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北京 171 中 2021−2022 学年九年级上学期期末数学模拟练习试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 若关于 的一元二次方程 的一个根是1，则 的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程求解参数即可．
【详解】将 代入原方程得： ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，理解“方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值”是解
题关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的
关键．3. 如图， 的半径为 ，弦 的长是 ，则圆心 到弦 的距离 的长（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，由垂径定理得 ，再由勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图所示，
连接 ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴在 中， ，故选： ．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题．
4. 某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是【 】
A. 买1张这种彩票一定不会中奖
B. 买1张这种彩票一定会中奖
C. 买100张这种彩票一定会中奖
D. 当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项
错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确，
故选D．
5. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物
线与x轴的交点可判断C，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、由二次函数的图象开口向下可得 ，故选项错误；
B、由抛物线与 轴交于 轴上方可得 ，故选项错误；
C、由抛物线与 轴有两个交点可以看出方程 的根的判别式 ，故选项错误；
D、把 代入 得： ，由函数图象可以看出 时二次函数的值为正，正
确．
故选D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握“数形结合”数学思想的应用．
6. 如图，圆心角 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点P是优弧 上的一点，连接 ， ，先根据圆周角定理得到 ，然后根据
圆内接四边形的性质求 的度数即可．
【详解】解：如图，设点P是优弧 上的一点，连接 ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
7. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到
△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果．
【详解】解：由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
8. 如图，在 中， ， ， ，将 绕顶点C顺时针旋转得到 ，
取 的中点E， 的中点P，则在旋转过程中，线段 的最大值为（ ）A. 1 B. 0.5 C. 2 D. 1.5
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，先由 ， ， ，得到 ， ，然后由旋转的性
质得到 ， ， ，然后利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到 的长，
最后利用三角形三边关系得到EP的最大值．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
由旋转得， ， ， ，
∵点P是 的中点，连接 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当点E、C、P三点共线时， 最大，最大值为 ，
∵点E是 的中点， ，
∴ ，∴ 最大值为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形三边关系，解题的关键是熟知任意三角形三边的
关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点 关于原点对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
10. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的 ， 的值
______， ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 可得
再先选取 的值，确定 的值即可得到答案.
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，即：
令 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟悉一元二次方程根的判别式是
解题的关键.
11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 _____．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，
利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
12. 写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式_______．
【答案】
【解析】
【分析】开口向上，顶点在x轴上的函数是 （a>0）的形式，举一例即可．
【详解】解：开口向上，即 ，
顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，即k=0，例如 ．（答案不唯一）
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式 ，顶点坐标是( ， )，此题考查了其
中一种函数，要充分理解各函数的关系．
13. 如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧 上．若∠BAC＝66°，则
∠EPF等于___________度．
【答案】57
【解析】
【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，
即可求∠EPF的度数．
【详解】解：连接OE，OF，
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为57.
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．14. 如图，半圆的直径 与等腰直角三角形 的一条直角边完全重合，若 ，则图中阴影部分
的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 ，根据已知条件得到 ，根据三角形和扇形的面积公式
即可得到结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵等腰直角三角形
∴ ，
，
∵，
∴
∴ ，
∴图中阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精
确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
【答案】0.5
【解析】
【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.
【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中
的概率约为： ≈0.5．
故答案为0.5．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．
16. 小明使用电脑软件探究函数 的图象，他输入了一组 的值，得到了下面的函数图
象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的 的值满足 ________ ， _________ ，
___________ ．(请填写“ ”或“ ”或“ ”）【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】根据函数图象经过原点（0，0）可得c＝0，当x＞0时，y＜0，可知a＜0，再由反比例函数图象
平移性质可得b＜0．
【详解】解：由图象可知，函数图象经过原点（0，0），
∴当x＝0时，y＝0，则c＝0．
又∵当x＞0时，y＜0，
∴a＜0．
∵图象的左侧可以看作是反比例函数图象平移得到，由图可知向左平移，
∴－b＞0，则b＜0．
故答案为：＜，＜，＝．
【点睛】本题考查函数的图象，能够通过已学的函数图象确定b的取值是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，17−22题每题5分，23−26题每题6分，27−28题每题7分）
17. 解一元二次方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则 或 ，解得： ， ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于 OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB.
所以直线PA和PB就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵OP是⊙Q的直径，
∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依据）．
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角.
