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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京三中 2023—2024 学年度第二学期学业测试
初一年级数学学科期中试卷
试卷满分：100分 考试时间：100分钟
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 实数3.1415， ， ， 中，无理数是（ ）
A. 3.1415 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：① π类，如
2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如 0.1010010001…（两个1之间
依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此分析即可．
【详解】解：3.1415， ， 是有理数；
是无理数．
故选B．
2. 若 ，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：A、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
B、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
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C、若 ，则 ，选项说法正确，符合题意；
D、若 ，则 ，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．根据平方根与立方
根的意义判断即可．
【详解】解：选项A. ，故不符合题意，
B. ，故不符合题意，
C. ，故正确，符合题意，
D. ，故不符合题意，
故选：C
4. 下列命题中，真命题为（ ）
A. 相等的角是对顶角
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 同旁内角互补
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】题主要考查了命题与定理， 根据对顶角的性质以及定义可以判断选项A；根据平行于同一条直线
的两条直线平行可以判断选项B；根据两直线平行，同旁内角互补可以判断选项C；根据在同一平面内垂
直于同一条直线的两直线平行可以判断选项D．
【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，是假命题，不符合题意；
B．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故符合题意；
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C．两直线平行，同旁内角互补，是假命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题，不符合题意；
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点 ， ，若直线 与x轴平行，则m的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查点的坐标，点 ， ，直线 与x轴平行，即点A，点B到x轴的
距离相等，也就是其纵坐标相等，解 即可．
【详解】解：∵点 ， ，直线 与x轴平行，
∴ ，
解得 ，
故选：C．
6. 如图，下列条件中，能判断 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行线的判定方法进行判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内
角互补，两直线平行．
【详解】解：由 ，可得 ，符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
由 ，可得 ，不符合题意；
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故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
7. 如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
【答案】C
【解析】
【分析】确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进
而求解．
8. 已知：关于 的不等式组 只有三个整数解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由不等式组的解法得到不等式组的解集 ，再根据不等式组的整数解的个数得到 的取
值范围．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
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∵不等式组 只有三个整数解，
∴不等式的解集为： ，
∴不等式组 只有三个整数解为 ，
∴ ，
当 时，不等式的解集为 ，
∴不等式的整数解有 个，不符合题意舍去，
当 时，不等式的解集为 ，
∴不等式的整数解有 个，符合题意，
，
故选 ．
【点睛】本题考查了根的存在性及个数的判断，不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9. 实数a，b满足 ，则 的值为___________．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性得a﹣1＝0，2a＋b＝0，先求出a的值，再求出b的
值可．
【详解】解：∵ ≥0， ≥0，
∴a﹣1＝0， ，
解得a＝1，b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，根据非负数之和等于0时，各项都等于0，
这是解题的关键．
10. 用不等式表示“a的3倍与b的和是非负数”，应为______．
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【答案】
【解析】
【分析】根据题意直接列出不等式即可．
【详解】解：“a的3倍与b的和是非负数”用不等式表示为： ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由列一元一次不等式的知识，解答本题的关键是掌握非负数的定义．
11. 若 是方程 解，则a的值为______．
的
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．
12. 如图，直线 与 交于点 ， ，若 ，则 的度数为_______．
【答案】 ##50度
【解析】
【分析】本题主要考查邻补角、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据邻补角的定
义解得 ，再根据垂直的定义可得 ，然后由 求解即
可．
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【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13. 若关于x的一元一次方程 的解是负数，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的解为负数得出 ，解之即可得．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解是负数，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
14. 已知点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离以及每个象限点的坐标特征，第一象限的坐标 ；第二象限的
坐标 ，第三象限的坐标 ，第四象限的坐标 ，据此作答即可．
【详解】解：因为点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，
所以 ，
因为点A在第四象限，
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所以 ，
故点 ，
故答案为：
15. 如图，直角三角形 的周长为 ，在其内部有 个小直角三角形，且这 个小直角三角形都有
一条边与 平行，则这 个小直角三角形周长的和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的应用，根据题意得这 个小直角三角形都有一条边与 平行，则有小直
角三角形中与 平行的边的和等于 ，与 平行的边的和等于 ，则小直角三角形的周长和等于
直角 的周长，据此即可求解．
【详解】解：因为这 个小直角三角形都有一条边与 平行， ，
所以这 个小直角三角形都有一条边与 平行，
这 个小直角三角形周长的和等于直角 的周长 ，
故答案为：
16. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之
重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重
量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙
袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重 两，每枚白银重 两，根
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据题意可列方程组为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相
同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得
,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得 ，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得 .
