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北京市东直门中学初三年级第一学期期末数学综合练习
一、单选题
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的
图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
2. ⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A. d<3 B. d>3 C. d=3 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
在
【详解】解：∵点P ⊙O外，
∴d＞3．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外 d
＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r． ⇔
⇔ ⇔
3. 点A（1，y），点B（2，y），在反比例函数 的图象上，则（ ）
1 2
A. y＜ y B. y＞ y C. y＝ y D. 不能确定
1 2 1 2 1 2【答案】B
【解析】
【分析】利用反比例函数 的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y随x的增大而减小，利
用2＞1得出y＞y 即可．
1 2
【详解】解：∵反比例函数 的图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内y随x的增大而减小，
而A（1，y），B（2，y）都在第一象限，
1 2
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵2＞1，
∴y y,
1＞ 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，当k>0时，图象分布在一、三象限，在每个单独的象限内，
y随x的增大而减小，当k<0时，图象分布在二、四象限，在每个单独的象限内，y随x的增大而增大，由
x的值的变化得出y的值的变化情况；也可以把x的值分别代入到关系式中求出y 和y 的值，然后再做比
1 2
较即可．
4. 如图， 为 的直径， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AE，由AB为直径，则∠AEB=90°，可得∠AED=90°-40°=50°，即可求出
∠ACD=∠AED=50°．
【详解】连接AE，如图所示：∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AED=90°-40°=50°，
∴∠ACD=∠AED=50°．
故选B．
【点睛】考查圆周角定理的运用，①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物
线与x轴的交点可判断C，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：A、由二次函数的图象开口向下可得 ，故选项错误；
B、由抛物线与 轴交于 轴上方可得 ，故选项错误；
C、由抛物线与 轴有两个交点可以看出方程 的根的判别式 ，故选项错误；D、把 代入 得： ，由函数图象可以看出 时二次函数的值为正，正
确．
故选D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握“数形结合”数学思想的应用．
6. 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）
A. 1： B. 2：1 C. 1： D. 1∶2
【答案】D
【解析】
【分析】连接OD、OE，根据切线的性质和等边三角形的性质证明△AOD为直角三角形且∠OAD为30°，
即可求出OD、OA的比．
【详解】如图，连接OD、OE，
∵AB、AC切圆O于E、D，
∴ ， ， 且OA平分∠BAC，
又∵ 为等边三角形，
，
，
: :2．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，等边三角形的性质，切线的性质以及直角三角形的性质，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
7. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到
△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果．
【详解】解：由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
8. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另
一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得
最大值时，点D的坐标为（ ）
A. （0， ） B. （1， ） C. （2，2） D. （2，4）
【答案】C
【解析】【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BC与圆交于
C 点，连接AC ；再由圆周角定理可得∠BAC =90°，然后由垂径定理得到AB=4、勾股定理可得BM=
1 1 1
即BC = 、AC =4，最后求出线段AC 的中点坐标即可．
1 1 1
【详解】解：如图：∵点O是AB的中点，点D是AC的中点
∴OD//BC且OD= BC
∴BC最大时,即当BC为直径（过圆心M）时，OD最
如图：延长BC与圆交于C 点，连接AC ，
1 1
∵BC 是直径
1
∴∠BAC =90°
1
∵OB=OM=OA=2
∴AB=2OA=4,点C 的横坐标为2，BM= ，即BC =
1 1
∴AC =
1
∴点C 的坐标为（2,4）
1
∵AC 的中点D，A（2,0）
1 1
∴D 的坐标为（2，2）．
1
故选：C．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的
中点等知识，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键．
二、填空题
9. 写出一个图象开口向上，过点（0，3）的二次函数的表达式：_______________________．【答案】答案不唯一，如.y=x2+3
【解析】
【分析】设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），根据a＞0时开口向上，可取a＝1，将（0，3）
代入得出c＝3，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），
∵图象为开口向上，且经过（0，3），
∴a＞0，c＝3，
∴二次函数表达式可以为：y＝x2＋3（答案不唯一）．
故答案为：y＝x2＋3（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c＝3是解题关键．
10. 如果x1是一元二次方程x2mx30的一个根，求m的值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一次方程即可．
【详解】解：∵x=1是一元二次方程 x2+mx−3=0的一个根，
∴把x=1代入方程得： (−1)2+m−3=0，
解得 m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二
次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为__________．
【答案】【解析】
【分析】利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC的延长线于点D，
∴在 中，BD=5，AD=6，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决
此题的关键．
12. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万
元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据增长率问题的列式方法进行列式，前年 (1+增长率)2=今年．
【详解】解：根据题意，2007年的投入 (1+增长率)2=2009年的投入，
列式 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的列式方法．
13. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2， ：＝___．
【答案】1：9##
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质证明 AOE∽ COB，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即
可． △ △
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴ AOE∽ COB，
△ △
∴ ： = ，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
∴ ： = =1：9，
故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的
关键．
14. 数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？ 甲同
学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是
_________【答案】乙
【解析】
【分析】观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为8份，用一周角度数除以8，得45°，故旋转45°的整
数倍，即可与自身重合
【详解】圆被平分成八部分，
则
则旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错误的是乙．
故答案为：乙
【点睛】本题考查了旋转对称性，求得每一份的角度是解题的关键．
15. 在发展现代化农业的形势下，现有A、B两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五
次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 100 300 500 1000 3000
.
