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五年级数学·上 新课标[人]
第 6 单元 多边形的面积
本单元的主要教学内容包括:平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图
形的面积和方格图中不规则的图形的面积计算以及各图形面积的计算公式的实际应用。
多边形的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基
础上进行学习的。
教材以长方形面积的计算公式为基础,通过试验和观察,把图形进行平移、旋转等,先推
导出平行四边形面积的计算公式,然后推导出三角形和梯形的面积计算公式。在此基础上,
再完成组合图形的面积计算教学。
组合图形是这些基本图形的综合运用,学生在计算组合图形的面积时,要把一个组合图
形分解成已学过的平面图形,可以进一步认识所学的平面图形的特征,并巩固所学的面积公
式。
而不规则的图形由于无法用面积公式来推导计算出来,就要借助方格图大致地衡量其面
积。这样,有利于促进学习和迁移,便于学生掌握。
教学本单元的关键是充分运用直观估算,通过试验、操作、拼摆、割补等,清楚地理解
各种图形面积的计算公式的来源。在此基础上进行分析、概括,推导出面积计算公式,从而
进一步发展学生的思维能力。另外,通过操作,渗透旋转和平移的数学思想,一方面使学生初
步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。
通过这些内容的学习,一方面让学生运用转化的思想方法推导出面积计算公式,积累数
学活动经验。另一方面,在自主探索组合图形的面积等活动过程中发展空间观念。同时,这
些也是进一步学习圆面积和立体图形表面积的基础。
本单元教材编排的特点是:根据图形间的内在联系安排教学顺序,促进教与学的迁移;在
动手操作、合作学习中,经历自主探索的全过程;通过估计不规则图形的面积,培养学生的估
算意识和估算策略。
本单元在初步认识平面图形的基础上,利用方格纸和割补、拼接等方法,探索并掌握平
行四边形、三角形和梯形的面积计算公式;会计算平行四边形、三角形和梯形的面积;认识
简单的组合图形,会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积;能解决相应的实际问题,发展空间观念和推理能力。
1.让学生通过动手操作、试验、观察等方法,探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的
面积计算公式。
2.让学生会用面积公式计算平行四边形、三角形和梯形的面积,并能解决生活中一些简
单的实际问题。
3.让学生认识简单的组合图形,会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它们的
面积。
4.让学生会用方格纸估计不规则图形的面积。
使学生经历计算公式的推导过程,进一步发散学生的思维。
应用面积计算公式,使学生运用转化思想解决实际问题。
加强知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和创新能力,发展学
生的空间观念。
【重点】
1.探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。
2.掌握组合图形的面积计算方法。
3.估算不规则图形的面积。
【难点】
通过试验、操作、拼摆、割补等方法,探索平行四边形、三角形和梯形以及组合图形、
不规则图形的面积计算方法。1.重视学生动手操作与试验的过程,让学生经历探索面积计算公式的全过程
本单元多边形面积计算公式的推导都是建立在学生的动手操作的活动之上的,所以操作
是本单元的重要环节。老师的主要任务是做好引导。切实让学生去操作,而不要包办代替,
这样才能让学生在思考、操作、交流、归纳的基础上经历推导图形的面积计算公式的全过
程。
2.在教学中渗透“转化”的数学思想
在本单元中,转化是数学学习和探究的一种重要思想方法,在这一单元的学习中起着重
要的作用。在几种图形的面积计算公式的推导过程中,都是将所要研究的图形转化成已经学
会计算面积的图形;组合图形的面积计算也是先将其分割成已经会计算面积的图形,再计算
其面积的。教学中,要突出“将未知转化为已知”的基本转化思想,让学生操作,将所研究的
图形转化为已经会计算面积的图形,探究所研究的图形与转化后的图形之间的联系,从而找
到所求图形面积的计算方法。
3.解决实际问题
本单元运用转化的方法推导面积计算公式和计算多边形的面积,可以有多种途径和方法。
教学中不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上,要尊重学生的想法,鼓励
学生从不同的途径和角度去思考和解决组合图形的面积计算问题。另外,在解决估计不规则
图形的面积过程中,要让学生根据图形的形状,灵活运用各种策略与方法估计出这个图形的
面积,以提高学生解决问题的意识和能力。1 平行四边形的面积
教材第86~90页平行四边形的面积、例1及相关内容。
本节课的内容是教材第86页的主题图、平行四边形面积公式的推导过程以及例1。主
题图为本单元的学习提供现实的素材,图中有要学习的各种图形。学生通过观察主题图去发
现认识的图形,巩固和加深对已学过图形的特征的认识,同时可以把学习的内容与学生生活
结合在一起,使学生体会到自己生活的空间就是一个图形的世界。
对于平行四边形面积的计算公式的推导,教材分三个步骤展开教学,即提出问题——探
索问题——提供策略。通过数方格,将平行四边形转化成学过的图形来计算面积。
例1是利用平行四边形面积的计算公式来计算主题图中花坛的面积的。
1.使学生理解并掌握平行四边形面积的计算公式并能解决实际问题。
2.通过数、剪、摆等活动,让学生主动探究平行四边形面积的计算公式。
3.通过操作,使学生经历计算公式的推导过程,进一步发展学生的思维。
4.应用面积计算公式,使学生运用转化思想解决实际问题,发展学生的空间观念。
5.通过演示和操作,使学生感悟数学知识的内在联系,激发学习兴趣。
【重点】
掌握平行四边形的面积公式的推导过程和平行四边形的面积的计算。
【难点】
理解平行四边形面积的计算公式的推导过程。【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 画有长方形和平行四边形的方格纸、剪刀、直尺、平行四边形纸片、
练习本。
方法一
师:今天我们来学习多边形的面积,请大家看教材第86页的主题图。
(老师板书:多边形的面积)
1.引导学生观察情境图。
师:你发现了哪些图形?你会计算它们的面积吗?
预设 生1:图上有正方形、长方形、平行四边形、三角形和梯形。
生2:会计算长方形和正方形的面积,不会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。
2.导入新课,板书课题。
师:谁能说出长方形和正方形的面积计算公式?
预设 生:长方形的面积=长×宽,正方形的面积=边长×边长。
师:说得很对!在这个单元里,我们将研究平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算。
师:你还能说出在生活中的哪些地方见过平行四边形吗?学生根据自己的生活经验回答。
师:今天我们先来研究平行四边形面积的计算方法。
(老师板书课题:平行四边形的面积)
[设计意图] 激活学生已有的知识和生活经验,便于帮助学生建立清晰的平行四边形的
表象,为下面推导面积计算公式做铺垫。
方法二
(老师一边用PPT出示情境图,一边说)
一天,兔妈妈让乖乖兔和懒惰兔分别到两块地里收萝卜,一块地是长方形,长是3 m,宽
是2 m;另一块地是平行四边形,底是2 m,高是2 m。懒惰兔想:我要挑一块面积小些的地,
于是抢先对妈妈说:“我挑长方形的那一块。” 乖乖兔听了,笑着说:“懒惰兔,你这下可想
错了!”
师:懒惰兔怎么也想不明白,同学们想知道为什么吗?你们觉得哪块地大呢?
预设 生:长方形的面积会计算,但是不会计算平行四边形的面积。
师:今天我们就来研究平行四边形面积的计算方法。
(老师板书课题:平行四边形的面积)
[设计意图] 用学生喜闻乐见的童话形式导出新课,可以激发学生的学习热情。
一、用数方格的方法求平行四边形的面积。
1.PPT出示教材第87页情境图。
(1)学生认真观察情境图,回答问题。
师:图中的两个花坛是什么形状?这两个花坛哪一个大呢?
预设 生:只会算长方形的面积。师:想一想,我们可以用什么方法来计算平行四边形的面积呢?
根据已有经验,学生会想到用数方格的方式得出平行四边形的面积。
(2)学生拿出方格纸,用数方格的方法得出长方形和平行四边形的面积。
老师用PPT出示放大了的方格图,对学生进行数方格的方法指导:图中每个方格代表1
平方米,不满1格的按半格计算,两个半格可以拼成1整格。老师指导数法后,学生独立数。
(3)老师用PPT出示教材第87页的表格,学生数完,老师指名回答:你是怎样数的方格?
老师根据学生回答填写表格。
底 高 面积
平行四边形
长 宽 面积
长方形
(4)引导学生观察、思考:平行四边形的底与长方形的长有什么关系?平行四边形的高与
长方形的宽有什么关系?
(学生在小组里进行讨论,老师指名回答)
预设 生:平行四边形的底与长方形的长相等,平行四边形的高与长方形的宽相等。
师:根据我们的发现,你还能猜想到什么?
预设 生:平行四边形的面积可能是用底乘高来求的。
2.探索平行四边形面积的计算公式。
(1)指出数方格求面积的方法的缺点。
预设 生1:数方格的方法比较麻烦。
生2:不满1格的都按半格算,两个半格拼成1个整格,不是很准确。
生3:如果是一个很大的图形,就不可能用这种方法求面积了。
(2)提出问题:不数方格,能不能计算平行四边形的面积呢?
老师启发:能不能把平行四边形转化成学过的图形来计算呢?想一想,该怎样转化呢?(学
生思考,小组讨论)
二、用割补法求平行四边形的面积。
1.老师出示教材第88页情境图。2.老师引导学生看图,归纳操作方法与步骤。
(1)先沿高剪开,得到一个三角形和一个梯形;
(2)把三角形向右平移,得到一个长方形。
3.学生按照上面的方法操作,把自己剪好拼成的长方形摆在桌子上,互相检查、评价。
4.观察、分析,找出原来的平行四边形和转化后的长方形之间的等量关系。
(老师出示PPT)观察原来的平行四边形和转化后的长方形,你发现它们之间有哪些等量
关系?
学生思考,讨论后在书上填写。老师指名回答,全班评讲,集体订正。
(老师根据学生回答进行板书)
长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
师:注意底和高一定要对应。
[设计意图] 平行四边形的底与高的对应性是本节课的重难点,也是后续图形面积计算
学习的重点,在学生操作、观察、交流中渗透平行四边形底与高的对应性的重要性,在学习
的重点处重抹一笔,使学生对“高”的认知更加丰富与完善。
5.自学教材第88页的内容,再汇报自学情况。
如果用S表示平行四边形的面积,用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,
那么平行四边形面积的计算公式可以写成:
S=ah(板书)
三、平行四边形面积的计算公式的应用。
1.PPT出示教材第88页例1。
平行四边形花坛的底是6 m,高是4 m,它的面积是多少?2.学生读题,理解题意。
3.一生板演,其他学生独立解答。
预设 生:
①6×4=24(米)
②S=ah ③ S=ah
=6×4 =6×4
=24 =24(平方米)
全班评讲,指出①的单位名称写错了,计算面积应该用面积单位;②面积单位漏掉了;③
书写正确、规范。
4.归纳解题步骤。
(1)写出计算平行四边形面积的字母公式;
(2)把题中的条件代入字母公式中;
(3)计算出结果并验算,写上单位名称。
1.完成教材第89页练习十九第1题。
学生读题,理解题意,老师指名板演,其他学生独立解答,全班评讲、订正。
预设 生:S=ah
=5×2.5
=12.5(平方米)
2.完成教材第89页练习十九第2题。
学生看图,说出每个图形中的底和高。
预设 生1:图一的底是4 cm,高是3 cm。
生2:图二的底是5.2 cm,高是3.6 cm。
生3:图三的底是2 cm,高是2.4 cm或底是3 cm,高是1.6 cm。
然后独立解答,老师选择学生作业进行展示,集体评讲、订正。
【 参 考 答 案 】 1.2.5×5=12.5(m2) 2.4×3=12(cm2) 5.2×3.6=18.72(cm2)
2×2.4=4.8(cm2)
通过这节课的学习,你们学到了哪些知识呢?