因此
所以答案为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.
三、解答题(共68分，18题9分，19题10分，20题5分，24题6分，21、22每题 7分，
17、23、25每题8分）
17. 计算：
（1）
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方和绝对值，再算乘法，后算加减；
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（2）先算开方和绝对值，再算加减．
【小问1详解】
【小问2详解】
18. 解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组：
（1）运用代入消元法求解：①式代入②式，求出 ，再把 代入①中得 ，从而得出方程组的
解；
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（2）运用加减消元法求解： 得 ，将 代入②可解得 ，从而得出方程组的解
【小问1详解】
解：
把①代入②中得， ，
解得， ，
把 代入①中得，
所以，方程组的解为： ；
【小问2详解】
解：
得： ，
解得： ，
将 代入②得：
解得， ，
所以，方程组的解为：
19. 解不等式（组）：
（1）求不等式 的非正整数解
（2）解不等式组
【答案】（1）非正整数解为0、
（2）
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【解析】
【分析】本题主要考查求一元一次不等式的整数解以及解不等式组：
（1）根据去括号，移项，合并，系数化为1求出不等式的解集，再确定不等式的非正整数解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集
【小问1详解】
解： ，
去括号得， ，
移项，得： ，
合并，得： ，
系数化为1，得： ，
所以，不等式的非正整数解为0、 ；
【小问2详解】
解：
解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
所以不等式组的解集为 ．
20. 如图，平面内有两条直线l，l 点A在直线l 上，按要求画图并填空：
1 2 1
（1）过点A画l 的垂线段AB，垂足为点B；
2
（2）过点A画直线AC⊥l，交直线l 于点C；
1 2
（3）过点A画直线AD∥l；
2
（4）若AB＝12，AC＝13，则点A到直线l 的距离等于 ．
2
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）12．
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【解析】
【分析】（1）根据垂线段的定义画出即可；
（2）根据垂线的定义画出即可；
（3）根据平行线的定义画出即可；
（4）根据点到直线间的距离求解即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）点到直线间的距离，即垂线段的长度，
所以，点A到直线l 的距离等于12，
2
故答案为：12．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
21. 如图，点E，F分别在 的延长线上，直线 分别交 于点G，H， ，
．
求证：
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵ ，
∴______ ______．
∴ ______．（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴ ______．
∴______ ______．（ ）（填推理的依据）
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∴ ．
∵ ，（ ）（填推理的依据）
∴ ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用平行线的判定和性质一一判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
∴ ．（两直线平行，内错角相等）
∵ ，
∴ ．
∴ ．（同位角相等，两直线平行）
∴ ．
∵ ，（对顶角相等）
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
22. 某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B
套餐共用了51元．
（1）求A套餐、B套餐的单价各多少元；
（2）某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B
套餐．
【答案】（1）A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元
（2）10份
【解析】
【分析】（1）设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，根据购买2份A套餐和3份B套餐共用了84
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元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元列出方程组，解之即可．
（2）设购买B套餐m份，根据费用不超过330元，列出不等式，解之即可．
【小问1详解】
解：设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，
由题意可得： ，
解得： ，
∴A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元；
【小问2详解】
设购买B套餐m份，
由题意可得： ，
解得： ，
∴该单位最多能购买10份B套餐．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是找到等量关系和不等关系，
列出方程组和不等式．
23. 如图，已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，恰好满足 平分 ．若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，根据 ，得出
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，根据平行线的判断得出 ；
（ 2 ） 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 出
， 根 据 垂 直 定 义 得 出 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出
，最后求出 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，
补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
将三角形 先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形 ，其中点D，E，
F分别为点A，B，C的对应点．
（1）在图中画出三角形 ；
（2）求三角形 的面积；
（3）若三角形 内一点P经过上述平移后的对应点为 ，直接写出点P的坐标（用含m，n的
