目中隐含条件a，b，c均为正整数．
三、解答题（本题共88分，第17题4分，18题5分，第19-20题每问4分，第21-23题每题
5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程
17. 有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据a，b，c在数轴上的位置，判断出 ， ， 的符号，进行化简即可．
【详解】解：由题意可得： ，
则 ， ， ，∴
．
【点睛】此题考查了绝对值的化简，解题的关键是根据a，b，c在数轴上的位置，判断出 ， ，
的符号．
18. 解不等式组 ．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后再求出两个一元一次不等式解集的公共部分，即为
不等式组的解集．
【详解】 ，
由①式得： ；
由②式得： ；
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟记求一元一次不等式组解集的口诀；同大取大，同小取小，
小大大小中间找，大大小小解不了，是解此类题的关键．
19. 解下列方程或不等式（组）：
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4）
【答案】（1）当 ， 或 时， 为任意数；当 ， 且 时，方程无解；当
时， ；
（2）当 时， 为任意数；当 时， ；当 时， ；
（3）当 时， 或 ；当 时， ；
（4）当 时， 无解；当 时， ；
【解析】
【分析】（1）通过移项，系数化为1，求解即可；
（2）分三种情况，当 ， 和 时，分别求解即可；
（3）分两种情况， 或 ，化简绝对值，求解即可；
（4）分三种情况，当 和 ，分别求解即可．
【小问1详解】
解：
移项可得： ，即
当 时， ，方程化为 ，此时 或 ，
即当 ， 或 时， 为任意数，当 ， 且 时，方程无解，
当 时， ，此时 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，不等式可化为： ，此时 为任意数；
当 时， ， ，即 ；
当 时， ， ，即 ；
【小问3详解】
解：
当 时， ，则不等式可化为：
则 或
解得 或 ，
则 或 ；
当 时， ，则不等式可化为： ，即
即 ，
则 ，
综上，当 时， 或 ；当 时， ；
【小问4详解】
解： ，可得
当 时， ，此时 无解；
当 时， ，此时 ；
【点睛】此题考查了方程和不等式（组）的求解，解题的关键是掌握等式和不等式的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
20. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）先利用 、 凑出完全平方公式，然后利用平方差公式对其进行因式分解即可；
（3）首先去括号，再移项凑出完全平方公式，然后利用提公因式法分解因式即可；
（4）首先通过移项凑出完全平方公式，然后提公因式，得出 ，再把 分解为
，得出 ，然后把 看作整体，利用完全平方公式变形，得出
，然后再利用平方差公式因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】解：
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握因式分解的方法．
21. 已知最简二次根式 和 是同类二次根式，求 的平方根．【答案】
【解析】
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于 x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再
求出 的值，最后求出平方根即可．
【详解】解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练
掌握同类二次根式的定义，准确进行计算．
22. 列分式方程解应用题：为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购
买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900
元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【答案】甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52元
【解析】
【分析】设乙种跳绳的单价为 元，则甲种跳绳的单价为 元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设乙种跳绳的单价为 元，则甲种跳绳的单价为 元，
依据题意，有： ，
解得， ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
，答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键．
23. 当 为何值时，多项式 可以分解为两个关于 ， 的一次三项式的
乘积？
【答案】 或
【解析】
【分析】先将 项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可．
【详解】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式
中 三项应当分解为： ，
现在要考虑 ，只须先改写作 ，
然后根据 ， 这两项，即可断定是： ，
解得： ， 或 ， ，
又 ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，十字相乘法分解因式，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高
学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）
两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风
记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超
过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【答案】共有4种购买方案，分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北
上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为 19本和31本，
购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为 17本和33本费用最低，最低费用为1585元
【解析】
【分析】设购买《北上》的单价分别为x元，则购买《牵风记》为 元，根据 “ 购买6本《北
上》与7本《牵风记》的价格相同”建立方程，求出两种书的单价；设购买《北上》的数量n本，则购买
《牵风记》的数量为 本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和
“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【详解】解：设购买《北上》的单价分别为x元，则购买《牵风记》为 元，根据题意得：