预设 生1:学习了求平行四边形的面积。生2:知道了平行四边形面积的计算公式是底乘高。
生3:平行四边形面积的计算公式用字母表示是:S=ah。
……
老师根据学生回答进行小结:长方形的面积=长×宽;平行四边形的面积=底×高;当长方
形的长与平行四边形的底相等,长方形的宽与平行四边形的高相等时,长方形和平行四边形
的面积相等。
作业1
教材第89页练习十九第3,5题,第90页第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算平行四边形的面积,把正确的算式圈出来。
A.6×5 A.5×4.5
B.10×6 B.4×4.5
C.10×5 C.5×4
2.(重点题)求出下列平行四边形的面积。
【提升培优】
3.(易错题)判断。(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)面积相等的两个平行四边形,形状一定相同。 ( )
(2)平行四边形的面积只由底的长短决定。 ( )(3)用四根同样长的小棒摆成的平行四边形面积均相等。 ( )
(4)平行四边形 的面积是1.2 cm2。 ( )
4.(情景题)2012年伦敦奥运会期间,伦敦奥运会工作人员在主体育馆“伦敦碗”附近临时
设立了一些底是2.6米,高是4.2米的平行四边形停车位,如果建1平方米停车位要花费15
英镑,那么建每个停车位需要支出多少英镑?
【思维创新】
5.(开放题)已知E,F分别是平行四边形ABCD左右两边的中点,连接AF,CE。如果平行四边形
ABCD的面积是36 cm2,求平行四边形AECF的面积。
【参考答案】
作业1:3.798 1050 161.2 210.7 93.6 0.36
5.S=ah=250×84=21000(平方米) 21000平方米=2.1公顷 14.7÷2.1=7(吨) 6.相等。
2.8×1.5=4.2(cm2)
作业2:1.(1)C (2)B 2.15×8.8=132(cm2) 4×3.5=14(dm2) 26×20=520(m2) 3.(1)✕
(2)✕ (3)✕ (4)✕ 4.2.6×4.2×15=163.8(英镑) 5.提示:把三角形AFD和三角形
BCE拼在一起恰好是平行四边形ABCD面积的一半。由此可得出平行四边形AECF的面积也是
平行四边形ABCD面积的一半。平行四边形AECF的面积为:36÷2=18(cm2)。
多边形的面积
平行四边形的面积
长方形的面积=长×宽 例1 S=ah
↓ ↓ =6×4
平行四边形的面积=底×高 =24(平方米)
S=ah本节课,采用小组合作、自主探究的学习方法,让学生观察、猜测,再通过动手操作,经
历平行四边形的面积计算公式的推导的全过程,使学生明确了平行四边形面积的计算公式是
先通过剪、移、拼得到长方形,再根据长方形面积的计算公式推导出的。整个教学过程由于
思路清晰,重点突出,且利用了多媒体辅助教学,突破难点,收到了良好的效果。
由于在学习新知之前对平行四边形的底和高没有进行充分的复习,因此在将平行四边形
转化成长方形的过程中,有些学生出现了找不到高的情况,影响了操作,耽误了一些时间。
再教这一内容时,课前要让学生通过复习,对平行四边形的特征以及它的底和高有所了
解,加强新旧知识的衔接,使学生更好地掌握新知。
【练习十九·89页】
1.2.5×5=12.5(m2) 2.4×3=12(cm2) 5.2×3.6=18.72(cm2) 2×2.4=4.8(cm2) 3.798
1050 161.2 210.7 93.6 0.36 4. 先 测 量 , 再 计 算 计 算 略
5.S=ah=250×84=21000(平方米) 21000平方米=2.1公顷 14.7÷2.1=7(吨) 6.相等。
2.8×1.5=4.2(cm2) 7.32÷4=8(cm) 8×8=64(cm2) 8.(18+15)×2=66(cm)
18×15=270(cm2) 周长不变,面积变小 9.28÷7=4(m) 10.6×4=24(cm2) 24÷2=12(cm2)
11.分析:因为A,B是大平行四边形上、下两边的中点,所以小平行四边形的底是大平行四边
形底的一半,它们的高相等,因此,小平行四边形的面积是大平行四边形面积的一半。解
答:48÷2=24(cm2)
如图所示,已知正方形的周长为36 cm,求平行四边形的面积。[名师点拨] 要求平行四边形的面积,需要知道它的底和高,通过观察,我们发现平行四
边形的底和高都与正方形的边长相等。正方形的周长是36 cm,所以很容易求出它的边长。
[解答] 36÷4=9(cm),9×9=81(cm2)。
答:平行四边形的面积是81 cm2。
【知识拓展】 通过观察,我们能够发现平行四边形的底和高都与正方形的边长相等,
我们算出的平行四边形的面积也是正方形的面积。
面 积
一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来,想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉成一条长长的直线,假设篱笆有无限长,认为围起半个地球足够大了。
数学家好好嘲笑了他们一番。
他用很少的篱笆把自己围起来,然后说:“我现在是在外面。”
感言:故事幽默有趣,工程师循规蹈矩,物理学家想象丰富,数学家别出心裁。一个人如
果想要创新,就要不断地调整自己的思维方法和思维角度。
生活中的平行四边形
生活中我们常常可以看见路或桥衔接的地方,往往铺着一大片平行四边形的地砖。这样
可以引起来往车辆的驾驶员的注意,还可以增大摩擦力 ,你知道用平行四边形的地砖平铺地
面的原因吗?这是因为平行四边形相邻两个角互为补角,所以用它们铺的面可以既无隙缝,又
无重叠;又因为平行四边形是对边相等,所以铺成后缝线整齐。
有一种衣架,它是用同样长的木条构成的几个相连的菱形(菱形是特殊的平行四边形)。
每个顶点处都有一个挂钩,不仅美观,而且实用。这种衣架是根据平行四边形的不稳定性设
计的,它的好处是:利用不稳定性,可以根据需要改变挂钩间的距离;利用平行四边形对边平
行且相等的原理,可以使平行木条完全靠拢,这样衣架收起来占地很少。
2 三角形的面积教材第91页三角形的面积、例2 及相关内容。
本节课的内容是教材第91页三角形面积的计算公式的推导及例2的讲解。三角形面积
的计算公式的推导,一方面以实际问题“怎样计算红领巾的面积”为载体,以小组合作学习
的形式展现学生探索交流的过程,呈现学生操作活动的多样性。另一方面,根据平行四边形
面积的计算公式推导的方法提出解决问题的思路:把三角形也转化成学过的图形。学生通过
动手操作和试验,发现三角形与平行四边形的关系,从而推导出三角形面积计算公式。例2
是应用三角形面积的计算公式解决实际问题。
1.使学生通过动手操作,理解并掌握三角形面积的计算公式。
2.使学生能运用三角形面积的计算公式计算三角形的面积。
3.使学生经历计算公式的推导过程,培养学生的分析推理能力。
4.引导学生运用转化思想探索知识的变化规律,培养学生分析问题和解决问题的能力。
【重点】
理解并掌握三角形面积的计算公式,会应用公式解决实际问题。
【难点】
理解三角形面积的计算公式的推导过程。
【教师准备】 PPT课件、卡纸。
【学生准备】 剪刀和用卡纸剪好的正方形、长方形、平行四边形各一个。用卡纸剪
好相同的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个。
方法一1.回顾有关平行四边形的知识。
师:还记得平行四边形面积的计算公式吗?
预设 生:记得,平行四边形的面积=底×高。
(老师用PPT课件出示)
(1)平行四边形的底是5厘米,高3厘米,平行四边形的面积是多少?
(2)平行四边形面积的计算公式是怎样得来的?
学生思考后回答。
预设 生1:这个平行四边形的面积是15平方厘米。
生2:平行四边形面积的计算公式是通过剪、拼,转化成长方形,根据长方形面积的计算
公式推导出来的。
2.回顾有关三角形的知识。
师:三角形按角分可以分成哪几类?
学生思考后回答。
预设 生:可以分成直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
师:你们会计算三角形的面积吗?今天我们就一起来研究三角形的面积是怎样计算的。
(老师板书课题:三角形的面积)
[设计意图] 回顾旧知为学习新知做好准备,提出问题“你们会计算三角形的面积
吗?”激发学生的学习欲望,顺利地进入新知的学习。
方法二
1.折一折。
师:上节课我们学习了平行四边形的面积,你还记得平行四边形面积的计算公式吗?
预设 生:记得,平行四边形的面积=底×高。
(老师根据学生回答进行板书)
师:请从学具中拿出一个长方形和一个正方形,想一想,怎样把每个图形折一次,使折痕
两边的形状、大小完全相同?折一折,并画出折痕。
(1)学生思考,在小组内讨论、交流有几种折法,再开始折,并画出折痕。
(2)小组派代表上台汇报操作结果。
(3)老师根据学生汇报情况有选择地用展台展示出不同的折法。
2.观察发现。
师:(指着折成两个直角三角形的长方形)这张纸被折成了两个形状、大小完全一样的图
形,折成的是什么图形?
预设 生:直角三角形。师:如果这个长方形的面积是20平方厘米,那么这个直角三角形的面积是多少?
预设 生:是10平方厘米。
师:(指着折成两个直角三角形的正方形)如果正方形的面积是24平方厘米,那么这个直
角三角形的面积是多少?
预设 生:是12平方厘米。
师:如果这两个三角形不是直角三角形,我们又该怎样计算它的面积呢?我们今天就一起
来研究三角形面积的计算方法。
(老师板书课题:三角形的面积)
[设计意图] 让学生动手折一折,通过折出的直角三角形与长方形(或正方形)的关系,
可以求出直角三角形的面积,这样做学生很容易接受,当老师提出“不是直角三角形,面积又
该怎样计算?”的问题时,引起学生的思考,自然地进入新课的学习。
方法三
1.师:同学们,在学习之前我们先来做一个小游戏。
学生拿出老师课前发的三角形卡纸片(这是两个完全一样的三角形)。
师:请你们用这两张一模一样的三角形卡片拼出一个图形,看看你能拼成什么图形?
(学生根据老师要求进行操作。老师巡视)
2.学生上台展示结果。
3.老师有选择地将学生拼成的图形用多媒体展台进行展示。
4.师(指着展台上的图形):同学们,这两张一模一样的三角形卡片拼成了什么图形?
预设 生:这两个三角形拼成了一个平行四边形。
师:你们还记得平行四边形的面积是怎样计算的吗?
预设 生:记得,平行四边形的面积=底×高。
师:非常正确!这两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形,如果知道了平行四边形
的面积,你能求出这个三角形的面积吗?
预设 生:能。
师:为什么呢?
预设 生:因为这个三角形的面积是这个平行四边形面积的一半。
师:这节课我们就来研究三角形面积的计算方法,看是不是与这位同学猜想的一样。
(老师板书课题:三角形的面积)
[设计意图] 首先通过小游戏激发学生兴趣,让学生通过操作,感悟三角形与平行四边
形之间的联系,为新知的学习做好铺垫,在交流中引发问题,自然导入新课。一、三角形面积的计算公式的推导(PPT出示教材第91页情境图)。
1.用两个完全一样的钝角三角形拼一拼。
师:同学们每天都要戴红领巾,你知道怎样计算红领巾的面积吗?
学生看图,想办法把三角形转化成平行四边形。
师:想一想,红领巾是一个什么三角形?
