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北京景山学校 2022～2023 学年度第一学期九年级数学 12 月考试卷
一、选择题
1. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 长方体
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图，对各个选项进行分析即可得到答案．
【详解】根据主视图是三角形可知，圆柱、三棱锥、长方体不符合要求
根据几何体 的三视图，可得该几何体为圆锥
故选：A．
【点睛】本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，
所得到的图形是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案.
【详解】∵抛物线 的顶点坐标为：（0，0）
∴把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到（2，1），
即：平移后的抛物线的解析式为： ，
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关键.3. 在 中， ， ， ．把 绕点 顺时针旋转 后，得到
，如图所示，则点 所走过的路径长为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角
为90°的扇形．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB= ，
∴点B所走过的路径长为=
故选D．
【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小
为（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B【解析】
【详解】解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB= ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边
AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
5. 已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为d，若关于x的方程x -2x+d=0有实数根,则点P ( )
A. 在⊙O的内部 B. 在⊙O的外部 C. 在⊙O上 D. 在⊙O上或⊙O内部
【答案】D
【解析】
【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r的数量关
系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判
断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.
6. 如图， 是 的直径，点C，D是圆上两点，且 ，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，可求得 的度数，然后由圆周角定理，求得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．
7. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡
同时发光的概率是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解
即可．
【详解】解：把开关 ， ， 分别记为A、 、 ，
画树状图如图：共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
8. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离
总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形
（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段
圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．
下列说法中错误的是（ ）
A. 勒洛三角形是轴对称图形
B. 图1中，点A到弧BC上任意一点的距离都相等
C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离都相等
D. 图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲
边三角形有三条对称轴. 勒洛三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE的扇形的重叠，根据其特点
可以进行判断选项的正误.【详解】勒洛三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；
点A到 上任意一点的距离都是DE，故正确;
勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离不一定相等， 到顶点的距离是到边的中点的
距离的2倍，故错误；
勒洛三角形的周长=3× ,圆的周长= ,故说法正确.
故选C.
【点睛】主要考查了轴对称图形，弧长的求法以及对于新概念的理解．
二、填空题
9. 正五边形的每个内角为______°
【答案】108
【解析】
【分析】求出正五边形的每个外角即可解决问题．
【详解】解：正五边形的每个外角 ，
∴正五边形的每个内角 ，
故答案为：108．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA=5，则△PCD的周长为________ ．
【答案】10
【解析】
【分析】根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的是PA的两倍．
【详解】因为P为圆外一点，PA和PB为圆的切线，所以 ，
同理， ， ，所以 ，
所以 ，
所以
故答案为：10
【点睛】本题关键在于要了解圆外一点引出的圆的两条切线，这两条切线的长度相等
11. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=_____cm．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD= AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，
OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴OC=5cm．故答案为5．
考点：垂径定理；勾股定理．
12. 已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式 的值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 ，再把 变形为 ，
然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程 的一个根，∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体代入的运用是解题的关键．
13. 抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2-2ax-3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），
∴ ．
故答案是：2．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根
与系数的关系求得答案．
14. 某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，没有隔离，经过两轮感染后就会有81个人被感染．设1人
平均感染x人，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设1人平均感染x人，则第一轮传播中有x人被感染，第二轮传播中有 人被感染，根据
“如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染”，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人，则第一轮传播中有x人被感染，第二轮传播中有
人被感染，依题意得： ，
整理，可得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， 为平面内的动点，且满足 ，
为直线 上的动点，则线段 长的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点 轨迹为以 中点 为圆心， 长为直径的圆，求得
圆心 到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵ ，
