文档内容
人航初三上期末模拟试卷
一．选择题：(每题 2 分，共 16 分)
1. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式Δ的值，取其小于零的选项即可得出结论．
【详解】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
B、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5×(-2)＝56＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
C、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×2＝-23＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解题的
关键．
2. 下列各曲线是在平面直角坐标系 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（
）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转 后，与初始图形重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据定义对四个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是旋转对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键．
3. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
4. 已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函数值如表：
x … -1 0 2 4 5 …
y … 0 1 3 5 6 …
1y … 0 -1 0 5 9 …
2
当y＞y 时，自变量x的取值范围是
2 1
A. -1＜x＜2 B. 4＜x＜5 C. x＜-1或x＞5 D. x＜-1或x＞4
【答案】D
【解析】
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y＞y，从而得到
1 2
当y＞y 时，自变量x的取值范围．
2 1
【详解】∵当x=－1时，y=y=0；当x=4时，y=y=5；
1 2 1 2
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y＞y，
1 2
∴当y＞y 时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
2 1
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关
系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
也可把两个函数解析式列成不等式求解．
5. 如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周
长为（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概
率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计
概率可判断D．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，
故选项A不正确；
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定
会中奖机会很小，故选项C不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，
可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实
验概率知识是解题关键．
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A. A，B，C都不在 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
【答案】D【解析】
【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得 为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线
性质即可得．
【详解】解：如图所示：连接BD，
， ， ，
∵
，
∴
为直角三角形，
∴
D为AC中点，
∵
，
∴
覆盖半径为300 ，
∵A、B、C三个点都被覆盖，
∴故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是
解题关键．
8. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，当 时，下
列说法一定正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断 ，进而求解．
【详解】解：∵ 中 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 异号，
∴ ，
∴ ，选项A正确．
当 时， ，
∴选项B错误，
当 时， ，
∴ ，选项C错误．
当 时， 中有1个值为0即可，
∴选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与
系数的关系．
二．填空题： (每题 2 分，共 16 分)
9. 写出一个开口向下，且对称轴在 轴左侧的抛物线的表达式：_______．
【答案】y=-x2-2x+1
【解析】
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【详解】解：抛物线的解析式为y=-x2-2x+1，
故答案为：y=-x2-2x+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，
答案不唯一．
10. 有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟． 刚把两人洗完， 就听到两个小
家伙在床上 笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗
呢！”此事件发生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【详解】解：此事件发生的概率 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
11. 如图，P是正方形ABCD内一点，将 绕点B顺时针方向旋转,能与 重合，若 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转角相等可得 ，进而勾股定理求解即可是
【详解】解： 四边形 正方形
将 绕点B顺时针方向旋转,能与 重合，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，求得旋转角相等且等于90°是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 ，点 ．将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线
段 BC，则点 C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性
质求得OD和CD即可求解．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴ ， ，
由旋转性质得： ，即点B是 的中点，
过点C作 轴于D，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴点C坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的
判定与性质是解答的关键．
13. 已知关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k≤1
【解析】
【详解】∵关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
14. 如图，AB是 的一条弦，P是 上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．
若 ， ，则CD长的最大值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可得 ，即当 为直径时， 长最大，由直角三角形的性质
可求 的长，即可求解．
【详解】∵C，D分别是AB，BP的中点∴ ，
当 为直径时， 长最大，
∵ 为直径，
∴ ，且 ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴
∴CD长的最大值为
故答案为
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是解题的关键．
15. 小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼
干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角
为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）
【答案】9.3
【解析】
【分析】根据弧长公式进行计算即可，
【详解】解： 粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°，底面半径为6 cm，
cm，故答案为：
【点睛】本题考查了弧长公式，牢记弧长公式是解题的关键．
16. 某公园门票的收费标准如下：
门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上）
价格（元/人） 100 40 60
有两个家庭分别去该公园游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一
家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了_____元．
【答案】260
【解析】
【分析】设花费较少的一家花了x元，由一家比另一家少花40元（由每个家庭出外游玩至少有一个成人可
得出花费较多的家庭购买的是团体票），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（结论正好
为1个成人4个儿童购票钱数）．
【详解】设花费较少的一家花了x元，
依题意，得：x+40＝60×5，
解得：x＝260．
答：花费较少的一家花了260元．
故答案为：260．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
三．解答题：(17、18、19、21 、22 每题 6 分， 20、23 各 7 分， 24、25、26 各 8 分
共 68 分)
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】把方程化成x2=a的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.
【详解】∴原方程的解为
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次
项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出
方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．
18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与 轴只有一个公共点．
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】（1）将 代入抛物线解析式，即可求出 的值，进而求出抛物线的表达式．
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
【详解】（1）解：∵ 抛物线 经过点（2，1），
∴ ．
解得： ．
∴ 该抛物线的表达式为 ．
（2）解：抛物线的顶点为（3， ），
若抛物线与 轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3,0），此时满足题意．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求
解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
19. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
【答案】（1）见解析；（2） ，
【解析】
【分析】（1）进行判别式的值得到△＝ ，然后根据判别式的意义可判断方程总有实数根；
（2）确定一个大于1的实数根，代入求出 ，然后解方程即可．
【详解】（1）证明： ，
∴该方程总有实数根．
（2）解：当 时，原方程为 ，解得， ，
代入原方程得， ．即 ．
解得：
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用一元二次方程
的相关知识进行求解计算．
21. 如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的一条弦，且 于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；（2）连接 ，根据垂径定理得到 ，根据勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 与 都是弧 所对圆周角，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等．
22. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最
多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方
块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？（2）现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B），轮到小林点击，
若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明
理由．
【答案】（1）
（2）区域 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率公式计算出概率即可；
（2）根据概率公式分别计算出两个区域踩雷的概率，然后得出结论即可.