预设 生:钝角三角形。
师:用两个钝角三角形拼一拼,看可以拼出什么图形。
学生操作,老师巡视,对学生进行指导。
学生在小组内展示自己拼出的图形,老师引导学生归纳:
两个完全一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形。
(老师根据学生回答进行板书:平行四边形)
2.用两个完全相同的直角三角形拼一拼。
学生操作,并把自己拼好的图形在小组里进行交流。
老师归纳:用两个完全一样的三角形可以拼成一个长方形、正方形、平行四边形。
(老师根据学生回答进行板书:长方形、正方形、平行四边形)
3.用两个完全相同的锐角三角形拼一拼。
师:猜一猜,如果是两个完全一样的锐角三角形会拼成一个什么图形呢?
预设 生:平行四边形。
师:同学们拼一拼,看他的猜想是否正确。学生操作,并把自己拼好的图形在小组里进行交流。
老师归纳:用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
(老师根据学生回答进行板书:平行四边形)
4.归纳总结。
师:根据同学们拼的情况可知用两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
二、探究平行四边形与三角形底和高之间的关系。
1.老师用PPT出示下图。
观察拼成的平行四边形和原来的三角形,你发现了什么?
学生观察、思考,在小组内交流、汇报。
预设 生1:平行四边形的底等于三角形的底,平行四边形的高等于三角形的高。
生2:三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
2.自学教材第91页下面的内容,写出三角形面积的计算公式。
学生看书,在书上写出公式,小组交流,老师指名回答。
预设 生1:三角形的面积=底×高÷2。
生2:用S表示面积,用a表示三角形的底,用h表示三角形的高,三角形面积的计算公式
用字母表示为S=ah÷2。
师:公式中为什么除以2 ?
预设 生:三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
3.运用公式,解决问题。
师:经过试验、探究,我们已经推导出了三角形面积的计算公式,现在我们可以求出红领
巾的面积了吗?
预设 生:不能。
师:不能?为什么?
预设 生:我们还不知道红领巾的底和高。
师:是的,要求三角形的面积,必须知道这个三角形的底和高。
三、用PPT出示教材第92页例2。
红领巾的底是100 cm,高33 cm,它的面积是多少平方厘米?1.学生独立解答。然后翻开教材第92页,与教材对照检查,自己规范书写格式,更正错
误。
2.讨论:计算三角形的面积要注意什么?
①要看清条件,找到底和与底相对应的高;
②计算时不要忘记除以2;
③计算出的结果应写上面积单位。
1.教材第92页“做一做”第1题。
学生看书后口头回答。并把结果写在书上。
2.教材第92页“做一做”第2题。
学生看图,找出需要的条件,然后独立解答,一生板演,全班评讲,集体订正。
3.教材第92页“做一做”第3题。
学生读题,理解题意,然后算出结果。老师指名回答。
(老师板书,学生根据板书进行订正)
S=ah÷2
=5.6×4÷2
=11.2(平方厘米)
4.教材第93页练习二十第1题。
(1)指名回答每个标识牌所表示的意义。
(2)根据三角形面积的计算公式,估算一块标识牌的面积。
预设 生:第一块表示:注意危险;第二块表示:慢行;第三块表示:注意行人;第四块表示:
向右急转弯。
(如果学生答不出来,那么由老师告诉学生)
生2:四块标识牌的面积相等,大约是36平方分米。
【参考答案】 1.12÷2=6(cm2) 2.12.5×7.2÷2=45(cm2) 3.5.6×4÷2=11.2(cm2)
4.第一块表示:注意危险;第二块表示:慢行;第三块表示:注意行人;第四块表示:向右急转弯。
四块标识牌的面积相等,大约是36平方分米。
师:面对求红领巾的面积也就是求三角形的面积,我们通过拼摆的方法,利用学过的平行四边形面积的计算公式的知识,推导出了三角形面积的计算公式。同学们在学习中都表现得
很棒!下面请大家谈一谈,你在这节课上学到了什么?
预设 生:学到了三角形面积的计算公式。
师:在计算三角形的面积时应该注意一些什么问题?
预设 生:找准条件,注意要除以2,最后要写上面积单位。
作业1
教材第93页练习二十第4,6,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)右面平行四边形的面积是12 cm2,三角形ABC的面积是( )cm2。
2.(易错题)判断。(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)三角形的底越长,它的面积越大。( )
(2)两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。 ( )
(3)面积相等的三角形,周长可能相等。 ( )
3.(重点题)计算下面图形的面积。
(1)
(2)
(3)
【提升培优】
4.(情景题)红领巾的一边长是100厘米,这条边所对应的高是33厘米,做100条这样的红领巾至少需要多少平方分米的红布?
5.(难点题)一块三角形麦田,底是100 m,高是40 m,共收小麦1000千克,平均每平方米收小
麦多少千克?
【思维创新】
6.(探究题)求阴影部分的面积。
【参考答案】
作业1:4.9.5×16÷2×12=912(元) 6.14 14.88 200 60.48 200 982.8 7.用算术
方法解:176×2÷22=16(m) 用方程解:设高为x m。22×x÷2=176 x=16(这种逆向思维的
题用方程解比较好)
作 业 2:1.6 2.(1)✕ (2)✕ (3)√ 3.(1)5.5×2.2÷2=6.05(cm2)
(2)25×10÷2=125(dm2) (3)14×15÷2=105(cm2) 4.100×33÷2=1650(平方厘米) 1650
平方厘米=16.5 平方分米 16.5×100=1650(平方分米) 5.100×40÷2=2000(平方米)
1000÷2000=0.5( 千 克 / 平 方 米 ) 6.28÷4=7( 米 ) 7×(7-2)÷2=17.5( 平 方 米 )
7×7=49(平方米) 49-17.5=31.5(平方米)
三角形的面积
平行四边形的面积=底×高 三角形的面积=底×高÷2,即S=ah÷2
S=ah÷2=5.6×4÷2=11.2(平方厘米)这节课的内容是在学生学习了平行四边形面积的计算公式的基础上进行教学的,主要是
引导学生通过三角形面积的计算公式的推导去理解和掌握三角形面积的计算公式。在教学
中我注意让学生动手操作,通过拼一拼,摆一摆,让学生经历推导的全过程 。在这节课的教
学中,探讨“三角形的面积怎样求?”时,让学生先在小组内讨论,使每个学生都有发表意见
的机会,然后全班集中汇报、交流,老师帮助学生进行归纳、小结。
回顾整个教学过程,发现自己教学中存在操之过急的毛病,学生回答问题时,学生一时答
不上来,我就会把结果说出来,没有留给学生足够的思考时间。
充分发挥学生的主体作用,给学生充分的思考时间。
【做一做·92页】
1.12÷2=6(cm2) 2.12.5×7.2÷2=45(cm2) 3.5.6×4÷2=11.2(cm2)
【练习二十·93页】
1.9×7.8÷2=35.1(dm2) 2.3×4÷2=6(cm2) 4×0.9÷2=1.8(dm2) 2.5×2.8÷2=3.5(m2)
3.先测量,再计算 计算略 4.9.5×16÷2×12=912(元) 5.12.5×7.8÷2=48.75(dm2)
48.75 dm2=0.4875 m2 0.4875×68=33.15(元) 6.14 14.88 200 60.48 200 982.8
7.176×2÷22=16(m) 8.三角形ABC的面积=三角形DBC的面积 三角形ABE的面积=三角
形DEC的面积 三角形BAD的面积=三角形CAD的面积 画三角形略 9.270×2÷18=30(m)
270×2÷22.5=24(m) (24+30)×2=108(m) 10.48÷2÷2=12(m2)
如下图,一个三角形的底是5米,如果底延长1米,那么面积就增加1.5平方米。
原来三角形的面积是多少平方米?[名师点拨] 观察图形,阴影部分的面积就是增加的面积1.5平方米,阴影部分是三角
形,知道了三角形的面积和底就能求出高,根据h=S×2÷a求出的高也正是原来三角形的高,
这是解这道题的关键。
[解答] 1.5×2÷1=3(米),
5×3÷2=7.5(平方米)。
答:原来三角形的面积是7.5平方米。
【知识拓展】 通过观察图形,我们能看出增加的阴影部分的三角形和原来的三角形等
高。因为S =1×h÷2,S =5×h÷2,所以S =S ×5=1.5×5=7.5(平方米)。
阴 原 原 阴
“拿破仑分地”问题
法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。他从一名军官成为一国之君,东征西讨,战功赫
赫。他对数学也有着浓厚的兴趣,他喜欢思考、讨论数学问题。在圣赫勒拿岛上,拿破仑曾
与自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。
一天,他给卡萨斯出了一道智力题,那是他当年随军远征时见过的一块形状奇异的土地
(如右图所示)。他曾许下诺言:谁能将它分成形状相同的两块,这块地就赏给谁。然而,当时
没有人能做到。卡萨斯也考虑了好几个晚上,仍未解出此题。当拿破仑把答案告诉他后,他
看到题目的解法竟然如此简单而后悔不已。
勾股定理
勾股定理是平面几何中一个基本而重要的定理。
勾股定理说明,平面上的直角三角形两条直角边(古称为“勾”“股”)边长的平方和等
于斜边(古称“弦”)边长的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长
的平方,则它是直角三角形。也就是说,设直角三角形两条直角边分别为a和b,斜边为c,那
么a2+b2=c2。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,传统上认为是由古希腊的毕达哥
拉斯所证明。在中国《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为“商高定理”;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细
注释,又给出了一个证明。
3 梯形的面积
教材第95页梯形的面积、 例3及相关内容。
本节课的内容是教材第95页梯形的面积、例3。梯形面积计算公式的推导,教材的导
入还是依据问题解决的需要,通过求形状是梯形的小轿车车窗玻璃面积这样一个生活实例引
入,推导过程依旧是通过学生动手试验进行探索。由于有平行四边形和三角形面积公式的推
导经历,梯形的面积公式的推导将不再是难点,但是教学的要求有所提高。例3是梯形面积
计算公式的应用,计算形状是梯形的三峡大坝横截面的面积。通过观察主题图,既让学生感
受三峡大坝的宏伟壮观,又进一步掌握梯形的面积计算公式。
1.在平行四边形、三角形的面积计算公式推导的基础上,引导学生采用合作探究的形式,
概括出梯形面积计算公式。
2.正确、较熟练地运用公式计算梯形面积,并能解决一些生活中的实际问题,提高学生
发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.通过自主探究,小组合作,在操作、观察、比较中,培养学生的想象力、思考力,进一
步发展学生的空间观念。
4.渗透数学迁移、转化思想,让学生感受数学与生活的紧密联系,提高学生学习数学的
兴趣。
【重点】
理解并掌握梯形的面积公式,会计算梯形的面积。
【难点】
自主探究梯形的面积公式。【教师准备】 PPT课件,完全一样的梯形若干个。
【学生准备】 剪刀、两个完全一样的梯形纸片(如等腰梯形、直角梯形 )、练习本。
方法一
1.游戏活动。
师:今天我们来玩一个游戏,用两个梯形拼图形,拼完后给自己拼的图形取一个名字。
学生拿出准备好的两个梯形图片,让学生自由发挥,拼出各种图形。
2.学生汇报操作结果。
学生汇报自己的操作过程并展示自己拼出的图形。
3.老师选择有代表性的图片,用展台展示。
4.师:这两个完全相同的梯形拼成了一个什么样的图形?
预设 生:拼成了一个平行四边形。
师:你们会求平行四边形的面积吗?
预设 生:会!
师:想一想,两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形,那么你们会求梯形的面积吗?
