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2023-2024 学年北京三中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗
产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A. （3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
3. 如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，
则∠A的度数是（ ）
A. 35° B. 65° C. 55° D. 25°
4. 若关于x的方程 两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A. B. 4 C. 8 D. 16
5. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＜0，b＞0，c＞0 C. a＜0，b＞0，c＜0 D. a＜0，b＜0，c＞0
的
6. 如图，在 中，弦 ， ， ，则 度数为（ ）
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A. B. C. D.
的
7. 某农场2019年 产值为80万元，通过改进技术，2021年的产值达到96.8万元，求该农场这两年产值的
年平均增长率．设该农场这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为
圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与
t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是________．
10. 抛物线 向上平移 个单位后得到的抛物线表达式是_____．
11. 已知 是关于x的方程 的一个根，则n的值是 _______．
的
12. 已知a是方程 一个根，则代数式 的值是________．
13. 如图， 与 相切于点B， 的延长线交 于点C．若 ，则∠C=_____．
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14. 如图，在 中， ， ，点D在 上，且 ，将点D绕着点
A 顺时针方向旋转，使得点 D 的对应点 E 恰好落在 边上．若连接 ，则 的长为
________________．
15. 抛物线 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的两
根为 _______________．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
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（1）点M的纵坐标为 _____；
（2）当 最大时，点P的坐标为 __________．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分：第27-28题，
每小题5分）
17. 解方程： ．
18. 如图， 是 的直径，弦 于点H， ， ，求 的半径的长．
19. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
作法：如图，
①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
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④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围．
21. 若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
y … -5 0 3 4 3 0 …
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象 （不用列表） ；
（3）结合函数图象，当y>0时，直接写出自变量x的取值范围．
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22. 如图．在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．将
绕点 顺时针旋转 得到△ ，点 旋转后的对应点为
（1）画出旋转后的图形△ ，并写出点 的坐标；
（2）求点 经过的路径 的长（结果保留π）．
23. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝ ，求线段AB的长．
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24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边 和 足够长），用
长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 和 两边），设 ，则 ．
（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为 时，求 的长；
（3）如果在点P处有一棵树（不考虑粗细），它与墙 和 的距离分别是 和 ，如果要将这棵
树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值
25. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是 ，小石站在距篮圈中心
水平距离 处的点 练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，当篮球运行的水
平距离是 （单位： ）时，球心距离地面的竖直高度是 （单位： ），记录了如下两次训练：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距
离
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竖直高
度
①在平面直角坐标系 中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求 与 满足的函数解
析式；
③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；
（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，
达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是 ．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为 ，两个不同的点
在抛物线上
（1）若 ，求t的值；
（2）若 ，求t的取值范围．
27. 如图，在等边三角形 中，点 为 内一点，连接 ， ， ，将线段 绕点A顺时
针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）当 时，
直接写出 的度数为______；
若 为 的中点，连接 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明．
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28. 对于平面直角坐标系 中的点P和图形W、给出如下定义：若图形W上存在点Q，使得点P绕着点
Q旋转 得到的对应点 在图形W上，则称点P为图形W的“关联点”．
（1）图形W是线段 ，其中点A 的坐标为 ，点B的坐标为 ，
①如图1，在点 ， ， ， 中，线段 的“关联点”是 ；
②如图2，若直线 上存在点P，使点P为线段 “的关联点”，求b的取值范围；
（2）图形W是以 为圆心，1为半径的 ．已知点 ， ．若线段 上存在点
P，使点P为 的“关联点”，直接写出t的取值范围．
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