文档内容
大兴区 2023~2024 学年度第二学期期中检测
初二数学
考生须知
1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（每小题2分，共16分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件“一是被开方数中
不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母成为解题的关键．
根据最简二次根式的条件逐项判断即得可解答．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、 不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 是解题的关键.
根据二次根式的性质可得 ，再化简绝对值即可解答.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 .
故选：D.
3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减法、算术平方根的性质．
根据二次根式的性质、二次根式的加减法逐项判断即可解答．
【详解】解：A、 变形正确，故A选项符合题意；
B、 ，故B说法错误，不符合题意；
C、 ，故C说法错误，不符合题意；
D、 ，故D说法错误，不符合题意．
故选A．
4. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，3，3 B. 1， ， C. 4，5，7 D. 2， ，5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理的应用，最大边的平方等于两个较小的边的平方之和，即为直角三角形，
据此进行作答即可．
【详解】解：A、 ，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的；
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学科网（北京）股份有限公司B、 ，能作为直角三角形的三边长，故该选项是正确的；
C、 ，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的；
D、2， ，5，不能作为三角形的三边长，故该选项是错误的；
故选：B．
5. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先证明 ，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识
解决问题．
6. 为迎接2024年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花
坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积（单位：平方米）为（ ）
A. 15 B. 24 C. 30 D. 60
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了菱形 的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
【详解】解：菱形的面积 ，
故选：C．
7. 如图，矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使 边落在对角线 上，点 落在点
处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理求出 ，由翻折得 ，设 ，则 ，在
中，利用勾股定理得出方程．本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识，
运用方程思想是解题的关键．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得：
，
折叠纸片使边 落在对角线 上，
， ，
，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得：
，
解得 ，
，
故选：A．
8. 如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，点 在 轴
上，则点 的横坐标是（ ）
A. 4 B. C. 5 D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，证明 得BE=OD，从而可得
OB，即可解答此题．
【详解】解：分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵点A的坐标是（4，-2），点C的坐标是（1，2）
∴OD=1，OE=4
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CO，AB//CO
∴
在 和 中
∴ ≌
∴
∴
∴点 的横坐标是5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构
造全等三角形是解答此题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
10. 计算： ＝_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【解析】
【详解】分析： ．
11. 化简： ＝___．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质，进行分母有理化即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质，确定分母的有理化因式是解题的关键．
12. 已知 是正整数，且 也是正整数，写出一个满足条件的 的值，这个 的值为______．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次
根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
【详解】解：由题可知，
，
则 ．
要使 也是一个正整数，
则n可取3．
为
故答案 ：3（答案不唯一）．
13. 如图，A， 两点被池塘隔开，在 外选一点 ，连接 和 ，分别取 ， 的中点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，测得 ， 两点间的距离为 ，则A， 两点间的距离为______m．
【答案】40
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边
的一半是解题的关键．
先判断出 是 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得
即可解答．
【详解】解：∵点D，E分别是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为：40．
14. 如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且
BE=BO，则∠EOA=___________°.
【答案】25
【解析】
【分析】根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质
可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以
求得∠EOA的大小．
【详解】解：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180°
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ABC=100°，
∵菱形对角线即角平分线
∴∠ABO=50°，
∵BE=BO
∴∠BEO=∠BOE= =65°，
∵菱形对角线互相垂直
∴∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-65°=25°，
故答案为 25．
【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，
本题中正确的计算∠BEO=∠BOE=65°是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶
点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】分两种情况：①当 为平行四边形的边时，②当 为平行四边形的对角线时，讨论可得点C
的坐标．
【详解】解：①当 为平行四边形的边时， ，
∵ ， ， ，
∴点C坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
故答案为： 或 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了平行四边形 的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行
求解．
16. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对
数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的
一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为 ，较短
直角边的长为 ，则 的值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的
关键．
由题意可知，中间小正方形的边长为 ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积
为 ，然后求得 ，最后求其算术平方根即可．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为 ，
∴ ，即 ①，
根据勾股定理可知：大正方形的面积为 ②，
由①②可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：7．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26-28题，
每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据 ， ，二
次根式的加减运算求解即可．
【详解】
．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用二次根式除法法则计算，然后运用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解．
【详解】解：原式= ，
= ，
=
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能够结合题目的特征，灵活
运用二次根式性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 已知直角三角形的一条直角边的长是 ，斜边的长是 ，求另一条直角边的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的一条直角边的长是 ，斜边的长是 ，
∴另一条直角边的长为 ．
21. 已知： ， ．
求作：矩形 ．作法：如图，
①作线段 的中点 ；
②连接 并延长，在延长线上截取 ；
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学科网（北京）股份有限公司③连接 ， ．
四边形 即为所求作的矩形．
完成下面的证明．
证明： ， ，
四边形 是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
，
四边形 是矩形（ ）（填推理的依据）．
【答案】 ；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定填空即可．本题考查平行四边形的判定、矩形的判定，熟练
掌握平行四边形的判定、矩形的判定是解答本题的关键．
【详解】证明： ， ，
四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
，
四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为： ；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22. 在 ABCD中，DE ⊥AB，BF ⊥CD，垂足分别是E、F．求证：AE=CF.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】详见解析.