预设 生:梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半,求出平行四边形的面积就可以得
出梯形的面积……
师:同学们真会动脑筋。今天我们就来学习梯形的面积。
(老师板书课题:梯形的面积)
[设计意图] 通过拼图形,培养学生的动手能力,也让学生初步感受平行四边形与梯形
之间的联系,为推导梯形的面积计算公式做铺垫。
方法二
1.老师用PPT出示下列问题,学生通过回答复习回顾学过的知识。
(1)平行四边形的面积计算公式是怎样的?
(2)三角形的面积计算公式是怎样的?
(3)这些面积公式是怎样转化推导出来的?三角形的面积计算公式里为什么还要除以2?
学生读题,思考后回答问题。
预设 生1:平行四边形的面积计算公式是底×高。生2:三角形的面积计算公式是底×高÷2。
生3:平行四边形的面积是通过剪、拼,把平行四边形转化成长方形,根据长方形的面积
公式推导出来的。
生4:三角形的面积计算公式是通过两个同样的三角形拼成一个平行四边形,根据平行
四边形的面积计算公式推导出来的。
生5:因为是用两个一样的三角形拼成的平行四边形,所以这个平行四边形的面积等于
两个三角形的面积,要求一个三角形的面积,所以要用平行四边形的面积除以2。
2.老师谈话,导入新课。
我们已经知道了平行四边形和三角形的面积计算公式,今天我们来学习梯形的面积计算
公式。
(老师板书:梯形的面积)
[设计意图] 复习已学的知识,对平行四边形与梯形之间的练习进行沟通,为学习新知
做准备。
方法三
1.导入:这一单元我们已经学习了三角形和平行四边形的面积计算,谁来说一说它们的
计算公式?
预设 生:平行四边形的面积=底×高,用字母表示是S=ah;三角形面积=底×高÷2,用字
母表示是S=ah÷2。
师:同学们回忆一下,它们的面积的计算公式是怎么推导出来的?
预设 生:把它们转化成已经学过的图形来研究面积的。
2.揭题:
师:生活中的图形除了三角形和平行四边形外,还有梯形,这节课我们就利用转化的方法
来研究梯形的面积计算公式。
(老师板书课题:梯形的面积)
[设计意图] 在师生的共同复习中回顾已学知识,为新课的学习打下基础。
一、出示教材第95页情境图。1.学生看图,观察可知汽车车窗的玻璃是梯形。
2.引导学生思考:怎样求出它的面积呢?你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式
吗?
3.小组讨论,学生可能会猜测到把梯形转化成平行四边形、三角形、长方形等图形,来
推导它的面积计算公式。
4.PPT出示探究梯形面积计算方法的情境图。
(1)引导学生看图中的同学的操作方法。
(2)学生先在小组讨论,再独立利用梯形学具验证自己的猜测,教师深入各小组进行指导。
可提醒学生用剪刀剪一剪,再拼一拼。
(3)交流汇报自己的推导过程,让学生在讲台上边演示边讲解。
5.把梯形转化成学过的图形。学生可能会这样做:
预设 生1:用两个一样的梯形拼成一个平行四边形。
生2:把一个梯形剪成两个三角形。
生3:把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形。
二、推导梯形的面积计算公式。师:同学们真棒!想出了这么多方法,把梯形转化成我们学过的图形。请通过自学课本的
内容来推导梯形的面积计算公式。
1.PPT出示教材第95页梯形图。
观察拼成的平行四边形和原来的梯形,你发现了什么?
梯形的面积=
如果用S表示梯形的面积,用a,b和h分别表示梯形的上底、下底和高,那么梯形的面
积计算公式是
2.学生自学,根据自己的理解填空,指名回答。
预设 生1:这个平行四边形的底等于梯形的上底+下底,这个平行四边形的高等于梯形
的高。每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×
高÷2。
生2: 用字母表示:S=(a+b)×h÷2。
老师根据学生回答进行板书:
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
用字母表示:S=(a+b)×h÷2
三、应用公式,解决问题。
1.PPT出示教材第96页例3的情境图。
我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是梯形(如下图),求它的面积。师:图中的三峡水电站大坝是世界上规模最大的水电站,是中国也是世界上有史以来建
设的最大的大坝,它的横截面的一部分是梯形(老师用PPT出示右图)。你能求出它的面积吗?
2.学生看图,尝试计算,一生板演。
预设 生:S=(a+b)h÷2
=(36+120)×135÷2
=156×135÷2
=10530(m2)
3.集体评讲,订正。
4.讨论:计算梯形的面积需要知道哪些条件?要注意什么?
学生在小组内讨论后回答。
预设 生1:需要知道上底、下底和高。
生2:不能忘记除以2,求出面积后要写出面积单位。
[设计意图] 通过尝试练习和讨论,明确用梯形的面积计算公式解决问题时,需要的条
件和应注意的问题,使学生的思路更加清晰,提高解决问题的正确率。
1.教材第96页“做一做”。(PPT出示题目)
学生看图,分析图意,讨论计算方法。
预设 生1:可以看作一个大梯形,先分别求出梯形的上底、下底,再根据梯形的面积公
式求出面积。
生2:也可以看作两个直角梯形,其中一个梯形的上底是40 cm,下底是71 cm,另一个梯
形的上底是45 cm,下底是65 cm,高都是40 cm,可以分别求出面积再相加求出整个图形的
面积。
学生选择自己喜欢的方式进行计算,老师巡视,选择学生作业进行展示。全班评讲,订正。2.教材第97页练习二十一第3题。
(1)学生读题,小组讨论,得出:本题需要先测量计算所需条件的长度,再利用梯形面积计
算公式求面积。
(2)学生先进行测量,然后计算,全班交流,集体订正。
3.教材第97页练习二十一第4题。
(1)学生读题,理解题意。
(2)学生观察得出飞机模型的机翼的形状是两个完全相同的梯形。
(3)再让学生说一说怎样求机翼的面积。
①可以先求出一个梯形的面积,再乘2;
②也可以根据梯形面积公式的推导经验,设想把两个梯形拼成一个底长100 mm+48 mm,
高250 mm的平行四边形,求出它的面积。
【参考答案】 1.(40+71)×40÷2=2220(cm2) (45+65)×40÷2=2200(cm2) 2.先测
量,后计算,计算略。 3.(48+100)×250÷2×2=37000(mm2) 37000 mm2=370 cm2
师:这节课你学会了什么?有哪些收获?
预设 生1:学会了推导梯形面积的方法:在推导梯形的面积公式时,可以把梯形转化成
我们学过的图形来推导。
生2:知道了梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
生3:知道了梯形的面积计算公式用字母表示为S=(a+b)×h÷2。
师:用梯形的面积计算公式解决问题的步骤是怎样的?
预设 生:先写出字母公式,再把题中的条件代入公式中,列出式子,计算出结果。
师:解决问题时要注意什么?
预设 生:正确写出面积计算公式,不要忘记除以2,求出的是面积,结果要用面积单位。
作业1
教材第97页练习二十一第2题、第98页第6,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算下面每个梯形的面积。(单位:cm)(1) (2)
(3)
2.(易错题)判断。(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 ( )
(2)两个完全一样的梯形一定能拼成一个长方形。 ( )
(3)上底和高分别相等的两个梯形,面积一定相等。 ( )
(4)任意一个平行四边形都可以分成两个大小和形状都一样的梯形。 ( )
3.(重点题)有一条堤坝,其横截面是梯形,坝顶长20米,坝底长80米,坝高40米。堤坝横截
面的面积是多少平方米?
【提升培优】
4.(易错题)把一个平行四边形任意分成两个梯形,这两个梯形的( )总是相等的。
A.面积 B.上底和下底的和
C.高 D.周长
5.(重点题)公园梯形花坛里共种植月季花690株。这块花坛的上底是8米,下底是15米,高
是30米,平均每株月季花占地多少平方米?
【思维创新】
6.(探究题)有一腰和上、下底垂直的梯形,它的下底是40米,如果上底增加20米,这个梯形
就变成一个正方形,该梯形的面积是多少平方米?
【参考答案】
作 业 1:2.(3+4)×5÷2=17.5(m2) (5.9+8.2)×4.8÷2=33.84(cm2)
(12+15)×20÷2=270(cm2) 6.(46-20)×20÷2=260(m2) 8.(2+6)×5÷2=20(根)
作 业 2:1.(1)(14+20)×12.5÷2=212.5(cm2) (2)(5.4+8.8)×6.7÷2=47.57(cm2) (3)
(7+17)×10÷2=120(cm2) 2.(1)√ (2)✕ (3)✕
(4)√ 3.(20+80)×40÷2=2000(平方米) 4.C 5.(8+15)×30÷2÷690=0.5(平方米)
6.40-20=20(米) (40+20)×40÷2=1200(平方米)梯形的面积
平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 用字母表
示:S=(a+b)×h÷2
例3 S=(a+b)h÷2=(36+120)×135÷2=156×135÷2=10530(m2)
在教学中,我首先让学生回顾平行四边形和三角形的面积计算公式是怎样推导的,提出
问题:梯形是不是也可以像它们一样转化成已学过的图形呢?然后,指导学生用两个完全相同
的梯形拼一拼,学生通过旋转、平移等方法拼出了平行四边形,为推导梯形的面积公式形成
一个直观的印象,使学生加强了对梯形面积的理解。
在学生想办法把梯形转化成已学过的图形后,没有对每种方法进行深入的分析,一是由
于时间的关系,二是有些推导有一定难度,怕学生接受不了。对于这样的情况,也是我教学中
的一个困惑:放开让学生思考,而学生想出的内容超过目前学习的范围。
在探索梯形的面积计算公式时,要加强对操作方法的指导。
【做一做·96页】
(40+71)×40÷2=2220(cm2) (45+65)×40÷2=2200(cm2)
【练习二十一·97页】
1.(1.4+2.8)×1.2÷2=2.52(m2) 2.(3+4)×5÷2=17.5(m2)
(5.9+8.2)×4.8÷2=33.84(cm2) (12+15)×20÷2=270(cm2) 3.先测量,后计算 计算略
4.(48+100)×250÷2×2=37000(mm2) 37000 mm2=370 cm2 5.(12+18)×9÷2=135(cm2)
(5+5-2.3)×3.4÷2=13.09(cm2) (7.2+7.2-1.6-2.2)×4.8÷2=25.44(cm2) 6.(46-
20)×20÷2=260(m2) 7. 设 下 底 长 为 x cm (4.5+x)×3÷2=15 x=5.5 8.
