文档内容
2024 年高考数学模拟考试卷（一）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
3．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
12
用电量（度） 140 160 180 200
0
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
4．已知函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 （ ）A． B． C． D．
5．“ ”是“函数 在 处有极小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与
球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点P，且点P关于直线 的对称点Q
在圆 上，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且
（ 的前 ），则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图所示，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，则下列说
法中正确的是（ ）A．存在点 ， ，使得
B．异面直线 与 所成的角为60°
C．三棱锥 的体积为
D．点 到平面 的距离为
10．设函数 ( ， ， )的图象关于直线 对称，它的周期是 ，则
以下结论不正确的是( )
A． 的图象过点
B． 在 上是减函数
C． 的最大值是A
D． 的一个对称中心是
11．对于数列 ，若存在数列 满足 （ ），则称数列 是 的“倒差数列”，
下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）
A．若数列 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B．若 ，则其“倒差数列”有最大值；C．若 ，则其“倒差数列”有最小值；
D．若 ，则其“倒差数列”有最大值.
12．已知抛物线 ，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为A、B，下列说
法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.
13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享
自行车被租用的概率为 .
14．已知非零向量 满足 ，则 的夹角大小是 ．
15．已知关于 的不等式 在 上有唯一的整数解，则实数 的取值范围为
.
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 和 ，O为坐标原点，过 作渐近线
的垂线，垂足为P，若 ，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另
一条渐近线于点Q，且 的面积 ，则该双曲线的方程为 ．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知数列 的各项均为正数，且满足 ．(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
18．在 中， ， ，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题
目的已知条件.
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．刷脸时代来了，全国各地不少大型超市迅速推出“刷脸支付”的服务，消费者购物再不用排长龙等买
单，只要刷个脸、输入个手机号， 分钟迅速结账.人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但
“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全
感问卷进行调查，并从参与的被调查者中随机抽取 人（中老年、青少年各 人），得到这 人对
“刷脸支付”安全满意度的中位数为 ，根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）已知抽取的这 人中对“刷脸支付”安全满意度高于平均数的中老年人有 人，判断是否有
的把握认为对“刷脸支付”安全满意度是否高于平均数与年龄有关？（注：每组数据以区间的中点
值为代表）
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动，活动方案为：从装有 个
形状、大小完全相同的小球（其中红球 个，黑球 个）的抽奖盒中，一次性摸出 个球，其中奖规则为：
若摸到 个红球，返消费金额的 ；若摸到 个红球则返消费金额的 ，除此之外不返现金.
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有
的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，有 的概率享受 折优惠，但不参加超市的抽奖返现金
活动.
现小张在该大型超市购买了总价为 元的商品.
①求小张选择方案一付款时实际付款额 的分布列与数学期望；（精确到小数点后一位数字）
②试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：参考公式及临界值表： ， .
20．如图，三棱柱 的所有棱长都为2， ， .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值.
21．已知 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线 于不同两点 ，且
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作 轴的垂线交直线 （ 是原点）于 ，过 作直线 的垂线与抛物线 的另一交点为 ，
中点为 .
①求点 的纵坐标；
②求 的取值范围.
22．已知函数 .
（1）若函数 有极大值点 ，求出极大值 的取值范围；
（2）若 ，求证：在区间 内有且仅有一个实数 ，使得 .
