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北京市第一六六中学 2022-2023 学年度第二学期阶段性诊断试题
初一年级数学学科
（考试时长：100分钟）
考查目标：
知识：第五章《相交线与平行线》（5.1～5.3），第八章《二元一次方程组》，第九章《不等
式与不等式组》
能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．
2. 下列图形中，是由如图所示图形平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据平移的意义判断即可．
【详解】根据平移的定义可知，由题图经过平移得到的图形是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．平移是指在同一平面内，将
一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移
3. 已知 是二元一次方程 的解，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将 代入二元一次方程 ，得到关于 的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
4. 如图，在数轴上表示的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】如图，
在数轴上表示的x的取值范围为x＜2，故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B. 相等的两个角一定是对顶角
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，对顶角相等，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故该选项不正确，不符合题意；
B. 相等的两个角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
D. 同旁内角互补，两直线平行，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，纸片的边缘 ， 互相平行，将纸片沿 折叠，使得点 ， 分别落在点 ， 处．若
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得 ，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性
质进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，由折叠得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及折叠的性质是解题的关
键．
7. 如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可一一判定．
【详解】解：A. ， ，故该选项不成立；
B. ， ，故该选项成立；
C. ， ，故该选项不成立；
D.若 ，则 不一定成立，如a=-2，b=-3， ，但 ，故该选项不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键．
8. 如图，三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中图1有1×1个小正方形，所有线段的和为
4，图2有2×2个小正方形，所有线段的和为12，图3有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规
律，则第n个图中所有线段的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】分别求出前3个图中线段的和，由此得到计算的规律，进而解答．
【详解】解：第1个图中线段的和为1 2+2 1=4；
第2个图中线段的和为2 3+3 2=12；× ×
第3个图中线段的和为3×4+4×3=24；
， × ×
的
第n个图中线段 和为n（n+1）+（n+1） n=2n（n+1），
×
故选：D．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形得到计算的规律并运用规律解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 将二元一次方程 变形为用y表示x的形式为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】将 看作已知数，求得 ，即可求解．
【详解】解：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握等式的性质是解题的关键．
10. 用不等式表示“m的3倍与n的一半的差不大于6”：_________．
【答案】
【解析】
【分析】“m的3倍与n的一半的差”表示为“ ”，“不大于6”即“ ”，据此可得答案．
【详解】解：由题意知：“m的3倍与n的一半的差”表示为“ ”，“不大于6”即“ ”，∴不等式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关
键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不
等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
11. 如图，在直线 外取一点 ，经过点 作 的平行线，这种画法的依据是____________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与AB平行．
【详解】解：如图，
由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
12. 关于 的不等式 解集是 ，写出一组满足a，b的值，a=_____，b=______．
【答案】 ①. -1（答案不唯一，满足a＜0 即可） ②. 1（答案不唯一，b可取任意值）【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可得．
【详解】解：由不等式ax＜b解集是 知a＜0，
∴满足条件的a、b的值可以是a=-1，b=1，
故答案为：-1（答案不唯一，满足a＜0即可），1（答案不唯一，b可取任意值）
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，掌握不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方
向要改变是解题的关键．
13. 如图，在四边形 中，点E是 的延长线上的一点．请你添加一个条件，能判定 ．
这个条件是_______．（只填一种）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案．
【详解】当 时，则 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
14. 如图，直线 相交于O， 平分 于点O， ，则 ______，
_________．【答案】 ①. ##40度 ②. ##100度
【解析】
【分析】利用平角、余角、角平分线的定义计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是找到互余、互补的角，掌握角平分线的定义是解答本题的
关键．
15. 2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个．到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，
其中滑冰场地比2018年滑冰场地的2倍多232个，滑雪场地比2018年滑雪场地增加了287个．求2018年
全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设2018年全国滑冰场地和滑雪场地分别有 个， 个，依据题意，
可列二元一次方程组为______．【答案】
【解析】
【分析】根据2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个；到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有
2261个，列方程组即可．
【详解】解：由题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
16. 若不等式 的最大整数解是5，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先解关于x的不等式，根据不等式 的最大整数解是5，即可求解．
【详解】解： ，
解得： ，
∵不等式 的最大整数解是5，
∴ ，
解得： ，
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的范围，是解答本题
的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解
不了．
三、解答题（本题共68分）17. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：
得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
详解】解：
【
得：
解得：
将 代入①得：解得：
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19. 如图，按要求画图并回答问题：
（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；
（2）过点D画线段 ，交AC的延长线于点E；
（3） 的同位角是_______，内错角是_______；
（4）在线段 ， ， 中，最短的是________，理由为________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，
（4） ，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）根据题意画出点A到直线BC的垂线段 ；
