文档内容
贵阳第一中学 2025 届高考适应性月考卷（一）
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B C A A
【解析】
1.由题， 或 ，则 ，故选D.
2.对于A选项， 的定义域为 ，该函数在 和 上单调递增，在定义
域内不单调；对于B选项， 的定义域为 ，该函数在 上单调递减，在
上单调递增，在定义域内不单调；对于C选项， 的定义域为 ，该函数在定
义域上单调递增；对于D选项， 的定义域为 ，当 时， ；当
时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，因此该函数在定
义域内不单调，故选C.
3. ，故选B.
4.设点 ，则 整理得 ，解得 或 ，故选C.
5. 的定义域为 .当 时， 的定义域为 ，
即 .令 ，解得 的定义域为 ，即 .
“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
6.由题， 解得 ，所以，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，故选C.
7.设 的二项展开式的通项公式为 ，
，所以二项展开式共6项.当 时的项为无理项；当 时的项为有理项.两项乘积为有
理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为 ，故选A.
8.由题， ，即圆心为 ，半径为 ，且 ， 为 的
直径. 与 相外切， .由中线关系，有
，当且
仅当 时，等号成立，所以 的最大值为20，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BC BCD
【解析】
9.对于A选项，由分布列性质可知正确；对于B选项，由两点分布定义可知错误；对于C选项，
，正确；
对于D选项，令 ，则 服从两点分布， ，
，正确，故选ACD.
10.令 ，对于A选项， 的定义域为 或
，故A错误；对于B选项， 的值域为 在定义域内的值域为，故B正确；对于C选项， 的最大值为 在定义域内的最小值
为 ，故C正确；对于D选项， 有极值 在定义域内有极值
且 ，故D选项错误，故选BC.
11.对于A选项，因为 为奇函数，所以 ，又由 ，可得
，故A错误；对于B选项，由 可得
为常数，又由 ，可得 ，则
，令 ，得 ，所以 ，所以
的图象关于直线 对称，故B正确；对于C选项，因为 为奇函数，
所以 ，所以 ，所以
是一个周期为4的周期函数， ，
所以 也是一个周期为4的周期函数，故C正确；对于D选项，因为 为奇函数，所以
，又 ，又 是周期为4的周期函数，所以
，故D正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 144
【解析】
12.设切点坐标为 切线方程为 .将 代入得 ，可得切点纵坐标为 .
13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有 种方法，再安排梵净山的位置共有 种方法，再排其
余元素共有 种排法，故共有 种不同的方案.
14.设 ，由 的函数图象知， ，又 ，
.令
在 上单调递增，则
， 的最大值为 .
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）解：数列 是首项为1，公比为3的等比数列，因此 ；
数列 是首项为1，公比为 的等比数列，因此， .
（2）证明：由（1）可得
因为 ，
所以 ，所以 .
16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接 ，设 ，连接 ，
三棱台 ，则 ，又 ，
四边形 为平行四边形，
则 .
点 是 的中点，
.
又 平面 平面 ，
平面 .
（2）解：因为平面 分三棱台 所成两部分几何体的体积比为 ，
所以 ，
即 ，
化简得 ，此时点 与点 重合.
，
且都在平面 ，则 平面 ，
又 为等腰直角三角形，则 .
又由（1）知 ，则 平面 ，
建立如图2所示的坐标系
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 令 ，解得 ，
设平面 的法向量 ，
则 令 ，解得 .
设二面角 的平面角为 ，
，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意可知双曲线 的焦距为 ，
解得 ，即双曲线 .因为双曲线 与双曲线 的离心率相同，
不妨设双曲线 的方程为 ，
因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 ，
则双曲线 的方程为 .
（2）易知直线 的斜率存在，不妨设直线 的方程为
，
联立 消去 并整理得
此时 可得 ，
当 时，由韦达定理得 ；
当 时，由韦达定理得 ，
则 ，
化简可得 ，
由（1）可知圆 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相切或相交.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在 内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 ）内有 （只）；
在 内有 （只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有 （只），所
以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故
列联表如下：
单位：只
指标值
抗体 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为 ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得 .
根据 的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件 “小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件 “小白鼠第二次注射疫苗产生抗
体”，事件 “小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件 发生的概率分别为 ，则 ，
.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 .
（ii）由题意，知随机变量 ，所以 .
又 ，设 时， 最大，
所以
解得 ，因为 是整数，所以 .
19.（本小题满分17分）
（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解： ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，至多有一个零点；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
有三个零点，则 即 解得 ，
当 时， ，
且 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
同理所以 在 上有唯一一个零点.
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，
综上可知 的取值范围为 .
（ii）证明：设 ，
则 .
又 ，所以 .
此时 ，
方程 的三个根均在 内，
方程 变形为 ，
令 ，则由三倍角公式 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以
.