0
A 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98
97
B 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在 0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽
的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是_____________
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解
答可得．
【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种
子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽
的概率是0.97，故②推断合理；
③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96， 种子的出芽率可能
会高于 种子，故③正确，
故答案为：②③【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．
16. 已知某函数的图象过 A（2，1），B（1，2）两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y4x平行
②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限
③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交
④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x1左侧，所有合理推断的序号是
_________
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数
解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对
称性解答．
【详解】①设一次函数解析式为：y=kx+b
∵一次函数的图像过点A（2,1）,B（-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：
，解得 ，
所以该一次函数的解析式为：y=x-1，
∴此函数的图象和直线 不平行，故①错误；
②设反比例函数解析式为 ，将点A坐标代入，得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
由 ，当 时，
则点 也在反比例函数 图象上，
∵k=2>0，
∴函数的图象的两个分支分布在第一、三象限，故②正确；
③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过 ， ，当对称轴在直线 左侧时，抛物线不与y轴的负半轴相交，如图1，故③错误；
④函数的图象为抛物线，且开口向上，过 ， ，
∵点A在第一象限，点B在第三象限，
∴点A与点B不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴此函数图象对称轴在直线 左侧，故④正确；
故答案为：②④
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移的性质，反比例函数的性质，二次函数的
性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题
17.
解方程
【答案】
【解析】
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次
方程来求解．【详解】解：移项得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程．
18. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．
求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．
作法：
①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；
②作射线MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵P、C、D都在⊙M 上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P＝ ∠CMD（ ）（填推理依据）．
∴∠AMD＝2∠P．
【答案】（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
【解析】
【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；
（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明．
【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P= ∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），
∴∠AMD=2∠P．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角
定理．
19. 如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BAC=∠CAD，再根据题意∠B=∠ACD，即可证明
ABC∽△ACD．
△
（2）利用三角形相似的性质，可知 ，再根据题意AB和AC的长，即可求出AD．
【详解】（1）∵AC分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，∵∠B=∠ACD，
∴ ABC∽△ACD．
（2△）∵△ABC∽△ACD，
∴ ，
∵AB=2，AC=3，
∴AD= ．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解答本题的
关键．
20. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称的△ABC
1 1 1
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转 90°后的△ABC 并求点B旋转到B 时，线段AB扫过的图形面积．
2 2 2
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）分别求出A（0，1），B（3，3），C（1，3）关于原点对称的点 ， ，
连接即可；
（2）根据旋转的性质，得到 ， ， ， ，根据格点求出 的长，再利用扇形面积求解即可；
【详解】（1）A（0，1），B（3，3），C（1，3）关于原点对称的点 ， ，
，作图如下：
（2）根据旋转的性质可得△ABC ， ， ，
2 2
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和扇形的面积，准确计算是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程 2＋（ −3） −3＝0（ ≠0）求证：
①方程总有两个实数根； 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 𝑎