【解析】
【分析】由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，
对角相等，利用AAS即可得到全等三角形，再得出结论；
【详解】证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF(AAS)；
∴AE=CF
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法
是解本题的关键．
23. 如图，在 中， ，点 为 边中点， ，求 的长度．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，点 为 边中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
24. 如图，在 中， ，延长 到点 ，使 ，连接 ．求证：四边形
是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到 ，
再证明 结合 即可证明四边形 是菱形．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
25. 已知：如图，在 中， ， 的角平分线交 边于点 ，且 ， ．
求证： 是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，证得
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学科网（北京）股份有限公司成为解题的关键．
根据勾股定理逆定理可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，然后结
合公共边可证 ，进而得到 即可证明结论．
【详解】证明：∵ ， ， ，
∴ ,
∴ ，
∵ 的角平分线交 边于点 ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ,即 是等腰三角形．
26. 阅读材料，解答下列问题：
材料：已知 ，求 的值．
小云同学是这样解答的：
， ．
问题：已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）1 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；
（2）设 ， ，然后利用（1）的结论可得： ，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【小问1详解】
解：
，
，
；
【小问2详解】
解：设 ， ，
由（1）得： ，
解得： ，
．
27. 已知：如图，正方形 的边 上有一动点 （与点 ， 不重合），连接 ，延长 至点
，使得 ，过点 作 于点 ，交正方形的对角线 于点 ．若 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的大小（用含 的式子表示）；
（2）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ,证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质
等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．
（1）由直角三角形性质两锐角互余可得 ，根据正方形的性质可得 ，
则 ，然后代入 即可解答；
（2）先说明 ，再证 ，再根据全等三角形对应边相等得出
，由题意可得 为等腰直角三角形，然后用 表示出 与 ，然后化简即可解答．
【小问1详解】
解： .理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵正方形 的对角线 ，
∴ ，即： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【小问2详解】
解：线段 与 之间的数量关系： ，证明如下：
如图：连接 ，过点M作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ．
28. 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的
四边形叫做对角直角四边形．
（1）下列图形：①有一个内角为 的平行四边形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）；
（2）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，在菱形 的外部以 为斜边作等腰直
角 ，连接 ．
①求证：四边形 是对角直角四边形；
②若点 到 的距离是2，求四边形 的面积．
【答案】（1）② （2）①见解析；②4．
【解析】
【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可；
（2）①根据菱形的性质得到 ，即 ，根据等腰直角三角形的性质可得
，进而得到 ，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如
图：过N作 于H， 于G，证明四边形 是矩形可得 ，进而证明
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学科网（北京）股份有限公司，根据全等三角形的性质得到 ，根据正方形的判定定理得到四边
形 是正方形，最后四边形 的面积=正方形 的面积．
【小问1详解】
解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有 的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为 ，
是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为 ，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为 ，但
对角不一定为 ，不是对角直角四边形．
为
故答案 ：②．
【小问2详解】
①证明:∵.四边形 是菱形，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是对角直角四边形；
②如图：过N作 于H， 于G，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
第21页/共22页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴四边形 是正方形，
∴四边形 的面积=正方形 的面积 .
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性
质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键．
第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