式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意进行平移得 ，即可得；
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（2）作点 ，构造图中的四边形 ，则 ，进行
计算即可得；
（3）根据三角形 内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ，
即可得．
【小问1详解】
解：∵三角形 三个顶点的坐标分别是 ， ， ．将三角形 先向左平移5
个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴ ，
如图所示，
；
【小问2详解】
解：如图所示，作点 ，构造图中 四的边形 ，
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则
．
【小问3详解】
解：∵三角形 内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平移—作图，解题的关键是掌握平移．
25. 如图，已知线段 ，点 是线段 外一点，连接 ， ．将线段
沿 平移得到线段 ．点 是线段 上一动点，连接 ， ．
（1）依题意在图1中补全图形，并证明： ；
（2）过点C作直线 ．在直线 上取点 ，使 ．
①当 时，画出图形，并直接用等式表示 与 之间的数量关系；
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②在点 运动的过程中，当点 到直线 的距离最大时， 的度数是________（用含 的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①点 在直线 的上方时， ；点 在直线
的下方时， ；② ．
【解析】
【分析】（1）作 ，根据平行线 的性质证明即可；
（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点 到直线 的最大距离就是线
段 的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：补全图形如图所示，作 ，
∵将线段 沿 平移得到线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即
【小问2详解】
解：①分两种情况：
点 在直线 的上方时，如图所示：
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由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ；
点 在直线 的下方时，如图所示：
，
∴ ，
整理，得 ；
②作 ，如图所示：
∵ ，
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∴点 到直线 的距离就是线段 的长，
∵ ，
∴点 到直线 的最大距离就是线段 的长，此时 ，作 于点 ，如图所示：
由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画
出图形是解题的关键．
附加题：（本题共10分，26题4分，27题6分）
26. 标有1—25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座
位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人
使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．
（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么3，4，5号座位会被______选择；
（2）如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为______．
【答案】 ①. 乙 ②. 110
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【解析】
【分析】（1）根据游戏规则，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，
丁选13，14，15，16，17号座位，即可得知；
（2）根据游戏规则，按“同一竖列”或“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相
加即可．
【详解】解：（1）根据游戏规则可知：
甲选1，2号座位，
乙选3，4，5号座位，
丙选7，8，9，10号座位，
丁选13，14，15，16，17号座位，
故3，4，5号座位会被乙选择，
故答案为：乙；
（2）根据游戏规则，第一种，可得丁选择了：23、8、1、4、15；
丙选择了：9、2、3、14；
乙选择了：7、6、5；
甲选择了：10、11；
故四人所选的座位号数字之和为： ．
第二种，可得丁选择了：19、6、1、2、11；
丙选择了：5、4、3、12；
乙选择了：7、8、9；
甲选择了：10、13；
故四人所选的座位号数字之和为： ．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是理清游戏规则．
27. 对于平面直角坐标系 中的任意一点 ，给出如下定义：如果 ， ，那
么点 就是点 的“关联点”．
例如，点 的“关联点”是点 ．
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（1）点 的“关联点”坐标是___________；
（2）将点 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点 ，如果点 与点 的“关联
点”互相重合，求点 的坐标；
（3）设点 的“关联点”为点 ，连接 ，如果线段 与 轴有公共点，直接写出 的取
值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“关联点”的定义求解即可；
（2）设点C坐标为 ，根据平移的性质和“关联点”的定义求出点 与点 的“关联点”，进而得
出方程，求出a，b即可；
（3）求出 的坐标，根据线段 与 轴有公共点可知点 和点 的横坐标一个大于等于零，一个小
于等于零，据此得出不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
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∴点 的“关联点”坐标是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设点C坐标为 ，
由平移的性质得 ，
∴点 的“关联点”坐标为： ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ；
【
小问3详解】
解：由题意得： 的坐标为 ，
∵线段 与 轴有公共点，
∴ 或 ，
解不等式组 得： ，
而不等式组 无解，
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∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，平移的性质等知识，正确理解“关联点”的定义是解题的关键．
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