【解析】
【分析】（1）根据题中得方法依次作图即可；
（2）直径所对的圆周角是直角，据此填写即可.
【详解】(1)补全图形如图（2）∵直径所对的圆周角是直角，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
故答案为：90；直径所对的圆周角是直角，
【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角性质，熟练掌握相关方法是解题关键.
19. 如图， 是 的弦，C为 的中点， 的延长线与 交于点D，若 ，求
的半径．
【答案】10
【解析】
【分析】连接 ，设 的半径为R，则 ，利用垂径定理的推论得到
，再利用勾股定理得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：如图，连接 ，的
设 半径为R，则 ，
∵C为 的中点， 的延长线与 交于点D，，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，
解得 ，
答： 的半径为10．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直
径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
20. 如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1， 在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将 绕点B顺时针方向旋转 得到的图形；
（2）求出点A经过的路径的长．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、C绕点B顺时针方向旋转 得到的对应点，再与点B首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求．
【小问2详解】
∵ ，
∴点A经过的路径的长为 ．
【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
21. 习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，
实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民
收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量 (袋)与每袋的售价 (元)之间关系如下表：
每袋的售价 (元) … 20 30 …
日销售量 (袋) … 20 10 …
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润 (元)与每袋的售价 (元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价 每袋的成本)【答案】（1） ；（2）P= ；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使
每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润 (元)与每袋的售价 (元)之间的函数表达
式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为： ，
将( ， )，( ， )代入 中得
解得
∴售量 (袋)与售价 (元)之间的函数表达式为 ．
(2) ( )( )
．
(3) ( ) ( 40)
∴当 时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
22. 已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0（a≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
【答案】（1）见详解；（2）a=-1．
【解析】
【分析】（1）先判断出方程为一元二次方程，再判断出 ，问题得证；（2）先解方程得 ，根据方程有负整数根且a为整数，求出a=-1或a=-3，根据方程的两个
负整数根不相等，求出a=-1．
【详解】解：（1）证明：∵a≠0，
∴原方程为一元二次方程，
∴ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0得 ，
∵方程有两个负整数根，且a为整数，
∴a=-1或a=-3，
当a=-1时， ，
当a=-3时，
∵方程的两个负整数根不相等，
∴a≠-3．
∴a=-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，方程的解等知识，熟知一元二次方程根的判别式
并判断根的情况，正确解出含字母系数的方程是解题关键．
23. 已知二次函数 .
（1）在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；（2）二次函数的图象与 轴交于点 （点A在点B左边），与 轴交于点 ，则 面积为
___________；
（3）当 时，y的取值范围是 ___________.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求得二次函数与 、 轴的交点，化为顶点式求得顶点的坐标，根据对称性求得
时， ，根据五个点画出二次函数的图象；
（2）根据 、 、 的坐标，即可求得 面积；
（3）结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：令 ， ，
令 ， ，
解得 ， ，
由 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
利用对称性可得 时， ，
根据点 、 、 、 、 ，画出函数图象如图，【小问2详解】
由（1）可知 、 、
∴
故答案为：3
【小问3详解】
根据函数图象可知，当 时，y的取值范围是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，求得二次函数的顶点坐标，根据函数图象求不等式的解集，求抛物
线与坐标轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，
黄球有1个，蓝球有1个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．
游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由
小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？
请你利用树状图或列表法说明理由．【答案】不公平
【解析】
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转
化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】解：此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
由上述树状图知：所有可能出现的结果共有16种．
P（小明赢）= ，P（小亮赢）= ，故此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．
25. 如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝ ，求⊙O的半径．
【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所
以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而
∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得
OM＝ BM＝ r，然后根据勾股定理得到即（ r）2+r2＝（ ）2，再解方程即可得到⊙O的半径．
【详解】解：（1）连接OE，OF，如图，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF＝∠DOE．
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，
∴∠DOF＝2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD＝90°．
∴∠D+∠DOF＝90°，
∴∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB＝90°．
∵M为BE的中点，
∴OM∥AE，
∵∠A＝30°，
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵∠DOF＝2∠A＝60°，
∴∠MOF＝90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM＝ OB＝ r，
OM＝ BM＝ r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．
即（ r）2+r2＝（ ）2，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理及勾股定理的应用.
