文档内容
昌平区 2021-2022 学年初三年级第一学期期末质量监控
数学试卷
本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效．考试结束后将答题卡交回．
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
2. 已知 ，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A. （0，﹣2） B. （﹣2，0） C. （0，2） D. （2，0）
4. 已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
6. 如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）A. B.
C. 3 D.
7. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
.
C 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
8. 如图，在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C
（1，c），D（ ，d），E（e，1），P（m，n）均为 上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜
m，则点P的位置为（ ）
A. 在 上 B. 在 上 C. 在 上 D. 在 上
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
10. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是__．
11. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留 ）
12. 点A（-1，y），B（4，y）是二次函数y＝（x－1）2图象上的两个点，则y________y（填“＞”，
1 2 1 2“＜”或“＝”）
13. 如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则OH的长度为__．
14. 已知反比例函数y＝ 的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是________
15. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB
＝_____________°
16. 点A（x，y），B（x，y）（x·x≥0）是y=ax2（a≠0）图象上 的 点，存在 =1时，
1 1 2 2 1 2
=1成立，写出一个满足条件a的值______________
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第
27、28题，每小题7分，共68分）
17. 计算： 2sin60°+tan45°－cos30°tan60°
18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长19. 已知：二次函数y=x2－4x+3
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围
20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝ ，求BC的长
21. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝ ∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝ ∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
的
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是一次函数 图象与反比例函数
的图象的交点
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）过点P（n，0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当
S ＞S 时，直接写出n的取值范围
△OPM △OPN的
23. 居庸关位于距北京市区50余公里外 昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第
一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高
度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，
sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
题目 测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 BM=16m, BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°
24. 如图，⊙O是 ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP
＝∠BCD △
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF
的长25. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的
小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近
似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）
（1）求出w与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y），（a，y）在二次函数的图象上，且y＞y，则a的取值范围是____；
1 2 2 1
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
27. 已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D
是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P
是线段OQ的“潜力点”
已知点O（0，0），Q（1，0）
（1）在P（0，-1），P（ ， ），P（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；
1 2 3
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
的
（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ “潜力点”时，
直接写出b的取值范围