②若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．
【答案】①见详解；②a=-1．
【解析】
【分析】①由题意根据a≠0，得出原方程为一元二次方程，再根据Δ=（a+3）2即可得出方程总有两个实数
根．②先求出原方程的解是x=-1，x= ，再根据此方程有两个负整数根，且a为整数，得出a=-1或-3，最后
1 2
根据x=-1，x= 得出a≠-3即可．
1 2
【详解】解：①∵a≠0，
∴原方程为一元二次方程．
∴Δ=（a-3）2-4×a×（-3）=（a+3）2．
∵（a+3）2≥0．
∴此方程总有两个实数根．
②解原方程，得 x=-1，x= ．
1 2
∵此方程有两个负整数根，且a为整数，
∴a=-1或-3．
∵x=-1，x= ．
1 2
∴a≠-3．
∴a=-1．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等
的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
22. 已知关于 的二次函数 ．
（1）该函数图象经过点 ．
①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；
②分别求出这个二次函数图象与 轴， 轴的交点坐标；
（2）将这个二次函数的图象沿 轴平移，使其顶点恰好落在 轴上，请直接写出平移后的函数表达式．
【答案】（1）① ； ；②与 轴的交点坐标为 ；与 轴的交点坐标为 ，；（2）
【解析】
【分析】（1）①代入点的坐标可求m，进而可求解析式及顶点坐标；②令 ，可求与y轴交点坐标，
令 ，可求与x轴交点坐标；
（2）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在 轴上可得结果
【详解】解：（1）①∵该二次函数图象经过点 ，
∴ ，解得 ．
∴二次函数的表达式为 ．
∴二次函数顶点坐标为 ．
②令 ，则 ．
∴该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ，
令 ，则 ， ．
∴该二次函数图象与 轴的交点坐标为 ， ．
（2）
=
平移后要使其顶点恰好落在 轴上
则需将函数图像向左（ ）或向右（ ）平移 个单位长度
可得函数的表达式为：（注： ，故学生写成 （ ）的形式亦可，如：
，…）
【点睛】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法的应用、
图形的平移等，是一个综合性题目 ．
23. 一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同．
（1）如果从中随机摸出一个小球，请直接写出摸到蓝色小球的概率是 ．
（2）小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随
机摸出一个小球，记下颜色．当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李赢．请
你分析这个游戏规则对双方是否公平？并用列表法或画树状图法加以说明．
【答案】（1） ；（2）这个游戏对双方不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）摸出一个球只有红球、蓝球或黄球三种结果，由此即可求解；
（2）先列树状图得到，所有的等可能性结果数，然后分别找到颜色相同和颜色不同的结果数，进行求解
即可．
【详解】解：（1）∵一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，
∴从中随机摸出一个球的结果可以为：红球、蓝球或黄球三种结果，
∴P ；
摸到蓝色小球的概率
故答案为： ；
（2）树状图如下所示：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两个小球颜色相同的结果数有3种，两个小球颜色不同的结果数有6种，．
∴这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题主要考查了用列举法求解概率，用树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握
相关知识进行求解．
24. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点．
OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）
（1）请直接写出点P的坐标
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM
上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？ 请你帮施工
队计算一下．
【答案】（1）（6，6）；（2）y= x2+2x；（3）15米
【解析】
【分析】（1）根据题意直接求得顶点坐标；
（2）确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；
（3）设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、
AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．
【详解】（1）根据题意，高度为6米，宽度OM为12米，O点为原点．
则P（6，6）
（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6∴a=
∴这条抛物线的函数解析式为y= （x﹣6）2+6，即y= x2+2x；
（3）设A（x，y）
∴A（x， （x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC= （x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[ （x﹣6）2+6]+12﹣2x= x2+2x+12= （x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得抛物线的解析式是解题的关键．
25. 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延
长线于点D ．
（1）求证：DBDE；
（2）若AB12，BD5，求AC长．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；
（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.
【详解】（1）如图，
∵DC⊥OA，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠2+∠5=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
在△DEB中，∠4=∠5，
∴DE=DB.
(2)如图，作DF⊥AB于F，
连接OE，∵DB=DE，∴EF= BE=3，
在Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，
∴DF=
∴sin∠DEF= = ，
∵∠AOE , ，
∴∠AOE=∠DEF，
∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，
∵AE=6，
∴AO= .
【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知
识点与方法进行解题是关键.