∴动点 轨迹为：以 中点 为圆心， 长为直径的圆，
∵ ， ，
∴点M的坐标为： ，半径为1，
过点M作直线 垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：此时 取得最小值，
∵直线的解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是
正确解答本题的关键．
16. 某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一
笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产
线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为
0，第二笔订单的“相对等待时间”为 ．现有甲、乙、丙三笔订单管理员估测这三笔订单的生产时间
（单位：小时）依次为a，b，c，其中 ，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是
________．
【答案】先生产丙产品，再生产乙产品，最后生产甲产品
【解析】
【分析】按“相对等待时间”为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比，要想“相对等待
时间”之和最小，则生产线需要将生产时间最长的产品排在最后生产，生产时间最短的产品排在最前生产，这样订单的等待时间最短即可求解．
【详解】解：按按“相对等待时间”为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比，要想“相
对等待时间”之和最小，则生产线需要将生产时间最长的产品排在最后生产，生产时间最短的产品排在最
前生产，这样订单的等待时间最短，
由题意可知：甲、乙、丙三笔订单的生产时间从短到长为排列为：丙、乙、甲，
∴优先生产丙产品，其次生产乙产品，最后生产甲产品，此时三笔订单“相对等待时间”之和最小，
故答案为：先生产丙产品，再生产乙产品，最后生产甲产品．
【点睛】本题属于新定义题型，按照题意中的方法或要求来解题，读懂题意，明确题意中的“相对等待时
间”这个概念是解决本类题的关键．
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】解：原式=1+2-3+
=1+2-3+1
=1
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的
关键．
18. 已知：如图1，在 ABC 中，AB = AC，D为边AC上一点．
△求作：点P，使得点P 在射线BD上，且∠APB =∠ACB．
作法：如图2，
①以点A为圆心，AB 长为半径画弧，交BD的延长线于点E，
连接AE；
② ．
点P就是所求作的点．
（1）补全作法，步骤②可为 （填“a”或“b”）；
a：作∠BAE的平分线，交射线BD于点P
b：作∠CAE的平分线，交射线BD于点P
（2）根据（1）中的选择，在图2中使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（3）由①可知点B, C, E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，所以∠CBE = ∠CAE．
其依据是 ．
由②可得∠PAD = ∠ ，所以∠PAD =∠CBE．
又因为∠ADP =∠BDC，可证∠APB =∠ACB．
【答案】（1）b （2）见解析
（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； CAE．
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理即可判断；
（2）根据角平分线的尺规作图法作图；
（3）根据圆周角定理以及三角形内角和为定值即可作答．【小问1详解】
b；
【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
CAE．
【点睛】本题主要考查圆周角定理以及角平分线的尺规作图的知识，掌握圆周角定理是解答本题的关键．
19. 已知二次函数 ．
（1）求出该二次函数图象与x轴两个交点A、B的坐标（点A在点B左边），并画出图象；
（2）利用图象直接写出：当x取什么值时， ．
【答案】（1） ， ，图象见解析
（2）【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，求解即可，用描点法画出函数图象即可；
（2）用图象法求解即可．
【小问1详解】
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
列表如下：
x … 0 …
y … 3 0 0 3 …
描点，连线，函数图象如图，
【小问2详解】
解：由图象可得：当 时， ．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，画二次函数图象，二次函数与不等式关系，熟练掌握用描点法
画二次函数图象，用图象法求不等式解集是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结
论；
（2）根据根与系数的关系得到x+x＝m+2，则由方程的两个实数根互为相反数得到m+2＝0，然后解得m
1 2
的值即可．
【小问1详解】
证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2+4m+4﹣4m－4
＝m2≥0，
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：根据题意得x+x＝m+2，
1 2
∵方程的两个实数根互为相反数，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣2，
即m的值为﹣2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系及根的判别式，x，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
1 2
则x+x＝﹣ ，xx＝ ，根据方程的两个实数根互为相反数列式是解题的关键．
1 2 1 2
21. 如图， ，射线 于点 ， 是线段 上一点， 是射线
上一点，且满足 .
（1）若 ，求 的长；
（2）当 的长为何值时， 的长最大，并求出这个最大值.【答案】（1） ；（2）当 时， 的最大值为8.
【解析】
【分析】（1）先利用互余的关系求得 ，再证明 ，根据对应边成比例即可
求得答案；
（2）设 为 ，则 ，根据 ，求得 ，利用二次函数的最
值问题即可解决．
【详解】（1）如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）设 为 ，则 ，∵（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值为8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长
是本题解题的基本思路．
22. 在平面直角坐标系 中，点 为双曲线 上一点．
（1）求k的值，并画出反比例函数图象；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于 的值，直接写出m的取值
范围．
【答案】（1） ，图象见解析
（2）
【解析】【分析】（1）把 代入 求解即可得k值，然后 用描点法画出函数图象即可；
（2）已知函数 过点 ，把 代入反比例函数解析式，得出反比例函数过点
，再根据题意，结合图象，需当 时，函数 的图象在 的上方，因此当
时，函数 的值必须大于等于 ，代入计算即可求得结果．
【小问1详解】
解：把 代入 得
，
，
，
反比例函数图象如图所示：
【小问2详解】
解：已知函数 ，过点 ，
当 时， ，∴反比例函数过点 ，
∵当 时，函数 的值大于 的值，
∴当 时，函数 的图象在 的上方，如图所示，
∴当 时， ，
解得： ，
∴ 的取值范围为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的图象与性质，数形结合的数学思
想是解题的关键．
23. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最
多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方
块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．（1）若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？
（2）现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B），轮到小林点击，
若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明
理由．
【答案】（1）
（2）区域 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据概率公式计算出概率即可；
（2）根据概率公式分别计算出两个区域踩雷的概率，然后得出结论即可.
