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2023 年高考押题预测卷 01【新高考II卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．设 ， 是两个不同的平面，则“ 内有无数条直线与 平行”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社
区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆C： ，圆 是以圆 上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当 最大时， （ ）
A．1 B． C． D．2
6．黎曼函数 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高
等数学中有着广泛的应用， 在 上的定义为：当 （ ，且p，q为互质的正整数）时，
；当 或 或 为 内的无理数时， ，则下列说法错误的是（ ）
A． 在 上的最大值为
B．若 ，则
C．存在大于1的实数 ，使方程 有实数根
D． ，
7．若函数 在区间 内没有最值，有下面四个说法：（ ）
①函数 的最小正周期可能为
② 的取值范围是 ；
③当 取最大值时， 是函数 的一条对称轴；
④当 取最大值， 是函数 的一个对称中心．
以上四个说法中，正确的个数是（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
8．在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则
下列说法正确的是（ ）
①当 时， 的周长为定值；②当 时，三棱锥 的体积为定值；
③当 时，有且仅有一个点 ，使得 ；
④若 ，则点 的轨迹所围成的面积为 .
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频
率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量
的叙述正确的是（ ）
A．指标值在区间 的产品约有48件
B．指标值的平均数的估计值是200
C．指标值的第60百分位数是200
D．指标值的方差估计值是150
10．已知等差数列 的前n项和为 ，满足 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的前10项和为
11．已知椭圆 分别为椭圆的左，右焦点， 分别是椭圆的左，右顶点，点 是椭圆上
的一个动点，则下列选项正确的是（ ）A．存在点 ，使得
B．若 为直角三角形，则这样的点 有4个
C．直线 与直线 的斜率乘积为定值
D．椭圆C内接矩形的周长取值范围是
12．已知菱形 的边长为 ，将 沿对角线 翻折，得到三棱锥 ，则在翻
折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．直线 与平面 所成角的最大值为
C．当二面角 为 时，三棱锥 的外接球的表面积为
D．当 时，分别以 为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒
洛四面体的内切球的半径为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数 ， 满足 ，则 的最大值为__________．
14．与曲线 和 都相切的直线方程为__________.
15．已知抛物线C： ，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在
第一象限），且 ，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值
为________．
16．某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为 ，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行
伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的 倍．如图2，若在连接点B，D之间加
装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知首项为3的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
18．（12分）
在 中， ．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)求 的最大值．
19．（12分）
如图，在三棱锥 中， ．(1)证明：平面 平面BCD；
(2)若 ，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥 的体积．
20．（12分）
已知曲线 ，焦距长为 ，右顶点A的横坐标为1． 上有一动点 ， 和
关于 轴对称，直线 记为 ，直线 为 ，而且 ， 与 轴的交点分别为 ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知以线段 为直径的圆过点 ，且 为 轴上一点，求 的坐标；
(3)记S为三角形 的面积，当S取最小值时．求此时 点的坐标．
21．（12分）
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、
金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…， ，
， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得1元，每
一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ ， ）时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．
(2)证明 是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际，解释当 时， 的
统计含义．
22．（12分）
已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 存在两个非负零点 ，求证： ．