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 被x轴截得的线段长度为4.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），且满足 ，求a的
取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线 ；（2） ；（3）a的取值范围为 或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式可直接进行求解；
（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为 ，且 在 的右侧，由题意可得 ，然后根据韦
达定理可进行求解；
（3）由（2）及点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），可得： 即为方程
的
两个不相等的实数根，则根据一元二次方程根的判别式可得
或 ，根据一元二次方程的公式法可得 ，由韦达定理可得： ，
进而可分①当 时，由 可知： ，②当 时，由 可知：
，然后由题意可进行求解．
【详解】解：（1）由抛物线 可得：
抛物线的对称轴为直线 ；
（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为 ，且 在 的右侧，由题意可得 ，∴ ，
∴根据韦达定理可得 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
（3）由（2）及点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），可得：
即为方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 或 ，
∴根据一元二次方程的公式法可得 ，
由韦达定理可得： ，
①当 时，由 可知： ，
∵ ，即 ，
∴ ，化简得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ；②当 时，由 可知： ，
由①可得 ，化简得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
综上所述：a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
27. 把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形
的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．
（1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是：
；
（2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的
两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的
直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长．
【答案】（1） ， ；（2）成立，见解析；（3）
【解析】【分析】（1）连接 ，证明 ，进而可得 ，进而证明 ；
（2）方法同（1）；
（3）根据题意，旋转过程中，当 是 的切线时，满足题意，进而根据勾股定理即可求得 的长
【详解】（1）如图，连接
四边形 是正方形， 是等腰直角三角形
，
即
，
分别是 的中点， 是直角三角形，
，
，
设 ，则即
故答案为： ，
（2）如图，连接 ，
四边形 是正方形， 是等腰直角三角形
，
即
，
分别是 的中点， 是直角三角形，
，
，
设 ，则即
（3）如图，连接 ，以 为半径， 为圆心，作
根据题意，点 在 当 为 的切线时， 即为 到 的距离，此时 即为点B到直线 DF
的距离最大，
,
在 中，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
28. 给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN的
异侧），当∠MPN+∠MON＝180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN
关于点O的关联点的示意图．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
（1）如图2，已知M（ ， ），N（ ，﹣ ），在A（1，0），B（1，1），C（ ，0）三点中，是线段MN关于点O的关联点的是 ；
（2）如图3，M（0，1），N（ ，﹣ ），点D是线段MN关于点O的关联点．
①∠MDN的大小为 ；
②在第一象限内有一点E（ m，m），点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直
接写出点E的坐标；
③点F在直线y＝﹣ x+2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标x的取值范围．
【答案】（1）C；（2）①60；②E（ ，1）；③点F的横坐标x的取值范围 ≤x ≤ ．
F
【解析】
【分析】（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心， 为半径的圆上，所
以点C满足条件；
（2）①如图3-1中，作NH⊥x轴于H．求出∠MON的大小即可解决问题；
②如图3-2中，结论： MNE是等边三角形．由∠MON+∠MEN=180°，推出M、O、N、E四点共圆，可
得∠MNE=∠MOE=60°，△由此即可解决问题；
③如图3-3中，由②可知， MNE是等边三角形，作 MNE的外接圆⊙O′，首先证明点E在直线y=-
△ △
x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（ ， ），观察图形即可解决问题；
【详解】（1）由题意线段MN关于点O 关联点的是以线段MN的中点为圆心， 为半径的圆上，
的
所以点C满足条件，
故答案为C．
（2）①如图3-1中，作NH⊥x轴于H．∵N（ ，- ），
∴tan∠NOH= ，
∴∠NOH=30°，
∠MON=90°+30°=120°，
∵点D是线段MN关于点O的关联点，
∴∠MDN+∠MON=180°，
∴∠MDN=60°．
故答案为60°．
②如图3-2中，结论： MNE是等边三角形．
△
理由：作EK⊥x轴于K．
∵E（ ，1），∴tan∠EOK= ，
∴∠EOK=30°，
∴∠MOE=60°，
∵∠MON+∠MEN=180°，
∴M、O、N、E四点共圆，
∴∠MNE=∠MOE=60°，
∵∠MEN=60°，
∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°，
∴△MNE是等边三角形．
③如图3-3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O′，
易知E（ ，1），
∴点E在直线y=- x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（ ， ），
观察图象可知满足条件的点F的横坐标x的取值范围 ≤x ≤ ．
F
【点睛】此题考查一次函数综合题，直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