，
解得：
则 （元），
设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为 本，根据题意得：
，
解得：
则n可以取17、18、19、20，
当 时， ，共花费 （元）；
当 时， ，共花费 （元）；
当 时， ，共花费 （元）；
当 时， ，共花费 （元）；
又∵1585＜1590＜1595＜1600，
∴购买方案1的费用最低，最低费用为1585元．
答：共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和
《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和
33本费用最低，最低费用为1585元．
【点睛】本题考查了一元一次方程和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的
关键．
25. 已知关于 的分式方程 ．
（1）若这个方程的解是负数，求 的取值范围；
（2）若这个方程无解，则 ______．（直接写出答案）
【答案】（1） 且 ；
（2）3，10， ．
【解析】
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得 ，由题意可得 ，且 求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，求得 ，由题意可得 或 ，求解即可．
【小问1详解】
解：
化为整式方程可得： ，
即 ，
由方程的解是负数可得 ，
则 ，且
解得 且 ；
【小问2详解】
解：由（1）可得方程可化为 ，
当 时， ，方程化为 ，无解，符合题意；当 时， ， ，
由题意可得：这个方程无解，则 或
即 或 ，
解得 或 ，
综上可得： 或 或 ，
故答案为：3，10， ．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，涉及了分式方程增根的情况，解题的关键是熟练掌握分式的方程的
有关知识．
26. 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 ， 的方程称为“十字分式方
程”．例如 为十字分式方程，可化为 ，∴ ， ．再如 为十
字分式方程，可化为 ，∴ ， ．应用上面的结论解答下列问
题：
（1）若 为十字分式方程，则 ______， ______；
（2）若十字分式方程 的两个解分别为 ， ，求 的值．
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解析】【分析】（1）根据“十字分式方程”的定义，将 进行分解，使得分解后的两数和为 ，即可求解；
（2）根据“十字分式方程”的定义，求得 ， 即可求解．
【小问1详解】
解：由 可得，
则 ， ，
为
故答案 ： ， ；
【小问2详解】
解：由 可得， ，
可得 ， 或 ，
即 或
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了新定义问题，解题的关键是理解“十字分式方程”的定义，正确求得对应方程的解．
27. 为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有 100名技术人
员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 为
正整数且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为
万元．（1）若这 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人
员最多有______人；
（2）是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员 的年人均投入不超过 ；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由．
【答案】（1）即调整后的技术人员最多有 人；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得这 名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，
列不等式求解即可；
（2）由①可得 ，由② ，根据题意，求解
不等式组即可．
【小问1详解】
解：由题意可得： ，（ ）
解得： ，
又∵ ，
∴
即调整后的技术人员最多有 人；
【小问2详解】
解：由①可得 ，由②
即 ，解得
又∵ 为正整数且 ，∴当 时， 最大，为 ；
当 时， 最小，为 ，
综上，存在 ，满足题意．
【点睛】此题考查了不等式（组）的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式．
28. 有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差 与所有可能的其它选择相比是最小的，
将 称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为 ；
④如此继续构成第3组（余差为 ）、第4组（余差为 ）、…，第 组（余差为 ），直到把这些数全
部分完为止．
（1）除第 组外的每组至少含有______个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足 ．并且当构成第 组后，
如果从余下的数中任意选出一个数a，a与 的大小关系是一定的，请你直接写出结论： ______ （填“
”或“ ”），并证明 ；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______组（直接写出答案）．
【答案】（1） ；
（2） ，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，即可求解；（2）当第 组形成后，因为 ，所以 ，化简
即可求证；
（3）假设它们最多可以分成 组，根据题意可得 ，对 进行逐个分析，根据
（1）（2）中的结论，利用反证法求解．
【小问1详解】
解：根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，则除第 组外的每组至少含有 个
正数，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当第 组形成后，因为 ，所以还有数没有分完，这时余下的每个数必大于余差 ，若小于 ，
可在第 组中替换为剩余的数，使得 ，与题意不符，即 ，
余下数之和也大于第 组的余差 ，即
，
由此可得：
∵
∴ ，即
化简可得： ，
【小问3详解】
解，假设它们最多可以分成 组，根据题意可得 ，若 ，即最多分为 组，
因为第8组中至少含有3个数，所以第8组之和大于 ，
此时第8组的余差 ，符合题意，即 成立；
同理可证的， 、 时，也成立，
当 时，即最多分为 组， ，
因为第11组中至少含有3个数，所以第11组之和大于 ，
此时第11组的余差 ，与 矛盾，即 不成立；
则 最大为 ．
为
故答案 ．
【点睛】本题主要考查了不等式的证明等基本知识，考查了逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，
解题的关键是理解题意，利用不等式的知识进行求解．
