文档内容
房山区 2021——2022 学年度第一学期（中学）期末考试
九年级数学
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的．
1. 抛物线 的对称轴是（ ）
A. 直线x=3 B. 直线x=-3 C. 直线x=1 D. 直线x=-1
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式 ，对称轴为直线 ，得出即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是要注意抛物线的对称轴是直线．
2. 若反比例函数的图象经过点 ，则该反比例函数的表达式为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：设反比例函数为： ．∵反比例函数的图象经过点(3，-2)，∴k=3×（-2）=－6．故反比例函数为： ．故选B．
3. 如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠ABD=50°，则∠C的度数为（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠DAB的度数，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，求得∠C的度数，进而即可求得∠ABD的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠DAB=40°，
∴∠C=∠DAB=40°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知圆周角、圆心角及弧的关系是解答此题的关键．
5. 把抛物线 向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式平移的性质即可得平移后所得抛物线的表达式为 ．
【详解】解：把抛物线 向上平移1个单位长度，
则平移后所得抛物线的表达式为 ，
即 ．
故选：A．
【点睛】抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．涉及
抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式 的形式．抛物线的移动主要看顶点的移动，
的顶点是（0，0）， 的顶点是（0，k）， 的顶点是（h，0），
的顶点是（h，k）. 我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可看出平移的方向，抛物线
的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
6. 如图所示，点 ， 分别在 ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC等
于（ ）𝐷 𝐸 △A. 2：1 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，求出AE=2EC，再代入 求出即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用定理得出比例式，通过比例的基本性
质得出结论．
7. 如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. AM=BM B. CM=DM C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM=BM， ， ，
即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM和DM不一定相等，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
8. 如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数 的图象交于 ， 两点．则使
成立的x的取值范围是（ ）
A. x<1 B. x>3 C. 13
【答案】D
【解析】
【分析】解方程组 ，确定图像的交点，找到交点的横坐标，观察函数图象得到一次函数的图
象在反比例函数图象下方的自变量取值范围．
【详解】∵ ，∴整理，得 ，
解得 ，
∴在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围是 或 ；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数 的交点问题，方程组的解法，不等式，准确确定图像的交
点坐标，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键．
二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 已知 ， ，则 ___________°．
【答案】30
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠A=30°，
故答案为：30．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
10. 已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆心角为 的扇形面积是 进行解答即可得．
【详解】解：这个扇形的面积 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．11. 如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A=___________°．
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解： 与 是同弧所对的圆心角与圆周角， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12. 如图，PA是⊙O的切线，A是切点．若∠APO=25°，则∠AOP=___________°．
【答案】65
【解析】
【分析】根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【详解】解：∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴ ，
∵∠APO=25°，∴ ，
故答案为：65．
【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关
键．
13. 已知二次函数 的图象上两点 ， ，若 ，则 ___________
（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】<
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x<0时y随x增大而增大，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴x<0时，y随x增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
14. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60，看这栋高楼底部的俯角为30，
热气球与高楼的水平距离为60m，这栋楼的高度是___________m．
【答案】
【解析】【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据 ，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出
BD，CD就可以．
【详解】解：在Rt△ABD中， ， ，AD=60m，
∴ ．
在Rt△ACD中， ， ，
∴ ．
∴
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了仰角俯角问题，利用三角函数关系解直角三角形是解题的关键．
15. 下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，
（1）连接OP；
（2）分别以点O和点P为圆心，大于 的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（3）作直线MN，交OP于点C；
（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．
同理可证直线PB是⊙O的切线．
【答案】 ①. 直径所对的圆周角是直角 ②. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线
【解析】
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；
【详解】证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，
∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理可证直线PB是⊙O的切线，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 ．小球运动的时间是___________s时，小球最高；小球运动中的最大高度是
___________m．
【答案】 ①. 3 ②. 45
【解析】
【分析】求得二次函数 的顶点坐标即可．
【详解】 ，
∵-5<0， ，
∴当t=3时，h有最大值，最大值为45．
故答案为：3，45．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意后将实际问题转换为数学问题是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，
每题7分，共68分）
17. 求值：
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：
=
=1
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18. 如图，在Rt ABC中，∠B=90°，点D在AC边上， 交BC于点E．求证：
△
．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由 ，∠B=90°可得出 ，再由公共角相等，即可证得 ．
【详解】∵ ，∠B=90°，
∴ ．
又∵∠C=∠C，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相
等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）
所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似．
19. 如图，在 ABC中，∠B=30°， ，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长．
△
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=8，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出BD和CD
的长是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，求
m的值．
【答案】-3
【解析】
【分析】由反比例函数 的图象及其性质将A、B点代入反比例函数 即可求得m的值
为-3．
【详解】∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ．
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得： ．
故m的轴为-3．
【点睛】本题考察了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
21. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常
数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，
∴AD=CD．
【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
22. 在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度．如图，在C处用高1．2米的测角仪
CE测得塔顶A的仰角为30°，向塔的方向前进40米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60°，求昊天塔
的高约为多少米？（结果精确到1米， ， ）【答案】这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【解析】
【分析】设AG=x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和GE的长度，然后根据CD=40米，求
出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
【详解】解：如下图 ：
设 米，
在RT△ 中， ， ，
∴ ，
在Rt△AEG中， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴ 米，
则 （米）．
答：这个电视塔的高度AB约为35.8米．
【点睛】本题考查了三角函数的应用，做题的关键是掌握正切的概念并能熟练的计算．
23. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长.【答案】2
【解析】
【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°．
∵AB=4，
∴OC=2．
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE= CD．
在Rt OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE△=1，
∴CD=2．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理.