(2+6)×5÷2=20(根) 9.略 10.(160+180)×50÷2÷10=850(棵) 11.方法一:(3.5-
2)×1.8÷2=1.35(cm2) 方法二:(2+3.5)×1.8÷2-2×1.8=1.35(cm2) 两种方法如下图,一堆钢管的横截面是个梯形,求这堆钢管有多少根。
[名师点拨] 由于这堆钢管的横截面是一个梯形,因此求这堆钢管的根数可以用梯形的
面积公式来计算。
[解答] (3+7)×5÷2=25(根)。
【知识拓展】 求这堆钢管的根数还可以用加法来计算:3+4+5+6+7=25(根)。观察这个
加法算式可以发现,相邻的后一个数比它的前一个数多1。这是一列有规律的数字的和。为
什么这两个算式都能求出这堆钢管的根数呢?比较一下这两个算式和这堆钢管,第一个数3
就相当于梯形的上底,最后一个数7就相当于梯形的下底,加数的个数5就相当于梯形的高。
因此,求这个加法算式的和可利用梯形面积公式来计算,即3+4+5+6+7=(3+7)×5÷2=25(根)。
解决这一类有规律的数字的和的运算时必须注意:(1)这一类有规律的数字必须是相邻的后
一个数与前一个数的差都相同。(2)第一个加数和最后一个加数分别相当于梯形的两个底。
(3)加数的个数相当于梯形的高。
巴霍姆围地
俄国有一位著名的作家,名叫列夫·托尔斯泰,在他的作品里曾经写过这样的一个故事,
被广为流传。
有个名叫巴霍姆的人想到草原上买一块地。卖地人说:“每天1000卢布,就是说你如果
愿意出1000卢布的话,那么你从日出到日落走过的路所围成的地就都归你了。不过,要是你
在日落之前回不到原来出发的地方,你就得不到地,你的钱就算白花了。”
巴霍姆听了觉得挺合算的,于是就付给卖地人1000卢布。第二天,太阳刚刚从地平线上
一露脸,他就连忙在大草原上奔跑起来。他先笔直地向前跑了10千米,这才朝左拐弯,接着
又跑了13千米,再向左拐弯,这样又跑了2千米。这时,他抬头一看,发现太阳离地平线已经
不远了,于是马上改变了主意,笔直地朝出发点跑去。跑呀,跑呀,太阳已经有一部分隐藏到地平线下面了,他离开出发的地点还有一段路呢,为了不使1000卢布白费,他用尽力气拼命
地跑啊跑,总算在太阳全部消失之前赶回到出发的地点,只见他向前一扑,口吐鲜血,再也站
不起来了。
贪婪的巴霍姆为了能得到尽可能多的土地,结果累死了,弄得人财两空,但是他的行动却
给我们留下了一个数学问题。下面我们一起来研究一下。
阅读了前面的故事,我们把巴霍姆跑过的路线画出来就可以得到上面的一个梯形,它的
面积是(10+2)×13÷2=78(平方千米)。
请你想一想,假如巴霍姆的体力一天能跑40千米的话,他应该围成一个怎样的矩形,才
能够得到尽可能多的地呢?
看完这个故事后,假如允许巴霍姆再来一次,你能向巴霍姆提出哪些合理的建议,使他又
能买到尽可能多的地而又不至于被累死呢?
【参考答案】 围成一个边长为10千米的正方形,才能够得到尽可能多的地。假如巴
霍姆再来一次,建议他沿圆形路线跑。
4 组合图形的面积
本节课的内容是教材第99页组合图形的面积及例4、例5。组合图形是由一些基本图
形组合而成的,通过计算组合图形的面积,有利于综合运用平面图形面积计算的知识,进一步
发展学生的空间观念。教材首先提供了几个生活中的具体物品,通过在这些物品的表面中寻
找学过的图形,使学生知道组合图形是由几个简单图形组合而成的,然后要求学生在自己身
边寻找组合图形,以巩固对组合图形的认识。例4是组合图形面积的计算,教材以房屋侧面
墙的面积计算为例,让学生学习解决组合图形面积计算的方法。组合图形的面积计算一般是
把它拆分成以前学过的简单图形,分别计算出各个简单图形的面积来解答。一个图形可能会
有几种不同的解答方法。例5安排了借助方格纸估计不规则图形(树叶)的面积,这是估算思想在图形与几何中的应用。教材呈现了借助方格纸估计不规则图形的不同方法,先确定这片
树叶的面积范围,如教材所示,分别数出满格和不是满格的格子数,就能确定面积的区间,再
把不满一格的按半格计算,估计出它的面积。另一种方法是根据图形的特点转化为近似的规
则图形来估计,这里就是转化为平行四边形,利用方格纸的刻度,找出计算平行四边形面积的
条件进行估算。
1.使学生理解组合图形的含义,掌握用分解法和添补法把组合图形分解成学过的简单图
形。
2.探索计算组合图形及不规则图形面积的计算方法,能根据组合图形的条件,有策略地
选择计算方法并正确进行解答。
3.渗透转化的数学思想,培养学生的估算意识,提高学生运用知识解决实际问题的能力,
在自主探索中培养学生的创新精神。
【重点】
正确地计算组合图形及不规则图形的面积。
【难点】
掌握组合图形的拆分方法,培养学生的空间观念及估算意识。
第 课时 规则图形的面积
1.使学生理解组合图形的含义,掌握用分解法和添补法把组合图形分解成学过的简单图
形。
2.探索计算组合图形面积的多种方法。
3.在学习活动中,体验到美丽图形之间的组合关系,激发学生学习的兴趣,培养学生的审
美观念。
【重点】正确计算组合图形的面积。
【难点】
掌握组合图形的拆分方法,培养空间观念。
【教师准备】 PPT课件,三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形纸板。
【学生准备】 三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形卡片。
方法一
老师用PPT课件出示教材第99页的主题图。
师:观察这幅图,你发现了什么?
预设 生1:发现这些图中都有我们学过的图形。
生2:我发现每一幅图中都有几种不同的图形。
师:仔细找一找都有哪些我们学过的图形。
生3:有长方形、正方形、三角形、平行四边形,还有梯形。
师:你们还记得这些图形的面积是怎样计算的吗?
(学生说出图形的面积计算公式,老师板书)
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
平行四边形的面积=底×高
三角形的面积=底×高÷2
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
师:在实际生活中,有些图形是由几个简单的图形组合而成的。我知道大家收集了许多
生活中组合图形的图片,谁来给大家展示一下?预设 生1:这支铅笔的面是由一个长方形和一个三角形组成的。
生2:这条小鱼的面是由两个三角形组成的。
生3:这座房子的这面墙是由一个三角形和一个长方形组成的。
…
师:这些组合图形的面积该怎样计算呢?这就是我们今天要学习的内容。
(老师板书课题:组合图形的面积)
[设计意图] 根据学生已有的知识经验和生活经验,让学生在课前收集生活中的组合图
形的图片,学生学习热情高涨,兴趣盎然。通过看课件,说图形等活动,使学生对组合图形有
了一定的感性认识,老师提出今天学习求组合图形的面积,已是水到渠成了。
方法二
1.复习回顾。
(1)老师拿出长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的纸板。
(2)学生从学具中找出同样的图形,并说出图形名称和面积计算公式。
2.拼摆图形,引入新课。
师:现在我们来做一个拼摆图形的小游戏。
老师用这些图形拼摆出一个图形,然后让学生发挥想象拼摆图形。
师:像我们刚才这样用几个基本图形拼摆出来的图形都是组合图形。在实际生活中,有
些图形都是由几个简单的图形组合而成的。
老师用PPT出示教材第99页的主题图。
学生看图,找出图中的简单图形。
师:这样的图形的面积怎样求呢?我们一起来学习。
(老师板书:组合图形的面积)
[设计意图] 在学生感兴趣的游戏活动中对组合图形产生感性认识,为下一步探究组合
图形的面积做好铺垫。
方法三
1.复习简单图形。游戏活动:根据计算公式猜图形。
师:请同学们根据面积计算公式猜图形。
PPT出示面积计算公式:
S=ab S=a2 S=ah
S=ah÷2 S=(a+b)h÷2
老师根据学生猜出的图形用PPT显示各种简单图形。
2.认识组合图形。
师:在实际生活中,有些图形是由几个简单的图形组合而成的。
老师用PPT出示教材第99页主题图。
3.沟通简单图形与组合图形的关系。
学生看图,分别说出每个图形是由哪几个简单图形组成的。
师生交流,共同得出:由几个简单图形组合而成的图形,叫做组合图形。
师:组合图形的面积怎样求呢?这就是我们今天要探究的问题。
(老师板书:组合图形的面积)
[设计意图] 导入按照循序渐进的原则,由简单图形到组合图形,为探究组合图形的面
积计算打下扎实的基础。
组合图形面积的计算。1.PPT出示教材第99页例4情境图。
右图表示的是一间房子侧面墙的形状,它的面积是多少平方米?
2.引导学生观察图形。
师:仔细观察,这个图形可以分解成哪些我们学过的简单图形?
学生观察、思考,在小组内交流。
老师根据学生回答用PPT出示分解过程。
预设 生1:可以分解成一个三角形和一个正方形。
生2:可以分解成两个一样大的梯形。
…
3.求组合图形的面积。
师:如果分解成一个三角形和一个正方形,怎样求出组合图形也就是侧面墙的面积呢?
预设 生:先分别求出三角形和正方形的面积,再相加就可以得到组合图形的面积了。
师:说得真好!如果分解成两个梯形,又该怎样计算面积呢?
预设 生:求出一个梯形的面积,再乘2就是组合图形的面积。
师:请选择一种你喜欢的分解方法,求出侧面墙的面积。
学生独立计算,老师巡视,选择几位同学的作业进行板书。
解法1:5×2÷2=5(m2)
5×5=25(m2)
5+25=30(m2)
解法2:
5×2÷2+5×5
=5+25
=30(m2)
解法3:
上底:2+5=7(m) 高:5÷2=2.5(m)
一个梯形的面积:
(7+5)×2.5÷2=12×2.5÷2=15(m2)
15×2=30(m2)
解法4:
(2+5+5)×(5÷2)÷2×2
=12×2.5÷2×2
=30(m2)
对不同的解法进行评价,集体订正。
师:你最喜欢哪种方法?为什么?
学生可能会回答最喜欢解法2,因为这种解法比较简便。
[设计意图] 先让学生自主探究组合图形面积的计算方法,再引导学生对不同的方法进
行比较,让学生明确把组合图形转化成简单图形时需要优化。
4.归纳求组合图形的一般方法:分割—求和法。
师:同学们,想一想,求组合图形的面积的步骤是怎样的?
学生思考,小组交流,再指名回答。
预设 生1:先把组合图形分解成几个简单图形。
生2:分析几个简单图形的关系,分别求出简单图形的面积,再根据简单图形的关系,求
出组合图形的面积。
1.教材第101页练习二十二第1题。
学生独立思考题中的图形怎样分解,然后在小组中进行讨论,弄清为什么这样分。
组合图形的面积=平行四边形的面积+三角形的面积。学生独立计算,指名汇报,集体订正。
2.教材第101页练习二十二第2题。
你能想出几种算法?学生先独立思考完成,再组织讨论。
3.PPT出示:求下图的面积。
学生看图分析,独立完成,在小组内交流,全班评讲,集体订正。
【参考答案】 1.50×33+35×12÷2=1860(m2) 2.方法一:大面积-小面积
80×(30+30)-(30+30)×20÷2=4200(cm2) 方 法 二 : 分 割 成 两 个 梯 形 (80+80-
20)×30÷2×2=4200(cm2) 方法三:分割成一个长方形和两个三角形。 (80-
20)×(30+30)+20×30÷2×2=4200(cm2) 3.(16+28)×15÷2-8×6=282(cm2)
1.通过这节课的学习,你学到了什么本领?
预设 生1:学会了计算组合图形的面积。
生2:知道了求组合图形的面积时,先要把组合图形分解成几个简单图形。
…
2.求组合图形的面积时要注意什么?
预设 生1:对组合图形进行正确的分解,一是计算要简单,二是有计算必须的条件。
生2:看清图中的数据,找准必须的条件。
生3:图中如果有三角形和梯形时,不要忘记除以2。
生4:最后结果要用面积单位。
…
老师强调指出:遇到求组合图形面积的问题时,我们可以对组合图形进行合理的拆分或
添补,使组合图形变成我们学过的简单图形,如:长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯
形等,分别求出简单图形的面积,再根据图形之间的关系求出组合图形的面积。
作业1
教材第101页练习二十二第3,4,5题。作业2
【基础巩固】
1.(基础题)下面的图形是由哪些简单图形组成的?画一画。
2.(重点题)计算下列组合图形的面积。(单位:cm)
【提升培优】
3.(难点题)用两种不同的方法计算下面图形的面积。
4.(易错题)求下面图形的面积。(单位:cm)
【思维创新】
5.(竞赛题)求下图中阴影部分的面积。
【参考答案】作 业 1:3.30×30-13×13=731(cm2) 4.(40+70)×30÷2-30×15=1200(m2) 5.
