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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市文汇中学 2023−2024 学年度第二学期 4 月模拟考试
初三年级数学试卷
时间：120分钟 满分：100分
一、选择题（本题共8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每题2分，共16分）
1. 2023年我国新能源汽车产量达 万辆，比上年增长 ．将9443000用科学记数法表示应为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： ，
故选：C．
2. 下列几何体中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
【详解】A、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B、圆锥的主视图为等腰三角形，不符合题意；
C、球的主视图为圆，符合题意；
D、三棱锥的主视图不是圆，不符合题意．
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故选C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视
图有一定的空间想象能力．
3. 已知 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，不等式的性质，掌握不等式的性质，有理数的比较大小的方法是解
题的关键．
根据 ，可得 互为相反数，可得 ， ，根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，A选项正确，不符合题意；
，B选项正确，不符合题意；
，C选项错误，符合题意；
，D选项正确，不符合题意；
故选：C ．
的
4. 如图，将一副三角板叠在一起，使它们 直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为(
)
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A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据直角三角板的性质得出 ，进而可得出 的度数．
【详解】解： ， 是一副直角三角板，
，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查的是角的计算，余角，解题的关键是熟知直角三角板的特点．
5. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内角和求出边数，再根据外角和为 ，进行计算即可．
【详解】解：设正多边形的边数为 ，
由题意，得 ，
解得： ，
∴正多边形的一个外角 ，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正多边形内角和的计算方法和外角和为 是
解题的关键．
6. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4 随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机
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抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画树状图得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结
果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有8种，
∴第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率为 ，
故选：D．
7. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，当a为正整数时，a
的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式 ，计算出 的范围，
根据要求取是正整数的值．
【详解】解：由方程 ，
知 ，
要使方程 有两个不相等的实数根，
则 ，
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即 ，
解得： ，
要取正整数，
或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：要求掌握，当 时，方程有两个不等
的实数根； 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
8. 如图，正方形 的边长为4，延长 至 使 ，以 为边在上方作正方形 ，延长
交 于 ，连接 、 ， 为 的中点，连接 分别与 、 交于点 、 .则下
列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的
结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质可得∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，继而可得四边形CEFM是矩
形 ， ∠ AGF=90° ， 由 此 可 得 AH=FG ， 再 根 据 ∠ NAH=∠NGF ， ∠ ANH=∠GNF ， 可 得
△ANH≌△GNF(AAS)，由此可判断①正确；由AF≠AH，判断出∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，由
此可判断②错误；证明△AHK∽△MFK，根据相似三角形的性质可对③进行判断；分别求出S 、S
ANF AMD
△ △
的值即可对④作出判断.
【详解】∵四边形ABCD、BEFG 是正方形，
∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，
∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°
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∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，
∴AD//FM，DM=2，
∵H为AD中点，AD=4，
∴AH=2，
∵FG=2，
∴AH=FG，
∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确；
∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，
∵AF>FG，
∴AF≠AH，
∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵EC=BC+BE=4+2=6，
∴FM=6，
∵AD//FM，
∴△AHK∽△MFK，
∴ ，
∴FK=3HK，
∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，
∴FN=2NK，故③正确；
∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，
∴AN=1，
∴S = ，S = ，
ANF AMD
△ △
∴S ：S =1：4，故④正确，
ANF AMD
△ △
故选 C.
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.注意数形结
合思想的应用.
二、填空题（本题共8个小题，每题2分，共16分）
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9. 若 在实数范围内有意义：则实数 的取值范围是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，，根据二次根式中被开方数为非负数，即可求解，掌握二次
根式的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
11. 方程 的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
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【详解】解：
去分母得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴原方程的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在反比例函数 的图象上．若 ，写
出一个满足条件的 的值________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据 随 的增大而增大，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵点 和点 在反比例函数 的图象上． ， ，
∴ 随 的增大而增大，则函数图象位于第二、四象限，
∴ ，
∴ （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是
检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数
合格的产品数
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合格的产品频率
估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到 )．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
【详解】解：由表可知合格的产品频率都在 左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为
，
故答案为： ．
14. 如图， 为 的弦，C为 上一点， 于点D．若 ， ，则
______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到 ，再利用勾股定理求得
，然后利用正切定义求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
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∴ ， ，又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
15. 如图，在 中，延长 至点 E，使 ，连接 与 于点 F，则 的值是
__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，证得 成
为解题的关键．
由平行四边形的性质结合已知条件可得 ，再证明 ，最后根据相似
三角形对应边成比例即可解答．
【详解】解：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16. 有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，
要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示
的位置时，x代表的数字是_______，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．
【答案】 ①. 2 ②. 6
【解析】
【详解】根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1，
∵x前面的数要比x小，∴x=2，
∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，
∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两
个数字按从小到大只有一种方法，
∴共有2×3=6种结果，
故答案为2，6.