24. 如图，在 ABC中， ，∠B=45°，∠C=60°．点E为线段AB的中点，点F是AC边上任一点，
△
作点A关于线段EF的对称点P，连接AP，交EF于点M．连接EP，FP．当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】
【解析】
【分析】如图1中，过点A作 于D．根据三角函数的定义得到AD=4，如图2中，根据垂直的定义得到∠PFA=90°，根据折叠的性质得到 ，AF=PF，根据相似三角形的性质即可得
到结论．
【详解】解：如图1中，过点A作 于D．
在 中， ．
，
∵ ，
∴ ，
∵沿 将 折叠得到 ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了解锐角三角函数，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，由高线AD
求出AC，证明 是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点 在双曲线 上．
（1）求m的值；
（2）已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与 ， 的图象分别相交于点N，M，点
N，M的距离为 ，点N，M中的某一点与点P的距离为 ，如果 ，在下图中画出示意图．并且直
接写出点P的坐标．
【答案】（1）8 （2）点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）画出函数的图象，根据图象即可求得．【小问1详解】
解：∵点A（2，4）在双曲线 （m≠0）上，
∴m=2×4=8，
∴m的值为8；
【小问2详解】
解：如图：
由图象可知，点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（-2，0）或（-4，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解
题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 上有两点 和点 ．
（1）用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；（2）当 时，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）b=4a，x=-2
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）将（-1，0）代入函数解析式可得 ，则抛物线对称轴为直线 ．
（2）由点B坐标可得AB所在直线为 ，过点B作 轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三
角形的斜边，从而可得点B当 时和 时点B的坐标为（2，3）或（4，3）或（-4，-
3）或（-6，-5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
【小问1详解】
将（-1，0）代入 得 ，
∴ ，
∴抛物线对称轴为直线 ．
【小问2详解】
∵点B坐标为 ，
∴点B所在直线为 ，
∴点A在直线 上，
过点B作 轴交x轴于点C，
则 ， ，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当 时， ，当 时， ，∴ 或 ，
∴点B坐标为（2，3）或（4，3）或 或 ，
当 时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（-1，0），对称轴为直线 ，
∴抛物线经过点（-3，0），
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过 ， ，
将（2，3）代入 得 ，
解得 ，
将（4，5）代入 得 ，
解得 ，
∴ ．
时，抛物线开口向下，抛物线不经过 ， ，
将 代入 得 ，解得 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线与系数的关系，对称轴，抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，熟练
掌握抛物线的性质，灵活运用分类思想，待定系数法是解题的关键．
27. 如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，DB．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）连接DO，过点D做⊙O的切线，交BA的延长线于点P．若AC=3， ，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据题意画出图形，根据切线的性质得到 ，进而得到 ，根据正切的定
义、勾股定理计算即可．
【
小问1详解】
证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠ADC=∠ABD；
【小问2详解】
∵PD是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∵CD⊥AB，
∴ ，
∴∠PDC=∠DOC，
∵ ，
∴ 即 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，互余的性质，切线的性质，勾股定理和正切三角函数，熟
练掌握切线的性质，三角函数是解题的关键．
28. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数
是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数
是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数① 和② 中是有上界函数的为____________（只填序号即可），
其上确界为____________；
（2）如果函数 的上确界是b，且这个函数的最小值不超过 ，求 的取
值范围；（3）如果函数 是以3为上确界的有上界函数，求实数 的值．
【答案】（1）②，1；
（2）
（3）2.4．
【解析】
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知： ，再由 ， ， ，即可求 的取值范围；
（3）当 时， ，可得 （舍）；当 时， ，可得 （舍）；当
时， ，可得 ；当 时， ，可得 ．
【小问1详解】
① ，
∴①无上确界；
② ，
∴ ，
∴②有上确界，且上确界为1，
为
故答案 ：②，1；
【小问2详解】
∵ ，y随x值的增大而减小，
∴当 时， ，
∵上确界是 ，
∴ ，
∵函数的最小值不超过 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围为： ；
【小问3详解】
的对称轴为直线 ，
当 时， 的最大值为 ，
∵3为上确界，
∴ ，
∴ （舍）；
当 时，y的最大值为 ，
∵3为上确界，
∴ ，
∴ （舍）；
当 时，y的最大值为 ，
∵3为上确界，
∴ ，
∴ ；
当 时，y的最大值为 ，
∵3为上确界，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的值为2.4．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数
的最大值是解题的关键．