(2+10)×12÷2-3×4÷2-(4+6)×4÷2=46(cm2)
作业2:1.如图所示,答案不唯一。
2.(1)12×13+19×31=745(cm2) (2)52×21÷2+52×20=1586(cm2)
(3)8×4+(4+11)×(13-8)÷2=69.5(cm2) 3.答案不唯一。方法一:(10+20)×2÷2+(18-
2+18)×6÷2=132(cm2) 方 法 二 :(10+20-6)×2÷2+18×6=132(cm2) 4.
(10+16)×12÷2+20×(16-10)÷2=216(cm2) 5.如图所示,把阴影部分分割成两个三角形。
(20-10)×20÷2=100(平方米) 10×10÷2=50(平方米) 100+50=150(平方米)
组合图形的面积
长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 平行四边形的面积=底×高 三角
形的面积=底×高÷2 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
例4 解法1:
5×2÷2=5(m2) 5×5=25(m2) 5+25=30(m2)
解法2:
5×2÷2+5×5=5+25=30(m2)
解法3:
上底:2+5=7(m) 高:5÷2=2.5(m)
(7+5)×2.5÷2=12×2.5÷2=15(m2) 15×2=30(m2)
解法4:
(2+5+5)×(5÷2)÷2×2=12×2.5÷2×2=30(m2)
整堂课因为内容设计较多,怕教学时间不够,加快了整个教学节奏,有些地方就显得有些
匆忙,不够从容,最后总结全课后就正好下课了,拓展题目没有处理完,没达到预期效果。我觉得本课时的重点是使学生发现、理解、掌握计算简单组合图形的方法和策略,所以
在教学中,重点放在让学生思考、理解把组合图形分解成已学过的图形的方法上,沟通组合
图形与简单图形之间的联系,明确计算组合图形面积的思路,这样做学生比较容易接受。
通过练习使学生明确计算组合图形面积时要注意的问题,对于提高解题的正确率起到了
良好的作用。
正方形的一组对边中,一条边增加17厘米,另一条边减少10厘米,这样就变成了
梯形。这时梯形的下底的长是上底的长的4倍。这个梯形的面积是多少?
[名师点拨] 根据正方形的一组对边中一条边增加17厘米,另一条边减少10厘米变成
梯形,可以知道所画梯形的下底比上底长17+10=27(厘米),又由“梯形的下底的长是上底的
长的4倍”,可以知道梯形的下底比上底多上底的3倍,上底为27÷3=9(厘米),从而求得梯
形的下底是9×4=36(厘米),梯形的高就是正方形的边长,为10+9=19(厘米)。
[解答] 17+10=27(厘米),
上底是27÷3=9(厘米),
下底是9×4=36(厘米),
高是10+9=19(厘米),
因此梯形的面积是(9+36)×19÷2=427.5(平方厘米)。
【知识拓展】 如果沿着正方形上的点A向下面的边作一条垂线,这个图形就变成了由
一个长方形
和一个三角形组成的组合图形。可以根据题目中的条件把它们的面积算出来再求和。七巧板
七巧板,顾名思义,是由七块板组成的。这七块板可拼成许多图形(千种以上),比如三角
形、平行四边形、不规则多边形,玩家也可以把它拼成各种人物、动物、桥、房、塔等,亦
可是一些英文字母。
七巧板是我国古代劳动人民的发明,其历史至少可以追溯到公元前1世纪,到了明代基
本定型,明、清两代在民间广泛流传。清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图,
其式五,其数七,其变化之式多至千余。体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故
世俗皆喜为之”。
什么是组合数学
组合数学,又称为离散数学,但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成离散数学。
组合数学是计算机出现后迅速发展起来的一门数学分支,计算机科学就是算法的科学,而计
算机所处理的对象是离散的数据,所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心,而研究离
散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地
位的局面。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值,在企业管理、交通规划、战争指挥、金
融分析等领域都有着重要的应用。
第 课时 不规则图形的面积
1.让学生经历解决估算不规则图形的全过程,培养学生的估算意识。
2.培养学生的估算意识,掌握估算的方法。
3.进一步引导学生运用转化思想探索知识变化规律,培养学生分析问题和解决问题的能
力。4.在教学中使学生感悟数学的魅力以及数学知识内在联系的逻辑之美,体会数学的实用
性。
【重点】
估算方格图中不规则图形的面积。
【难点】
对不规则图形的转化。
【教师准备】 PPT课件,蝴蝶标本(或其他的标本)。
【学生准备】 每个学生发一张根据教材第100页例5复制的树叶图。
方法一
师:同学们,我们已经学会了计算一些图形的面积,现在请你们观看下面一组图形并用你
的手势告诉大家:如果这个图形的面积你会计算就竖起大拇指,不会求的就弯曲食指。
(老师出示PPT课件)
当出示到第六幅图时,学生弯曲食指,表示不会求。
师:怎么这个图形的面积大家都不会计算呢?
预设 生1:这是一片树叶,它的形状与我们学过的图形都不相同,所以不会求它的面积。
生2:这个图形不规则,面积不好计算。
师:这片树叶是一个不规则图形,对于一个不规则图形我们很难求出它的准确面积是多
少,但我们可以用估算来解决这个问题,这就是我们今天要学习的内容。
(老师板书课题:不规则图形的面积)
[设计意图] 学生在看PPT课件的前面几幅图时,都会自信地竖起大拇指,当他们有点沾沾自喜时,突然看到第6幅图,会发现这幅图与前面的不同了,不会计算了,老师指出:今天
我们来学习解决这个问题时,学生会迫不及待地希望掌握这种方法。
方法二
老师出示一个蝴蝶标本。
师:老师制作了一个蝴蝶标本,大家看,漂亮吗?
预设 生:漂亮。
师:你们能计算出这个蝴蝶标本的面积吗?
预设 生:很难算出它的面积。
师:为什么?
预设 生1:这个图形好像与我们学过的图形都不一样。
生2:这是一个不规则的图形,所以它的面积不好计算。
师:是的,我们很难计算出不规则图形的准确面积,但我们可以想办法估算出它的面积是
多少。今天我们就来探究这方面的知识。
(老师板书课题:不规则图形的面积)
[设计意图] 美丽的蝴蝶标本吸引了学生的注意力,怎样计算这个标本的面积又引发了
学生的思考,这时老师揭示本节课的学习内容,使学生能积极地进行新知识的学习。
不规则图形面积的计算。
1.老师谈话:我们要借助方格图来估算这片树叶的面积。
2.老师用PPT出示教材第100页例5的树叶图。
图中每个小方格的面积是1 cm2,请你估计这片叶子的面积。
学生看图,理解题意。
3.探究方格图中不规则图形面积的估算方法。(数方格法)
师:从图中你知道了什么?
预设 生:图中的每个小方格的面积都是1平方厘米。
师:想一想,我们可以怎样利用方格纸估算树叶的面积呢?学生会根据以前数方格计算面积的经验进行思考。
师:我们可以先数出满格的有多少个,再数出不是满格的有多少个。
学生拿出树叶图,数方格。老师巡视,指名回答。
预设 生1:方格纸上满格的有18格。
生2:方格纸上不是满格的也有18格。
师:根据同学们数的结果,可以确定这片树叶的面积的取值范围。你能说出这片树叶的
面积取值范围是多少吗?(如果学生不理解取值范围,老师可以解释:面积最小是多少平方厘
米,最大是多少平方厘米)
预设 生:这片树叶的面积在18平方厘米~36平方厘米之间。
师:图中满格按1格算,不是满格的按半格算,请你算一算,这片树叶的面积大约是多少
平方厘米?
预设 生:18个半格算9个满格,18加9等于27个满格,1个小方格的面积是1平方厘米,
这片树叶的面积大约是27平方厘米。
[设计意图] 学生利用学具,亲自数一数,经历数方格的过程,可以使学生更好地理解数
方格估算不规则图形面积的方法。
师:同学们数得很好,我们来看看他们是怎样数的。
(边说边用PPT出示教材第100页情境图)
师:请根据自己数的过程,结合他们数的过程和方法,总结一下解决问题的步骤。
学生思考,小组交流,然后派代表发言。
预设 生:先在方格纸上描出树叶的轮廓图。
生2:再数出图中的满格一共有18格。
生3:接着数出图中不是满格的一共有18格。
生4:把满格数与不是满格的数相加,18+18=36,得出树叶的面积的大致范围是18平方厘米~36平方厘米之间。
生5:不是满格的都按半格算,把这个数除以2,再与满格数相加估算出树叶的面积。
18÷2+18=27平方厘米,这片树叶的面积大约是27平方厘米。
4.探究方格图中不规则图形的面积估算方法。(转化法)
师:我们用数方格的方法估算了这片树叶的面积,除了数方格还有别的方法吗?
老师留给学生一点思考的时间,学生可能回答不上来。老师用PPT出示教材第100页的
情境图。
学生看图说出这位同学是怎样做的。
预设 生:把树叶的图形近似转化成平行四边形。
师:求平行四边形的面积必须知道哪些条件?
预设 生:必须知道底和高。
师:根据方格纸上的刻度数,请你们数出平行四边形的底和高,再求出树叶的面积。
一生板演,其他学生独立计算,全班评讲,集体订正。
S=ah
=5×6
=30(平方厘米)
答:这片树叶的面积大约是30平方厘米。
师:我们用数方格的方法估算出树叶的面积大约是27平方厘米,而把树叶转化成平行四
边形算出的面积是30平方厘米。哪个结果是正确的呢?
预设 生:应该都是正确的,因为这两个结果都在树叶面积的取值范围内。
(学生也可能会出现不同的意见,有的说27平方厘米对,有的说30平方厘米对,这时可
以让双方说出自己的理由,通过讨论取得统一的意见)
教材第102页练习二十二第8题。
学生独立完成,在小组内进行交流,指名回答。
【参考答案】 左图:数方格法:满格有15个,不是满格的有18个,面积在15平方厘米
~33平方厘米之间,15+18÷2=24(平方厘米)。
转化法:①分割成一个梯形和一个三角形。(2+5)×4÷2+5×4÷2=24(平方厘米)。
②添补成一个大梯形,减去一个三角形。
(4+8)×8÷2-6×8÷2
=48-24
=24(平方厘米)
答:这个图形的面积大约是24平方厘米。
右图:数方格法:满格有28格,不是满格的有8格,面积在28平方厘米~36平方厘米之间,
28+8÷2=32(平方厘米)。
转化法:①分割成两个三角形和一个长方形。
2×3÷2+5×2÷2+3×8=32(平方厘米)。
②添补成一个长方形。
4×8=32(平方厘米)。
答:这个图形的面积大约是32平方厘米。这节课学习了什么知识?你有什么收获?
预设 生1:学习了用估算的方法求不规则图形的面积:可以用数方格的方法,也可以将
它近似地看作规则图形。
生2:我知道了估算不规则图形面积的方法,同样的图形可以有不同的方法,有时估出的
结果可能不一样,但只要在确定面积范围内就都是正确的。
…
师:通过这节课的学习,我们对图形面积的计算有了更深刻的了解,不规则图形也可以想
办法求出它的面积大约是多少。同学们今天都学得不错!老师给你们点1个赞!
作业1
教材第101页练习二十二第7,9题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)图中每个小方格的面积都是1平方分米,估算图中阴影部分的面积。
约( )平方分米。
【提升培优】
2.(重点题)估算草坪的面积是( )平方米。(每个小方格表示1 m2,涂色部分为草坪)
【思维创新】
3.(创新题)估算下面图形的面积。(每个小方格的面积为1 cm2)
(1)小华出生时,脚印的面积约是多少?(2)小华2岁时,脚印的面积约是多少?