【小问1详解】
∵区域 内8个方块中埋藏着2颗地雷，
∴有6个方块没有地雷，
∴未踩中地雷的概率是： ；
【小问2详解】
由（1）知，区域 未踩中地雷的概率是 ，
∵区域 的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块，没有地雷，
∴区域 未踩中地雷 概率是： ，
的
∵ ，
∴从安全的角度出发，他应该选择区域 .【点睛】本题主要考查概率公式的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键.
的
24. 如图，AB是⊙O 直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝ ，求⊙O的半径．
【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所
以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而
∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得
OM＝ BM＝ r，然后根据勾股定理得到即（ r）2+r2＝（ ）2，再解方程即可得到⊙O的半径．
【详解】解：（1）连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF＝∠DOE．
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，
∴∠DOF＝2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD＝90°．
∴∠D+∠DOF＝90°，
∴∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，∴O为AB中点，∠AEB＝90°．
∵M为BE的中点，
∴OM∥AE，
∵∠A＝30°，
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵∠DOF＝2∠A＝60°，
∴∠MOF＝90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM＝ OB＝ r，
OM＝ BM＝ r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．
即（ r）2+r2＝（ ）2，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理及勾股定理的应用.
25. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．
小亮根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补
充完整：
（1）函数 中自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 3 4 5 6 …y … 0 m …
则m的值为 ；
（3）在平面直角坐标系 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的
图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数 的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；
②该函数的图象与过点 且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线
越来越靠近而永不相交．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将 代入函数解析式中求出 值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
【小问1详解】
由题意得： ，解得： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
当 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
图象如图所示：
【小问4详解】
观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ．
故答案为 ；
②该函数的图象与过点 且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线
越来越靠近而永不相交．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线
画出函数图象是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若点（－1， ），（a， ），（1， ）在抛物线上，且 ，求a的取值范围．【答案】（1）直线
（2） 或
【解析】
【分析】（1）直接根据函数表达式代入对称轴求解即可；
（2）分三种情况进行讨论分析：①当 时，②当 时，③当 时，根据二次函数的基本
性质及图象求解即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵抛物线表达式为 ，
∴对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：由题意可知抛物线开口向上．
①当 时，
由 ，得 ．
解得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
∴ ．
②当 时，
由 ，得 ．解得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
∴ ．
③当 时，
由 ，得 ．
解得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
无解．
综上， 或 ．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及数形结合思想，理解题意，对a的值进行分类讨论是解题关
键．
27. 在 ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是
射线C△B′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．（1）如图1，当点E与点C重合时，AD 与 的位置关系是______，若 ，则CD的长为______；
（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）AD⊥CB′； ；
（2）①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明
ADC≌ AFC(HL)，即可求解；
△ △
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°- ∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，
推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明 ABG≌ ACD(SAS)， GAE≌ DAE (SAS)，即可求解．
【小问1详解】 △ △ △ △
解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，∵AB=AC，
∴CF=BF= BC= ，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴ ADC≌ AFC(HL)，
△ △
∴CD=CF= ，
故答案为：AD⊥CB′； ；
【小问2详解】
解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°- ∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°- ∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，在 ABG和 ACD中， ，
△ △
∴ ABG≌ ACD(SAS)，
∴△AG=AD，△∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在 GAE和 DAE中， ，
△ △
∴ GAE≌ DAE (SAS)，
∴△GE=DE，△
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是
解题的关键．
28. 对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，
则称点P＇为点P关于⊙G的旋转点．下图为点P及其关于⊙G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标
系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，－2）．（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是 ；
（2）若在直线 上存在点P关于⊙O的旋转点，求 的取值范围；
（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标
P
的取值范围．
＇
【答案】（1）点B，点C；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；
（2）使直线 分别与圆相切时，求出 的取值范围；
（3）考虑全两种情况即可得出取值范围．
【详解】（1）点B，点C；
（2）由题意可知，点P关于⊙O的旋转点形成的图形为以点G（0，2）为圆心，以2个单位长度为半径的
⊙G．
当直线 与⊙G相切时：
如图1，求得： ，
如图2，求得： ．
因为直线 上存在点P关于⊙O的旋转点，所以， ．
图1图2
（3） 当⊙D的圆心在（-1，0）（1，0）时， 取最小和最大值，
P＇的横坐标 的取值范围 ．
P＇
【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求
解．