点睛：本题主要考查数字的变化规律，数字问题时排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列
问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.
三、解答题（共68分，第17−19题，每题5分，第20−21题，每题6分，第22−23题，每题
5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27−28题，每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，锐角三角函数的计算，绝对值，二次根式的性质
是解题的关键．
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根据负指数幂，锐角三角函数的方法，绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，再根据实数的混合运算
即可求解．
【详解】解：
．
18. 解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】
【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解．
【详解】解：
由不等式①得：x≥－2，
由不等式②得：， ，
∴不等式组的解集为： ，
∴x的非负整数解为：0，1，2，3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 已知 ，求 的值．
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，设 ，先约分再代入计算即可，熟练进行
分式的约分是解答此题的关键．
【详解】解：设 ，
∴原式
．
即 ．
20. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接
DE、DG．
（1）求证：四边形DGCE是菱形；
（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）BG＝3+3
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得
CE∥DG，DE∥GC，由菱形的判定可证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EC，由直角三角形的性质可得BH＝DH
＝3，HG＝ DH＝3 ，即可求BG的长．
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【详解】（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCG，
∵EG垂直平分CD
∴DG＝CG，DE＝EC，
∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC
∴CE∥DG，DE∥GC
∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC
∴四边形DGCE是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形DGCE是菱形，
∴DE＝DG＝6，DG∥EC
∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC
∴DH＝3，HG＝ DH＝3
∵∠B＝45°，DH⊥BC
∴∠B＝∠BDH＝45°
∴BH＝DH＝3
∴BG＝BH+HG＝3+3 .
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，
熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
21. 列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配
送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆
无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】 件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
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设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，然后根据等量关系“要
配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解
即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，
依题意可得： ，解得： ．
经检验， 是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹 件．
22. 平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 图象的一个交点为点 ．
（1）当点 的坐标为 时，求 的值；
（2）当 时，对于 的每一个值，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数交点问题，考查了一次函数的图象性质，求反比例函数解析式，反
比例函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据一次函数，求出点 的坐标为 ，进而即可求出 的值；
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（2）画出一次函数和反比例函数的图象，再分 和 两种情况讨论，即可得到答案
【小问1详解】
解： 在直线 上，
，
点 的坐标为 ，
在反比例函数 上，
；
【小问2详解】
解：一次函数和反比例函数图象如下图：
当 时，若 ，对于 的每一个值，都有 ，
当 时，若 ，则 ，
解得： ，
的取值范围为 或 ．
23. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选
拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，
从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数
据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
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a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ，
， ， ）：
b．甲学校学生成绩在 这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示
排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到
_________分的学生才可以入选．
【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5
【解析】
【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以
此判断排名；
（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题
意，得 ，解得x即可．
【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
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由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
∴中位数为：
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为： ，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙
校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（3）根据题意，90-100分的人数为为： 人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需
要补充x个人，
根据题意，得 ，解得x=3，
而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图
的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
24. 如图，以 为直径作 ，过点A作 的切线 ，连接 ，交 于点D，点E是 边的
中点，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，切线的性质，三角函数的应用，关键是根据切线性质和三角函数的定义
解答．
（1）根据切线的性质证明即可；
（2）连接 ，根据三角函数解答即可．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的切线，
∴ ．
∵点E是 边的中点，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ．
∵ 为 直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
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在 中， ，
∴ ，
∵点E是 边的中点，
∴ ．
∴ ．
25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．
在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B
中的剩余质量分别为 ， （单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x（分
0 5 10 15 20 …
钟）
.