(3)估计自己脚印的面积。
【参考答案】
作业1:7.43×20.1≈864(m2) 9.略
作业2:1.13 2.16 3.略
不规则图形的面积
估算:
1.数方格法:满格+不是满格的(按半格算)
2.转化法:转化成学过的图形
本节课的教学内容是通过估算求不规则图形的面积,通过借助方格图来估算不规则图形
的面积大约是多少,同前面的内容比较,有了更大的灵活性。
教学中,我先让学生通过数方格,数出图中的满格与不是满格的,由此得出树叶面积的范
围,再根据不是满格的按半格计算的要求,计算出树叶的面积。
估算不规则图形面积的另一个方法就是转化法,让学生把不规则图形用分割、添补的方
法转化成学过的图形进行计算。
数方格的方法与转化法得出的结果有时不完全一样,学生通过讨论(甚至是争论)明确:
因为是估算,结果并不是准确值,所以只要结果在取值范围之内的都是正确的。在教学中,学生估算不规则图形的正确率并不是很高,一方面是由于学生在数方格时不
够细心,另一方面(也是主要的)是学生对怎样把一个不规则图形分割或添补成学过的图形的
方法不够熟练,需要在练习中加强。
【练习二十二·101页】
1.50×33+35×12÷2=1860(m2) 2. 方 法 一 : 大 面 积 - 小 面 积 80×(30+30)-
(30+30)×20÷2=4200(cm2) 方法二:分割成两个梯形 (80+80-20)×30÷2×2=4200(cm2)
方法三:分割成一个长方形和两个三角形。 (80-20)×(30+30)+20×30÷2×2=4200(cm2)
3.30×30-13×13=731(cm2) 4.(40+70)×30÷2-30×15=1200(m2) 5.(2+10)×12÷2-
(4+6)×4÷2-3×4÷2=46(cm2) 6.20×10÷2+20×10=300(cm2) 7.43×20.1≈864(m2)
8.5×4÷2+(5+2)×4÷2=24(cm2) 约为8×4=32(cm2) 11.12×18÷2=108(m2)……绿草。
108÷2=54(m2)……黄花、红花。
图中每个小方格的面积是1平方厘米,请你估计心形图案的面积。
[名师点拨] 估计不规则图形的面积,可以用数方格的方法:先分别数出图中有多少个
满格和有多少个不是满格的(不是满格的按半格计算),把两部分相加得出图形的面积。还可
以把不规则图形转化成学过的三角形进行计算:三角形的底是 9 厘米,高是 7 厘
米,9×7÷2=31.5(平方厘米)。
[解答] 数方格法:满格有19个,不是满格的有22个,图形的面积在19平方厘米~41平方厘米之间,不满1格的都按半格计算,合11个满格,19+11=30(平方厘米),心形图案的面积
大约是30平方厘米。
转化法:9×7÷2=31.5(平方厘米)。
【知识拓展】 估算不规则图形的面积时,可以先通过数方格的办法确定面积的范围,
再把不满一格的都按半格计算;也可以把不规则图形转化成已学过的图形来估算面积。
叶子的形状
叶子我们都见过,它是生长在植物茎上的一种营养器官,负责制造养料,每一片叶子就是
一座小的绿色加工厂。
植物的叶子的构造是相同的,都是由叶片和叶柄组成的,在叶片上有叶脉。由于适应不
同的环境条件,叶片的形状多种多样:有的像鸡蛋,有的像人的手掌,有的像带子,有的像一把
打开的扇子,有的像心脏,有的圆圆的,有的尖尖的。树叶的形状各不相同,都是不规则的图
形,我们都可以用估算的方法求出它们的面积。
称面积
很早以前,世界各国很多数学家都在思考怎样可以计算出不规则版图的面积,许多国家
的边界线由于受到自然环境等方面的影响,如同蚯蚓般地曲折蜿蜒。多年来,大家一直寻找
不到一个标准的计算方法,一般都是大致估算一下,粗略地取个近似值。
我国有一位木匠,在一个偶然的机会知道了这个问题,听到这个问题后,就专心致志地研
究起来,他经过多次实践,终于发明了一种计算不规则图形面积的方法——“称法”,巧妙地
称出了我国各行政区域的面积。
这位木匠先精选一块重量、密度均匀的木板,把各种不规则的地图剪贴在木板上,然后
分别把这些图锯下来,用秤称出每块图板的重量,最后再根据比例尺算出1平方厘米的重量,
用这样的方法,就不难求出每块图板所表示的实际面积了。也就是说,图板的总重量中含有
多少个1平方厘米的重量,就表示多少平方厘米,再扩大一定的倍数,就可以算出实际面积是
多大了。
这个木匠叫于振善,他后来成为了天津南开大学的教授。
整理和复习教材第103页多边形面积的整理和复习及相关内容。
本节课的内容是教材第103页整理和复习。第1题对本单元所学的多边形面积计算公
式进行整理和复习。一是用图示展示本单元所学的图形面积计算公式的推导过程,使学生进
一步理解这些面积计算公式的由来,体会转化的思想。二是通过讨论与思考,沟通长方形、
平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的联系,实现知识的结构化。
第2题,通过计算组合图形的面积,复习组合图形面积计算的方法,巩固已学图形面积计
算公式。
1.进一步理解并巩固平面图形面积的计算方法,并能正确运用公式进行面积的计算。掌
握各种平面图形的面积公式之间的联系,使学生形成知识网络。
2.使学生能综合运用多边形面积公式解决生活中的实际问题。
3.利用分割、添补等方法求组合图形的面积。
4.通过对平面图形面积公式之间的关系的研究,强化学习转化的数学思想。
【重点】
理解平面图形面积计算公式之间的内在联系,完善知识结构体系。
【难点】
掌握“转化”的数学思想,建构知识网络。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本、彩笔、尺子。
方法一复习回顾多边形面积计算公式。
师:今天我们来对第六单元的知识进行整理和复习。
(老师板书课题:整理和复习)
师:想一想我们学过了哪些平面图形面积的计算?
(1)学生思考,老师用PPT出示教材第103页第1题的知识网络图。
(2)回顾面积公式的推导过程。
①长方形。
长方形的面积=长×宽。
求长方形的面积必须知道长方形的长和宽。
②平行四边形。
用割补的方法把平行四边形转化成长方形,根据长方形的面积计算公式得出:
平行四边形的面积=底×高。
求平行四边形的面积必须知道平行四边形对应的底和高。
③三角形。
用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,根据平行四边形的面积得出:
三角形的面积=底×高÷2。
求三角形的面积必须知道三角形对应的底和高。
④梯形。
用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,根据平行四边形的面积得出:
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
求梯形的面积必须知道梯形的上底、下底和高。
(3)写出各种图形面积计算公式的字母公式。
学生独立写出字母公式,小组交流,指名回答。
长方形的面积:S=ab
平行四边形的面积:S=ah三角形的面积:S=ah÷2
梯形的面积:S=(a+b)h÷2
师:同学们都说得很好!我们学习平行四边形、三角形和梯形面积计算时,都运用了转化
的方法推导出了面积计算公式,再根据公式解决问题。
(4)思考提升:当梯形的上底和下底相等时,这个梯形就变成了什么形状?当梯形的上底
为0时,这是一个什么图形?
学生思考,小组交流,指名回答。
预设 生1:当梯形的上底和下底相等时,这是一个平行四边形。
生2:当梯形的上底为0时,这是一个三角形。
[设计意图] 通过复习回顾,巩固所学面积计算公式,同时形成知识体系。当学生复习
完后,老师提出问题让学生思考提升,使学生在整理和复习的过程中能够得到提高。
方法二
复习多边形面积计算公式。
自主复习。
师:第六单元的新知识已经学完了,今天我们来进行整理和复习。
(老师板书课题:整理和复习)
[设计意图] 让学生自主复习,可以培养学生的自学能力,自主掌握整理和复习的方法。
多边形面积的计算公式。
师:请同学们翻开课本第103页,完成第1题。
(1)学生独立完成,然后在小组内进行交流。
老师巡视,选择部分同学的作业进行展示:
全班评讲,指名学生说一说各种图形的面积公式的推导过程。预设 生1:把平行四边形沿高剪下,平移后拼成一个长方形,根据长方形的面积公式推
导出平行四边形的面积计算公式。
生2:用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,推导出三角形的面积计算公
式。
生3:用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,根据平行四边形的面积推导出
梯形的面积计算公式。
(2)讨论提升。
用PPT出示下面的内容,引导学生讨论。
师:说说你对这段话的理解。
预设 生1:当梯形的上底和下底相等时,梯形的对边就相等了,所以梯形就成为了平行
四边形。
生2:当梯形的上底为0时,上底就成为了一个顶点,所以梯形就成为了三角形。
师:现在我们来复习组合图形的面积计算。
(1)用PPT出示第103页第2题。
计算下面图形的面积,你能想出几种方法?
(2)学生看图,思考求这个组合图形面积的方法,然后进行交流。
学生可能出现下面几种解答方法:
方法一:
分割成梯形+长方形:(10+5)×(12-6)÷2+6×5
=15×6÷2+30
=45+30
=75(平方厘米)
方法二:
分割成三角形+长方形:
(10-5)×(12-6)÷2+12×5
=5×6÷2+60
=15+60
=75(平方厘米)
方法三:
分割成三角形+梯形:
10×(12-6)÷2+(6+12)×5÷2
=10×6÷2+18×5÷2
=30+45
=75(平方厘米)
方法四:
添补成一个长方形,用长方形-梯形:12×10-(12+6)×(10-5)÷2
=120-18×5÷2
=120-45
=75(平方厘米)
(3)师生共同小结:我们在求组合图形的面积时,经常用到分割法和添补法,把组合图形
分解成几个简单图形,通过求出这几个图形面积的和(或差)得到组合图形的面积。
1.教材第104页练习二十三第3题。
学生读题,理解题意,一生板演,其他同学独立完成,全班评讲,订正。
2.教材第105页练习二十三第7题。
(1)引导学生看图,说一说火箭分别是由哪些图形组成的。
明确火箭模型的平面图由三部分组成:三角形+长方形+梯形,再独立计算。
(2)学生独立解答完成后,指名回答,集体订正。
【参考答案】 1.5×4+5×1.2÷2=20+3=23(m2) 185×23=4255(块) 答:一共需要
4255块砖。 2.8×10÷2+8×70+(8+16)×8÷2=40+560+96=696(cm2)
师:这节课你有哪些收获?
学生自由发言,全班交流汇报。
作业1
教材第104页练习二十三第2,6,8,9(1)题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)一个三角形的面积是20 cm2,与它等底等高的平行四边形的面积是( )cm2。(2)一个平行四边形的底是14厘米,面积是98平方厘米,它的高是( )厘米。
(3)梯形的上底是18 cm,下底是22 cm,高是15 cm,面积是( )cm2。
(4)一个三角形的底不变,高扩大到原来的2倍,面积扩大到原来的( )倍。
(5)一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,三角形的高是18 cm,平行四边形
的高是( )cm。
2.(重点题)判断。
(1)三角形的面积等于平行四边形面积的一半。 ( )
(2)边长是8 cm的正方形,它的周长和面积相等。 ( )
(3)平行四边形的底越大,面积就越大。 ( )
(4)一个梯形的上底扩大到原来的2倍,下底和高不变,它的面积将扩大到原来的4倍。 (
)
【提升培优】
3.(重点题)求下面各图形的面积。
4.(变式题)一间教室长9米,宽7.2米,如果用边长为3分米的正方形砖铺地,至少需要多少
块?
