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海淀实验中学七年级第二学期期中练习
数学
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 81 B. 3 C. ±3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】由算术平方根的定义得：9的算术平方根是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查的是点的坐标与象限的关系，熟记各象限内点的坐标特征是解答本题的关键．
3. 如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
【答案】B
【解析】【详解】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选：B．
4. 下列实数 ， ， ，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）， ， 中，无理数有
（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】无限不循环的小数是无理数，据此即可判断．
【详解】根据无理数的定义可知 、 、 、0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理
数， 是分数即是有理数， 是整数，
故无理数有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数是无限不循环的小数是解答本题的关键．
5. 如图，直线 被 所截，则 和 是( )
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
【答案】B
【解析】
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在
第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【详解】解：如图所示，两条直线 被直线 所截形成的角中，∠1与∠2都在 直线的之间，并且在直线 的两旁，所以∠1与
∠2是内错角．
故选B．
6. 在实数 ， ， ， 中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可．
【详解】解： ；
因此根据题意可得-3是最小的
故选B．
【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．
7. 如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 ，理由是（ ）
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C. 连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解析】【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意得：
∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故选：A．
【点睛】本题考查平行线 的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题．
8. 如图，将一块含不 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若 ，那么∠2的度数是（
）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵将一块含有30°的直角三角形的顶点放在直尺的边上，∠1=48°，
∴∠2=∠3=180°-48°-30°=102°
故选：D．
【点睛】此题主要考查平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题的关键．
9. 已知 是正偶数，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知 是正偶数，而最小的正偶数是2，则
＝2，从而得出结果．
【详解】解：当 等于最小的正偶数2时，n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“ 是正偶数”的含义．
10. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点 ， ， 的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快
递员上午派送快递所用的时间和件数；点 ， ， ，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员
下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递
件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给的点的信息进行辨析即可得解.
【详解】①上午派送快递所用时间最短的是A，即甲，不足2小时；故①正确；
1
②下午派送快递件数最多的是B 即乙，超过40件，其余的不超过40件，故②错误；
2
③在这一天中派送快递总件数为：甲：40+25=65（件），乙：45+30=75；丙：30+20=50，所以这一天中派
送快递总件数最多的是乙，故③正确.
故选B.
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出图象中点的几何意义，是解答的关键．
二、填空题（本大题共16分，每小题2分）
11. 如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到 处，他们的做法是：过点 作 于点 ，将水
泵房建在了 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
12. 如图，直线a，b相交于点O，∠1=130°，则∠2的度数是___________．
【答案】130°##130度
【解析】
【分析】直接利用对顶角的性质得出答案．
【详解】解：∵直线a，b相交于点O，∠1=130°，
∴∠2=∠1=130°．
故答案为：130°．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键．
13. 请写出一个比 小的正整数__________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义和无理数的估算求解 ．
【详解】解：∴由9<10可得： ，
即3 ，
又由4<10，1<10可得： ，
故答案为3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查算术平方根和无理数的估算，熟练掌握基本知识是解题关键．
14. 在平面直角坐标系中，A点的坐标为 ，若线段 轴，且 ，则点B的坐标为
_________．【答案】（2，2）或（2，−4）
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中与 轴平行，则它上面的点横坐标相同，可求B点横坐标；又 ，B点
可能在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【详解】解：∵ 轴，
∴点B横坐标与点A横坐标相同，为 ，
∵ ，
∴当点B在点A的上边时，点B的纵坐标为 ；
当点B在点A的下边时，点B的纵坐标为 ；
∴B点坐标为（2，2），（2，−4）．