（2）根据题意过点D画线段 ，交AC的延长线于点E；
（3）根据同位角、内错角的定义即可求解；
（4）根据点到直线的距离为垂线段的长度，垂线段最短即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
【小问2详解】
解：如图所示， ，【小问3详解】
解： 的同位角是 ，内错角是 ，
故答案为： ， ．
【小问4详解】
解：在线段 ， ， 中，最短的是 ，理由为垂线段最短，
故答案为： ，垂线段最短．
【点睛】本题考查了画垂线，画平行线，同位角、内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以
上知识是解题的关键．
20. 解不等式 ，并将它的解集表示在数轴上．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后将解集表示在数轴
上即可求解．
【详解】解：
去括号得，
移项合并同类项得，
解得： ，
解集表示在数轴上，如图所示，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式 的解集，数形结合是解题的关键．
21. 解不等式 ，并写出它的所有正整数解．【答案】 ，不等式的正整数解为：1，2，3，4，5
【解析】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后确定解集中的
正整数解即可．
【详解】：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
则不等式的正整数解为：1，2，3，4，5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的性质，要注意不等式两边乘或除
以同一个负数时，不等号的方向改变．
22. 如图，点D，E是线段 上的点，点F是线段 上的点， ，点H是 上的点，且
．求证： ．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵ ，
∴ ______ ．（理由：_________）
∵ ，
∴ _____．
∴______ ______．（理由：______）
∴ ．【答案】 ；两直线平行，同旁内角互补； ； ； ；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】运用平行线的性质和判定定理进行推理即可．
【详解】∵ ，
∴ ．（理由：两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，
∴ ．
∴ ．（理由：内错角相等，两直线平行）
∴ ．
故答案为： ；两直线平行，同旁内角互补； ； ； ；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线 的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
23. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
不等式②得： .，
∴不等式组的解集为： ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
24. 如图所示，直线 ， 相交于点 ，过点 作射线 ，使得 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）连接 ，若 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平角的定义得出 ，根据角平分线的定义得出 ；
（2）根据对顶角相等得出 ，根据已知条件得出 ，然后得出
，即可得证
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
25. 列方程（组）或不等式（组）解应用题：学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准
备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多
能购买多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍80元，每支乒乓球拍60元
（2）最多能购买20支羽毛球拍
【解析】
【分析】（1）设每支羽毛球拍x元，每支乒乓球拍y元，根据图中信息列出方程组，解方程即可；
（2）设羽毛球拍数量m个，则乒乓球拍的数量3m个，根据题意列出不等式解得即可．
【小问1详解】
设每支羽毛球拍x元，每支乒乓球拍y元，
，
解得 ，
答：每支羽毛球拍80元，每支乒乓球拍60元；
【小问2详解】
设羽毛球拍数量m个，则乒乓球拍的数量3m个，由题意得： ，
解得 ，
∴整式m的最大值为20，
∴最多能购买20支羽毛球拍．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意列出方程和不等式．
26. 如图，点A，B分别为∠MON的边OM，ON上的定点，点C为射线ON上的动点(不与点O，B重合)．
连接AC，过点C作CD⊥AC，过点B作BE∥OA，交直线CD于点F．
（1）如图1，若点C在线段OB的延长线上，
①依题意补全图1；
②用等式表示∠OAC与∠BFC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若点C在线段OB上，直接用等式表示出∠OAC与∠BFC的数量关系．
【答案】（1）①见解析，② ，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意作出图形；②设 交于点 ，根据平行线的性质可得 ，
根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得 ，即可得出
；
（2）设 交 于点 ，根据平行线的性质可得 ，根据垂直的定义以及直角
三角形的两锐角互余可得 ，等量代换即可得出结论．
【小问1详解】解：①如图所示，
② ，理由如下，
如图，设 交于点 ，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，设 交 于点 ，
，
，，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，正确的作出图形是解
题的关键．
27. 在数轴上，点 表示的数为1，点 表示的数为3，对于数轴上的图形 ，给出如下定义： 为图形
上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形
关于线段 的极小距离，记作 ，线段 ；如果线段 的长度有最大值，那么称这个最大值为
图形 关于线段 的极大距离，记作 ，线段 ．
例如：点 表示的数为4，则 点 ，线段 点 ，线段 ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
（1） （点 ，线段 )=_________， （点 ，线段 ）_________；
（2）若点 表示的数 ，点 表示数 (线段 ，线段 ，求 的值；
（3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，点 从表示数 的点出发，第1秒
以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿 轴负方向匀速运动，第3秒以
每秒6个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿 轴负方向匀速运动，……，按
此规律运动， 两点同时出发，设运动的时间为 秒，若 (线段 ，线段 )小于或等于6，直
接写出 的取值范围（ 可以等于0）．
【答案】（1）1，3 （2） 或（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可；
（2）分为线段 在线段 左侧或线段 在线段 右侧两种情况进行讨论即可；
（3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可．
【小问1详解】
解：∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=1，
∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=3，
故答案为：1，3．
【小问2详解】
当线段 在线段 左侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
当线段 在线段 右侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
综上： 或 ．
【小问3详解】
当 时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则 ，
当 时，点C表示的数为2t,点D表示的数为 ,则 ，成立；
当 时，点C表示：2，点D表示： ，此时： （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示：4，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∴ ，
∵ 时，点C表示：6，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∵当 时，点C表示：8，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在6和8之间；点D表示： ，在2和6之间，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
或 （线段 ，线段 ） ，解得： ，
∴ ，
当 时，点C表示：10，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在8和10之间；点D表示： ，在 和4之间，
∴此时 ， ，则当 时， （线段 ，线段 ） ，
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离
的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