5.(难点题)一块三角形的钢板,底边长3.6 dm,高1.5 dm。这种钢板每平方分米重1.8 kg,
这块钢板重多少千克?
【思维创新】
6.(变式题)李大爷利用一面墙围成一个鸡舍(如图)。已知所用篱笆全长11.5 m,这个鸡舍
的面积是多少平方米?
【参考答案】
作业1:2.23.4 25.8 29.58 150 21.8 150 6.948÷(38+41)=12(小时) 8.满格有25格 , 不 是 满 格 的 有 44 格 , 面 积 在 25 m2~69 m2 之 间 ,25+44÷2=47(m2) 。 9.(1)
(1+0.6)×3÷2×2+(2.3+1+1)×3÷2×2+(1+3+2.3)×3÷2×2+6×2=4.8+12.9+18.9+12=48
.6(cm2)
作业 2:1.(1)40 (2)7 (3)300 (4)2 (5)9 2.(1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕
3.40×30=1200(平方分米) (32+90)×40÷2=2440(m2) 20×9+10×20÷2=280(m2) 4.3
分米=0.3米 9×7.2÷(0.3×0.3)=720(块) 5.3.6×1.5÷2×1.8=4.86(kg) 6.(11.5-
3)×3÷2=12.75(m2)
整理和复习
转化
长方形的面积=长×宽 S=ab
平行四边形的面积=底×高 S=ah
三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2
在本单元的教学中,面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的,
所以操作是本单元教学的重要环节。在教学中我十分重视学生的动手操作与实验,每个面积
计算公式的得出都让学生经历探索的全过程。
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法,面积公式的推导都要用到转化的方法。
教学中,我总是以学生的探究活动为主要形式,老师只起“帮”“扶”的作用。通过操作,引
导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间的联系,从而找到面积的计算方法,渗透
“转化”的思想方法。
运用转化的方法推导面积计算公式和计算多边形面积,可以有多种途径和方法。回顾教
学用到的方法,还是感觉到有些单一。
在今后的教学中要注意这个问题,不要把学生的思维限制在一种固定或简单的思维模式或方法上,要尊重学生的想法,鼓励学生从不同的角度、用不同的方法去思考和探索问题。
【整理和复习·103页】
1.S=ab S=ah S=ah÷2 S=(a+b)×h÷2 2. 方 法 一 : 6×5+(5+10)×(12-
6)÷2=75(cm2) 方法二: 12×5+(10-5)×(12-6)÷2=75(cm2) 方法三:
10×(12-6)÷2+(6+12)×5÷2=75(cm2) 方 法 四 : 12×10-(6+12)×(10-
5)÷2=75(cm2)
思考题:分析:将七巧板拼出的正方形进行分割,如图所示:
1 1 1 1
图①和图②分别占正方形的 ,图③占正方形的 ,图④占正方形的 ,图⑤占正方形的 ,
4 16 8 8
1 1
图⑥占正方形的 ,图⑦占正方形的 ,先求出正方形的面积,再根据各图形占正方形的几
16 8
分之几,求出各图形的面积。解答:图①和图②的面积都是12×12÷4=36(cm2);图③和图⑥
的面积都是12×12÷16=9(cm2);图④、图⑤和图⑦的面积都是12×12÷8=18(cm2)。
【练习二十三·104页】
1.18×15=270(cm2) 36×8÷2=144(cm2) 1.9×1.9=3.61(m2) 2.2×3.1÷2=3.41(m2)
2.5×1.8=4.5(dm2) (14+36)×21÷2=525(m2) 2.23.4 25.8 29.58 150 21.8 150
3.5×4+5×1.2÷2=23(m2) 23×185=4255( 块 ) 4.(200+330)×100÷2=26500(m2)
1.8×5000=9000(m2) 26500÷9000≈ 3( 小 时 ) 5. 它 们 的 面 积 相 等 。
6.948÷(38+41)=12(小时) 7.8×10÷2+70×8+(8+16)×8÷2=696(cm2) 8.满格有25格,
不 是 满 格 的 有 44 格 , 面 积 在 25 m2~69 m2 之 间 ,25+44÷2=47(m2) 。 9.(1)6×2+(1+3+2.3)×3÷2×2+(2.3+1+1)×3÷2×2+(1+0.6)×3÷2×2=48.6(cm2) (2)略
下图是由大小两个正方形拼成的,已知小正方形的边长是6厘米,求阴影部分的
面积。
[名师点拨] 如图,连接 AC,三角形 ACE 的面积=CE×AD÷2,三角形 ACG 的面积
=CG×AB÷2,因为AD和AB都是大正方形的边,而CE和CG又都是小正方形的边,所以三角形
ACE的面积与三角形ACG的面积是相等的,而这两个三角形有共同的部分,即三角形ACH,可
知三角形AHG的面积与三角形HCE的面积是相等的,这样题中的问题可以转化成求三角形
GCE的面积,而三角形GCE的面积正好等于小正方形面积的一半。
[解答] 6×6÷2=18(平方厘米)
【知识拓展】 这道题的关键是添加辅助线,把求阴影部分的面积转化成求小正方形面
积的一半。添加辅助线是解答较复杂图形问题的一个重要的方法。
平面图形的性质
平面图形有如下性质:(1)一个平面图形可以在空间中移动而不改变形状和大小。(2)经
过移动可以重合的平面图形,认为是全等的图形,它们的面积相等。(3)从图形中移出一块,
再移入等积的一块,面积不变;图形的面积等于它各部分面积之和,这就是割补原理。
分地毯
这是一个流传了很久很久的故事,讲的是姐妹三人分地毯的事情。有一位慈祥的阿拉伯老人,他一生勤劳、正直,以编织地毯为业维持一家大小的生计,是
一个远近闻名的编织高手。
老人不幸离开了人世。临终前,他给自己的三个女儿留下了一件珍贵的遗物——一块五
色斑斓的正方形地毯。
老人的三个女儿都深爱着自己慈祥、勤劳的父亲,当然都想拥有这块漂亮的地毯,以作
纪念。可是地毯只有一块,怎么办呢?
大姐出了个主意:咱们把这块地毯剪成三份,那么就都可以拥有一小块地毯作纪念了。
大家都觉得这是个好主意。
二姐又提出了一个要求:这么漂亮、珍贵的地毯,可不能剪得零零碎碎的,最好可以分成
三份,每份都正好是一个正方形,因为正方形才能保持父亲留下来的地毯的原貌。我觉得应
该按照这个办法分才行。
姐妹们觉得二姐的要求有道理,于是她们拿来一些纸作样纸,准备先在纸上画好了然后
再剪。可是她们画呀画,剪呀剪,想了好长时间,都难以达到二姐的要求。
最后,还是三妹的脑子灵活,终于想出了一个巧妙的剪法,符合二姐的要求。按照这个想
法,她在纸上画了一个样子,二位姐姐一看,都夸三妹聪明,于是照这个样子把地毯分成了三
份,三姐妹一人拿了一块地毯高兴地回家去了。三妹到底是怎样分的这块地毯呢?你能猜出
来吗?
【参考答案】 如下图,把相邻的两边分别分成三等份,然后分别过两边最近的两个分
点,作这两边的垂线,这两条垂线正好把这个正方形分成了4部分,这样1,2两部分正好各是
一个正方形,而3与4两部分拼起来也正好是一个正方形,解答此题一定要注意,题中可没有
规定要平均分哦。
第6单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(28分)
1.5平方厘米=( )平方分米,3平方米40平方分米=( )平方米。
2.三角形的面积=( )×( )÷( )。
3.一个平行四边形的底是6.5厘米,面积是24.7平方厘米,它的高是( )厘米。4.一个梯形的下底是10米,上底是4米,高是下底的一半,这个梯形的面积是( )平方
米。
5.一个三角形与一个平行四边形等底等高,它们的面积相差30平方厘米,三角形的面积是(
)平方厘米,平行四边形的面积是( )平方厘米。
6.一个正方形的周长是20米,如果边长增加2米,那么正方形的面积增加了( )平方米,
周长增加了( )米。
7.一个梯形的面积是78.2平方厘米,已知上底是8厘米,下底是15厘米,它的高是( )
厘米。
8.一个长方形的周长是72厘米,正好可以分割成三个完全相同的正方形,每个正方形的周长
是( )厘米,面积是( )平方厘米。
二、选择(12分)
1.一个三角形的面积是0.5平方分米,高是0.4分米,它的底是( )。
A.0.25分米 B.2.5分米
C.1.25分米
2.一个平行四边形的面积是24 m2,高是6 m,它的底边长是( )。
A.3 m B.4 m C.8 m
3.直角三角形的高有( )。
A.一条 B.两条 C.三条
4.一个三角形底不变,高扩大到原来的5倍,它的面积( )。
A.扩大到原来的25倍
B.扩大到原来的5倍
1
C.缩小为原来的
25
三、动手画(12分)
1.请画出下图中AB边上的高。
2.画出一个和下面三角形面积相等的三角形。四、填表(18分)
图形 底/cm 高/cm 面积/cm2
12 5
平行四边形
2.4 6
2.5 1.2
三角形
15 24
上底4.5
9
下底5.5
梯形
上底26
360
下底34
五、解决问题(30分)
1.一个三角形,高是24米,底是30.5米,求它的面积。
2.一块平行四边形玻璃,底为5米,高为4米,每平方米玻璃售价48元。买这块玻璃需要多
少元?
3.某工厂的仓库里有一堆钢管,第一层有3根,第二层有5根,以后每层比上一层多2根,最
下面一层有11根,这堆钢管共有多少根?
4.一个梯形,它的上底是4厘米,下底是8厘米,面积是36平方厘米,求它的高。
5.计算下面图形的面积。(单位:厘米)
6.下面阴影部分的面积约是多少?(1个小方格表示1 cm2)
★附加题
如下图,正方形ABCD的边长为4厘米,三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米,求DE的长。
【参考答案】
一、1.0.05 3.4 2.底 高 2 3.3.8 4.35 5.30 60 6.24 8 7.6.8 8.36 81
二、1.B 2.B 3.C 4.B
三、1.提示:过C作AB边的垂线,点C与垂足间的线段即为所求。 2.提示:画一个和题中
三角形同底等高的三角形即可。
四、
高/
图形 底/cm 面积/cm2
cm
12 5 60
平行四边形
2.4 2.5 6
2.5 1.2 1.5
三角形
15 3.2 24
上底
4.5
9 45
下底
梯形 5.5
上底26
12 360
下底34
五、1.30.5×24÷2=366(平方米) 2.5×4=20(平方米) 20×48=960(元) 3.(11-
3)÷2+1=5(层) (3+11)×5÷2=35(根) 4.36×2÷(4+8)=6(厘米) 5.(1)4×9.6=38.4(平
方 厘 米 ) (4+9.6)×(8-4)÷2=27.2( 平 方 厘 米 ) 38.4+27.2=65.6( 平 方 厘 米 )
(2)16×5÷2=40(平方厘米) (6+16)×15÷2=165(平方厘米) 40+165=205(平方厘米)
6.略
附加题 因为三角形BCF的面积比三角形DEF的面积多2平方厘米,又因为S =S +S
正 梯 三角形
,S =S +S ,所以S -S =2平方厘米,S =S -2=4×4-2=14(平方厘
BCF 三角形ABE 三角形DEF 梯 正 三角形ABE 三角形ABE 正
米),而S =(AD+DE)×AB÷2,则DE=14×2÷4-4=3(厘米)。
三角形ABE