故答案为：（2，2）或（2，−4）．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平面直角坐标系中坐标特点及规律是解题
的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边
形的面积．
【详解】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积=1×3=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题关键是学会用转化的思想思考问题．
16. 小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点
D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是___________．【答案】15°##15度
【解析】
【分析】过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质得出∠B=∠MDB=30°，
∠MDE=∠E=45°，则可求出答案．
【详解】解：过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，
∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，
∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，
∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17. 如图，动点P在平面直角坐标系xOy中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，
2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），…，
按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P的坐标是___________．
【答案】（27，1）
【解析】
【分析】根据题意可以发现规律，各点的横坐标与运动次数相同，而且纵坐标每4次运动组成一个循环：
2，0，1，0，根据规律求解即可．【详解】解：观察图像，结合点P前4次运动后的点的坐标特点可知，各点的横坐标与运动次数相同，而
且纵坐标每4次运动组成一个循环：2，0，1，0；
∵27=4×6+3，
∴经过第27次运动后，动点P的横坐标是27，纵坐标为1，
故经过第27次运动后，动点P的坐标是（27，1），
故答案为：（27，1）．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找到点的坐标规律是解答此题的关键．
18. 已知a，b，m都是实数，若 ，则称a与b是关于1的“平衡数”．
（1） 与___________是关于1的“平衡数”；
（2）若 ，判断 与 _______（填“是”或“不是”）关于1的
“平衡数”．
【答案】 ①. ## ②. 不是
【解析】
【分析】（1）根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得3- 关于1的“平衡数”；
（2）根据（m+ ）（1- ）=-2，可以先求出m的值，然后即可计算出（m+ ）与（2- ）的和，
再看是否等于2即可．
【详解】解：（1）设3- 与x是关于1的“平衡数”，
则3- +x=2，
解得x= -1，
故答案为： ；
（2）（m+ ）（1- ）=-2，
解得m=1，
∴（m+ ）+（2- ）=（1+ ）+（2- ）
=1+ +2-
=3≠2，
∴（m+ ）与（2- ）不是关于1的“平衡数”，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键会用新定义解答
问题．
三、解答题（本大题共24分，第19，20题每题8分，第21~22每题4分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）2+2
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简及立方根的意义逐项化简，再根据有理数的加减法法则计算；
（2）先根据二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
= ；
【小问2详解】解：
=2+2 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及立方根的意义、二次根式的运算法则是
解答本题的关键．
20. 求出下列等式中x的值：
（1）
（2）
【答案】（1）x=±2；
（2）x=- ．
【解析】
【分析】（1）根据平方根的定义求解；
（2）根据立方根的定义求解．
【小问1详解】
根据题意得：x2=4，
∴x=±2；
【小问2详解】
根据题意得： ，
∴x=- ．
【点睛】本题考查了平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
21. 下图是一所学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个主要位置恰好落
在整格点．若实验楼的坐标为 ，图书馆的坐标为 ．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出校门的坐标：___________；
（2）若食堂的坐标为 ，请在坐标系中标出食堂的位置．
【答案】（1）作图见详解，(-6,0) （2）作图见详解
【解析】
【分析】（1）将实验楼的坐标向上平移三个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标
轴即可找到校门的坐标；
（2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可．
【小问1详解】
作图如下：
根据坐标系可知校门的坐标为(-6,0)；
【小问2详解】
食堂为位置如图所示：【点睛】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键．
22. 如图，直线AB，CD相交于点O， ，垂足为O， ，求 的度数．
【答案】125°．
【解析】
【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度
数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．
【
详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．
【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数．
四、解答题（本大题共11分，23题5分，24题6分）
23. 小鸣打算用一块面积为900 正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为588 的长方形桌面，并
且长宽之比为4：3，你认为能做到吗？请通过计算说明．
【答案】能做到；长28cm，宽21cm
【解析】【分析】根据长方形的面积、长宽比，用一个未知数分别表示出长和宽，建立一元二次方程，可求出长、
宽的值；再根据正方形的面积，得到正方形的边长，最后比较长方形的长、宽是否小于正方形的边长，即
可得出结论．
【详解】解：能做到，理由如下：
∵桌面长宽之比为 ，面积为588cm2，
∴设桌面的长、宽分别为4xcm和3xcm（x＞0），
则4x·3x＝588
解得x＝7，x＝－7（舍去），
1 2
∴长：4x＝4×7＝28cm，宽：3x＝3×7＝21cm，
又∵面积为900 cm2的正方形木板的边长为 ＝30cm，28＜30，
∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2，且长宽之比为 的桌面，