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 被x轴截得的线段长度为4.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），且满足 ，求a的取
值范围．
【答案】（1）对称轴为直线 ；（2） ；（3）a的取值范围为 或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式可直接进行求解；
的
（2）设抛物线与x轴 交点横坐标分别为 ，且 在 的右侧，由题意可得 ，然后根
据韦达定理可进行求解；
（3）由（2）及点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），可得： 即为方程的
两个不相等的实数根，则根据一元二次方程根的判别式可得
或 ，根据一元二次方程的公式法可得 ，由韦达定理可得： ，
进而可分①当 时，由 可知： ，②当 时，由 可知：
，然后由题意可进行求解．
【详解】解：（1）由抛物线 可得：
抛物线的对称轴为直线 ；
（2）设抛物线与x轴的交点横坐标分别为 ，且 在 的右侧，由题意可得 ，
∴ ，
∴根据韦达定理可得 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
（3）由（2）及点 ， 为抛物线上不重合两点（其中 ），可得：
即为方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 或 ，∴根据一元二次方程的公式法可得 ，
由韦达定理可得： ，
①当 时，由 可知： ，
∵ ，即 ，
∴ ，化简得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
②当 时，由 可知： ，
由①可得 ，化简得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ；
综上所述：a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
27. 把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形
的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．（1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是：
；
（2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的
两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的
直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长．
【答案】（1） ， ；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 ，进而可得 ，进而证明 ；
（2）方法同（1）；
（3）根据题意，旋转过程中，当 是 的切线时，满足题意，进而根据勾股定理即可求得 的长
【详解】（1）如图，连接
四边形 是正方形， 是等腰直角三角形
，
即，
分别是 的中点， 是直角三角形，
，
，
设 ，则
即
故答案为： ，
（2）如图，连接 ，
四边形 是正方形， 是等腰直角三角形
，
即，
分别是 的中点， 是直角三角形，
，
，
设 ，则
即
（3）如图，连接 ，以 为半径， 为圆心，作
根据题意，点 在 当 为 的切线时， 即为 到 的距离，此时 即为点B到直线 DF
的距离最大，
,在 中，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，切线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有
一个公共点，那么称点P独立于图形W．
（1）如图 1，已知点A（－2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交 x 轴正半轴于点B．在P
1
（0，4），P（0，1），P（0，3），P（4，0）这四个点中，独立于 的点是 ；
2 3 4
（2）如图2，已知点C（3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线y2x+8上的一个动点．若点P
独立于折线CD－DE，求点P的横坐标x 的取值范围；
P
（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t3，以点T为中心
的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若
⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．【答案】（1）P ，P ；（2）满足条件的点P的横坐标x 的取值范围为：x ＜-5或x ＞- ；（3）满足条
2 3 p P P
件的t的值为 或
【解析】
【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；
（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；
（3）求出三种特殊位置时t的值即如图3-1所示当直线KN与⊙H相切于点E时，如图3-2所示当线段MN
与⊙H相切于点E时，如图3-3所示当线段KN与⊙H相切于点E时，结合图象即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意可知：在P（0，4），P（0，1），P（0，-3），P（4，0）这四个点中，独
1 2 3 4
立于 的点是P，P，
2 3
故答案为：P，P；
2 3（2）设直线CD的解析式为 ，直线DE的解析式为 ，
∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），
∴ ， ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，
联立 ，
解得 ，
可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，
联立 ，
解得 ，
可得直线l与直线DE的交点的横坐标为- ，
∴满足条件的点P的横坐标x 的取值范围为：x ＜-5或x ＞- ；
p P P
（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，
∵四边形KLMN是正方形，
∴∠OKN=45°，
∴∠HKE=45°，
∴∠EHK=45°，
∴EH=EK=1∴ ，
∴ ，
为
∵K点坐标 （0，3+t），t＞-3，
∴OK=3+t,
∴ ，
∴ ，
∴当-3＜t＜1- 时，⊙H上的所有点都独立于图形W．
如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．
同理可求出 ，∴ ，
∵K点坐标为（0，3+t），t＞-3，
∴OK=3+t,
∴ ，
∴ ，
如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．
同理可求出 ，
∴
∵T点坐标为（0，t），K点坐标为（0，3+t），
∴KT=3，
∵四边形KLMN是正方形，
∴KT=TM=3，
∴
∴当1+ ＜t＜7- 时，⊙H上的所有点都独立于图形W．
综上所述，满足条件的t的值为 或 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题，学会利用特殊位置解决实际问题.