（克） 25 235 20 14.5 7 …
25 20 15 10 5 …
（克）
（1）在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ， ，并画出函数 ，
的图象；
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（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足二次函数：
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足一次函数 （
）．则 ， ， ；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场
景A，B中发挥作用的时间分别为 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】（1）见详解 （2） ， ，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当 时 的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：（1）由题意，作图如下．
【小问2详解】
解：由题意，场景 的图象是抛物线的一部分， 与 之间近似满足函数关系 ．
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又点 ， 在函数图象上，
．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
对于场景 的图象是直线的一部分， 与 之间近似满足函数关系 ．
又 ， 在函数图象上，
．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
∴ ， ， ．
【小问3详解】
解：由题意，当 时，
场景 中， ，
解得： （舍），
即： ，
场景 中， ，
解得： ，
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．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 是抛物线 上的点．
（1）当 时，求抛物线的对称轴，并直按写出p与n的大小关系；
（2）若对于任意的 ，都有 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）m的取值范围是 或 ；
【解析】
【分析】（1）根据题意先求出对称轴，再根据抛物线开口向上，离对称轴越近，y值越小，即可判断；
（2）分两种情况讨论：当 时，当 时，画出图形根据对于任意的 ，都有 ，即
可求解．
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴ 为 ，对称轴为 ，
当 时， ，
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意得：对称轴 ，
当 时， ，
∴抛物线与y轴交点为 ，
当 时，如图，
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∵ 关于对称轴 的对称点是 ，
若对于任意的 ，都有 ，
则 ，解得： ；
当 时，如图，
∵ 关于对称轴 的对称点是 ，
若对于任意的 ，都有 ，
则 ，解得： ，
综上，m的取值范围是 或 ；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握数形结合是关键．
27. 在等腰 中， ， ， 是边 中点， 是线段 上一动点（可与点
， 重合），边 关于 对称的线段为 ，连接 ．
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（1）如图1若 ，依题意补全图形，此时 __________°．
（2）如图2依题意补全图后，延长 ，交射线 于点 ．
①用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
②若 ， 面积的最大值是__________，此时 的长是__________．
【答案】（1）补全图形见详解，90．
（2）①证明见详解，② ，
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，由对称的性质得到 ，再由
即可求得答案；
（2）①连接 ，过点B作 于点H，设 ，由 ，可
得A、E、B、F四点共圆，得出 ，推出 ，再根据解直角三角形即可得出答案；②
由题意可得点G在以 为弦，所对的圆周角为 的圆弧上运动，过点O作 于H，交优弧
于点 ，连接 ，当 时，即点G位于点 时， 的面积最大，利用解直角三角
形 可 得 面 积 最 大 值 ； 过 点 E 作 于 K ， 则 ， ，
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， ， 得 出 ， 再 由
，即可求得 ．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示∶
∵ ， ，
∴ ，
的
∵边 关于 对称 线段为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：90．
【小问2详解】
① ，
理由如下：如图，连接 ，过点B作 于点H，
∵边 关于 对称的线段为 ，
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∴ ， ， ，
设 ，
∵ ，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
．
，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
②由①知： ，
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∵ ，
∴点G在以 为弦，所对的圆周角为 的圆弧上运动，如图，过点 O作 于H，交优弧
于点 ，连接 ，
当 时，即点G位于点 时， 底边 上的高最大，故 的面积最大，
∵ ，
∴ ，即 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
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∴ 面积最大值是 ．
此时，点E的位置如图所示，过点E作 于K，
则 ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查对称的性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质和解直角三角
形，解题的关键是熟练对称的性质以及圆与三角形的结合，应用的变化的思维寻找最值．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和 外一点 给出如下定义：若直
线 ， 中一条是 的切线，另一条是线段 的垂线，则称点 是弦 的“关联点”．
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（1）如图，点 ， ， ．
①在点 ， ， 中，弦 的“关联点”是__________；
②若点 是弦 的“关联点”，直接写出 的长__________．
（2）已知点 ， ．对于线段 上一点 ，存在 的弦 ，使得点 是弦 的
“关联点”．记 的长为 ，当点 在线段 上运动时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；②
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据“关联点”的概念求解即可；
②根据题意分两种情况： 是 的切线， 和 是 的切线， ，然后设点C
的坐标为 ，分别根据切线的性质和勾股定理求解即可；
（2）根据 ， 两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的
的垂线上，运用相似三角形计算即可．
【小问1详解】
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如图所示，
由图象可得， 和 不垂直， 和 不垂直，
∴ 不是弦 的“关联点”；
由图象可得， ，点A在 上
∴ 是 的切线
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
∴
∴ 是弦 的“关联点”；
和 不垂直， 和 不垂直，
∴ 不是弦 的“关联点”；
②∵点 是弦 的“关联点”
∴如图所示，当 是 的切线， 时
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∵ 是 的切线
∴
∵
∴点C的横坐标为
∴设点C的坐标为
∵
∴
∴
∴
∴点C的坐标为
∴ ；
如图所示，当 是 的切线， 时
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同理可得，此时点C的坐标为
∴ ；
综上所述， 的长为 ；
【小问2详解】
解：∵线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的“关联点”，
又∵弦 随着S的变动在一定范围内变动，且 ， ， ，
∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的 的垂线上，如图所示，
①当S位于点 时， 为 的切线，作 ，
∵ ， 的半径为1，且 为 的切线，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴根据勾股定理得， ，
根据勾股定理， ，
同理， ，
∴当S位于点 时， 的临界值为 和 ．
②当S位于经过点O的 的垂直平分线上即点K时，
∵点 ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 的半径为1，∴ ，
∴三角形 为等边三角形，
∴在此情况下， ， ，
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∴当S位于经过点O的 的垂直平分线上即点K时， 的临界值为 和 ，
∴在两种情况下， 的最小值在 内，最大值在 ，
综上所述，t的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键．
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