故桌面长、宽分别为28cm和21cm．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用及长方形的面积公式，正确列出方程是解本题的关键．
24. 下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 ，使得 ．
作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线 与直线l交于点B，
②以A为圆心， 为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，
③以A为圆心， 为半径画弧与线段 交于点Q，
则直线 即为所求．根据小王设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ，
∴ ，
（ⅰ）∵ _________，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
（ⅱ）∴ （____________________）．（填推理的依据）
即 ．
【答案】（1）作图见详解
（2）（i）AQ；（ii）同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】（1）按题目描叙作图即可；
（2）依据小王的证明思路，即可作答．
【小问1详解】
依据题目描叙作图如下：
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ AQ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ （同位角相等，两直线平行），
即 ．
故答案为：AQ，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了基本作图、等边对等角以及平行线的判定等知识，解答本题的关键是掌握平行线的判
定，同位角相等，两直线平行．
五、解答题（本大题共19分，25题7分，26~27每题6分）
25. A(−1，0)，C(1，4)，点B在x轴正半轴上，且AB=3．
（1）点B的坐标为________________．
（2）三角形ABC的面积为______________．
（3）在坐标轴上是否存在点P，使得以A，C，P三点为顶点的三角形与三角形ABC的面积相等？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2，0）
（2）6 （3）点P的坐标为P（2，0）或（-4，0）或（0，8）或（0，-4）．
【解析】
【分析】（1）利用两点之间的距离公式即可解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
的
（3）首先求出直线AC 解析式和点D的坐标，分两种情形：当点P在y轴上时，设P（0，m），当
点P在x轴上时，设P（t，0），分别构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵点B在x轴正半轴上，且AB=3，
∴-1+3=2，
∴点B的坐标为（2，0）；
故答案为：（2，0）；
【小问2详解】解： ABC的面积= ×3×4=6；
△
故答案为：6；
【小问3详解】
解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A、C 坐标代入可得： ，
的
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=2x+2，
设直线AC与y轴的交点是D，则D(0，2)．
当点P在y轴上时，设P（0，m），则有 ×|m-2|×(x -x )= 6，
C A
∴|m-2|= 6，
解得m=8或-4，
∴P（0，8）或（0，-4）．
当点P在x轴上时，设P（t，0），则有 ×|t+1|×4=6，
解得t=2或-4，
∴P（2，0）或（-4，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P（2，0）或（-4，0）或（0，8）或（0，-4）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识点，运用
分情况讨论思想是解此题的关键．
26. 已知：如图，∠AOB=α，OC平分∠AOB，D是边OA上一点，将射线OB沿OD平移至射线DE，交
OC于点F，E在F右侧．M是射线DA上一点（与D不重合），N是线段DF上一点（与D，F不重合），
连接MN，∠OMN=β．
在
（1）请 图1中根据题意补全图形；
（2）求∠MNE的度数（用含α，β的式子表示）；
（3）点G在线段OF上（与O，F不重合），连接GN并延长交OA于点T，且满足2∠NGO＋
∠OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究∠ENM与∠ENG的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）∠MNE=β＋α，（3）见解析，∠ENM=180°﹣2∠ENG
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可；
（3）结论：∠ENM=180°﹣2∠ENG．利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）图形如图所示．
（2）∵DE∥OB，
∴∠MDN=∠AOB，
∴∠MNE=∠OMN＋∠MDN=β＋α．
（3）结论：∠ENM=180°﹣2∠ENG．
理由：如图，设∠NGO=γ．
∵2∠NGO＋∠OMN=180°，
∴2γ+β=180°，即β=180°-2γ，
∴∠ENM=α＋β=α＋180°﹣2γ=180°＋α﹣2γ，
∵∠ENG=∠DNT=∠MTN﹣∠ADF
=∠AOC＋∠NGO﹣∠ADF
= α＋γ﹣α
=γ﹣ α，即2γ=2∠ENG+α，
∴∠ENM=180°＋α﹣(2∠ENG+α)= 180°﹣2∠ENG．
【点睛】本题考查了平移变换，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
27. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任
意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，
N）．
已知点A（-2，6），B（-2，-2），C（6，-2）．
（1）求d（点O， ABC）；
（2） MN是经过原△点O的一条直线，记MN上横坐标x满足-1≤x≤1的部分为图形G．若d（G， ABC）
=1，直接写出MN与x轴正半轴夹角α的范围． △
【答案】（1）d（点O， ABC）=2；
（2）0°≤α≤45°或135°≤α＜△180°．
【解析】
【分析】（1）画出图形，根据图形可直接解答；
（2）根据题意分MN所在直线平行于x轴及MN所在直线不平行于x轴两种情况分别求解，再结合图象即
可求出MN与x轴正半轴夹角α的范围．
【小问1详解】
解：根据题意，作出图形如下：根据图形可知，d（点O， ABC）=2；
【小问2详解】 △
解：根据题意可知，当MN所在直线与x轴重合时，d（G， ABC）=1，此时α=0°，
当MN所在直线不平行于x轴时，设MN所在直线的解析式为△y=kx（k≠0），
∵-1≤x≤1，
∴图形G为夹在直线x=-1和直线x=1之间的一条线段，
当图形G经过点（1，-1）时，，
此时d（G， ABC）=1，
此时MN与x△轴正半轴夹角α为135°，
当图形G经过点（-1，-1）时，
此时d（G， ABC）=1，
此时MN与x△轴正半轴夹角α为45°，
∴0°≤α≤45°或135°≤α＜180°．
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的图形及性质时解答此题的关键．
