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北京一六一中学 2023—2024 学年度第一学期期中考试
初三数学试卷
考生须知：
1．本试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟．
2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代
表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 正方形绕着它的中心旋转，要想与原来的图形重合，至少要旋转（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
5. 如图，点A，B，C在 上，连接 ．若 ，则 的度数是（
）
A. B. C. D.
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
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.
A a＞0，b＞0，c＞0 B. a＞0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＜0，c＜0
7. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 的顶点上，且
它们的各边与正方形 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且 ，阴影部分的面积为
y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 方程 的解为_____．
10. 将一元二次方程 配方后可变形为______．
11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每
次降价的百分率都为 ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．
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12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 ，半径 ，高度 为
__m．
13. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2 的图象，则从里到外
的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）
14. 将抛物线 向上平移4个单位，再向左平移2个单位得到的二次函数的表达式为_________．
15. 在二次函数 中， 与 的部分对应值如表：
x … 0 …
y … 0 m n 0 …
则 的大小关系为m_________n．（填“>”“=”或“<”）
16. 已知抛物线 ，当 时， ，当 或 时， ，抛
物线 与 轴交于A，B两点，则AB的长为_________．
三、解答题（本题共68分，其中17-21每题5分，22题6分，23题5分，24题-26题每题6
分，27-28每题7分）
17. 解方程：
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
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19. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求 的取值范围．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，
△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)请在图中直接画出O点，并直接填空：OA=______
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△AB C ，请画出△AB C ．
1 1 1 1 1 1
21. 如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证： ；
（2）若 ，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
的
22. 已知一个二次函数图像上部分点 横坐标 与纵坐标 的对应值如表所示：
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（1）这个二次函数的解析式是______ ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
（3）当 时， 的取值范围为______ ．
23. 如图，D是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的度数．
24. 如图所示， ， 两点在二次函数 与一次函数 图象上．
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（1）求 的值和二次函数的解析式．
的
（2）请直接写出使 时，自变量 取值范围．
（3）二次函数交 轴于 ，请求出 的面积．
25. 如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地
面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线 ．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高
度 (单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离 (单位：米)之间的函数关系式为 ，
其图像如图②所示．已知坡地 所在直线经过点 ．
（1） 的值为__________；
（2）若 ，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
（3）若 时，到喷水头水平距离为16米 处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉
的
装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
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（1）当 时，求 的值；
（2）点 在此抛物线上，若存在 ，使得 ，求 的取值范围．
27. 在 中， ， ，记 ，点 为射线 上的动点，连接 ，将
射线 绕点 顺时针旋转 角后得到射线 ，过点 作 的垂线，与射线 交于点 ，点 关于
点 的对称点为 ，连接 ．
图1 图2
（1）当 为等边三角形时，
①依题意补全图1；
② 的长为_________；
（2）如图2，当 ，且 时，求证： ．
28. 如图1，对于 的顶点 及其对边 上的一点 ，给出如下定义：以 为圆心， 为半径的
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圆与直线 的公共点都在线段 上，则称点 为 关于点 的内联点．
在平面直角坐标系 中：
（1）如图2，已知点 ，点 在直线 上．
①若点 ，点 ，则在点O，C，A中，点__________是 关于点 的内联点；
②若 关于点 的内联点存在，求点 纵坐标 的取值范围；
（2）已知点 ，点 ，将点 绕原点 旋转得到点 ，若 关于点 的内联点存
在，请求出当 点落在第四象限时 的最大值．
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