【小问1详解】
∵区域 内8个方块中埋藏着2颗地雷，
∴有6个方块没有地雷，
∴未踩中地雷的概率是： ；
【小问2详解】
由（1）知，区域 未踩中地雷的概率是 ，
∵区域 的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块，没有地雷，
∴区域 未踩中地雷的概率是： ，
∵ ，
∴从安全的角度出发，他应该选择区域 .
【点睛】本题主要考查概率公式的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键.
23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线
可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高
度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满足函数关系 ．某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 记
该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点的水平距离为 ，则 ______
1
（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）23.20 m；
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表
格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出
和 ，然后进行比较即可．
【小问1详解】
解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，
∴ ， ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，解得： ，
∴函数关系关系式为： ．
【小问2详解】
设着陆点的纵坐标为 ，则第一次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 ，
第二次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 ，用t表示出
和 是解题的关键．
24. 已知二次函数 ．
（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；
（2）若该二次函数的图象开口向下， 当 时， y 的最大值是 2，求当 时， y 的最小值
为 ；
（3）若对于该抛物线上的两点 ，当 ， 时，均满足 ，请结合图象，求 t的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；
（2）根据当 时， y 的最大值是 2，求出a的值，得出二次函数的解析式，把 代入即可；
（3）当 ， 时，均满足 ，推出抛物线开口向下，点P在点Q左边且在点Q关于
对称轴对称点的右边，满足条件，可得 ，由此即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数
∴二次函数图象的对称轴是
故答案为：2．
【小问2详解】
解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 ，
∴当 时，y取到在 上的最大值为2．
∴ ．
解得 ，
∴二次函数为 ，
当 时， ，
∴当 时，y的最小值是 ，故答案为： ；
【小问3详解】
解：∵当 ， 时，均满足 ，
∴抛物线开口向下，点P在点Q左边且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 如图，在等边三角形ABC中，点P为 ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋
△
转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）①60°；②PM＝ ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：
从而得到 ，可证得 ，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由 ，可得
，即可求解；
②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，∠PCM＝
∠NBM．进而得到 ．根据①可得 ，可证得 ，从而得到
．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】解：（1） ．理由如下：
在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：
∴
即
在 和 ACP中
△
∴ ．
∴ ．
（2）①∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．
∴ ，
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ；
②PM＝ ．理由如下：
如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．∵M为BC的中点，
∴BM＝CM．
在 PCM和 NBM中
△ △
∴△PCM≌△NBM（SAS）．
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．
∴ ．
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∴∠PBC＋∠NBM＝60°．
即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，
∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．
即 ．
∴ ．
在
PNB和 中
△
∴ （SAS）．
∴ ．∵
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴PM＝ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形 的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握
等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，点 在 上，点 在 内，给出如下定义：连接
并延长交 于点 ，若 ，则称点 是点 关于 的 倍特征点．
（1）点 的坐标为 ．
①若点 的坐标为 ，则点 是点 关于 的 倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点 是点 关于 的 倍特征点；
③直线 经过点 ，与 轴交于点 ， ．点 在直线 上，且点 是点 关于 的 倍特
征点，求点 的坐标；
（2）若当 取某个值时，对于函数 的图像上任意一点 ，在 上都存在点 ，
使得点 是点 关于 的 倍特征点，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】（1）① ，② ，③ 或
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】【分析】（1）①由题意知 ， ，则 ；②由勾股定理得
，假设点 是点 关于 的 倍特征点，则 ，不符合
题意，同理判断 、 即可；③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点
作 轴于点 ，根据点 、点 关于 的 倍特征点，得 ，由含 的直角三角形的性
质可得 ， 的长，当点 在 轴负半轴同理可得答案；
（2）设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 ， ，由 ，可知 越大，
的值越小，则 的值越大，得 ， 时， 的值最小，即 与 重合，
与 重合时， 的值最小，同理当点 在 点， 在 点时， 有最大值，从而解决问题．
【小问1详解】
解：① ， ，
，
，
，
，，
故答案为： ；
②假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，不符合题意，
点 不是点 关于 的倍特征点；
连接 并延长交 于点 ，如图所示：，
， ，
， ，
，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，，
为 的中点，
，
与 轴负半轴交点坐标为 ，
在圆上，
点 是点 关于 的 倍特征点；
故答案为： ；
③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
点 是点 关于 的 倍特征点，
，
是 的中点，
，
，
，， ，
，
，
，
当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ，
综上： 或 ；
【小问2详解】
解：设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 、 ，如图所示：
， ，
，
，越大， 的值越小，
的值越大，
当 的值越大， 的值越大，
， 时， 的值最小，
与 重合， 与 重合时， 的值最小，
， 是直线 与 轴， 轴的交点，令 得 ，令 得 ，
， ，
到 和到 的距离都是1，
，
，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ；
当点 在 点， 在 点时， 有最大值，如图所示：，即 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆背景下的新定义问题，考查圆的性质、勾股定理、两点之间距离公式、坐标与图形、
一次函数的图像与性质等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，综合性强、难度
较大，属于中考压轴题．
