安徽毛坦厂实验中学2025届高三11月期中考试数学答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_12月_241202安徽毛坦厂实验中学2025届高三11月期中考试

固镇县毛钽厂实验中学 2024~2025 学年高三 11 月月考 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平 面向量､数列（数列的概念､等差数列）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解. 【详解】依题意，解不等式 ，得 ， ， 而 ，因此 ， 所以 中元素的个数为8． 故选：B 2. 等差数列 满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据等差数列通项公式可得 与 ，进而可得解. 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， 则 ， 解得 ， 则 ， 所以 ， 故选：A. 3. 函数 在区间 上的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于 ，所以 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故函数的最小值为5. 故选：D. 4. 已知 ，则 （ ） 第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】由 ， 由 ， 可得 ， 所以 . 故选：C 5. 在 中，若 ，则 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将 化简为 ，从而可求解. 【详解】由 ，得 ， 化简得 ， 当 时，即 ，则 为直角三角形； 当 时，得 ，则 为等腰三角形； 第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司综上： 为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 6. 如图，在正八边形 中， ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解. 【详解】分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形 的边长 为1， 可得 ， ， ， ， 所以 ， ， . 因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ，则 . 故选：D. 第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司7. 已知函数 ，其中 ，若 在区间 内恰有两个极值点，且 ，则实数 的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干先求出 的范围，进而求出 的范围，再根据 得出函数 的 图象关于点 中心对称，最后根据 图像的对称中心得出结论. 【详解】由题意知，函数 在 内有两个极值点， 设两个极值点分别为 ，则 ，则 （ 为函数 的最小正周期）， 解得 .又 ，所以 ， 第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司由 ，得函数 的图象关于点 中心对称， 即 ，即 ， 由 ，得 ，即 的取值集合为 . 故选：B . 8 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简得到 ，构造函数 ，利用导数求得 在 上单调递减，得到 ，再由 ，得到 ，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得 ， 构造函数 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减，所以 ，故 ，即 ， 又由 ，而 ， 其中 且 ，所以 ，即 ， 第6页/共20页 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. 若 ，则 的值为 C. 若 ，则 的值为 D. 若 ，则 与 的夹角为锐角 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可. 【详解】对于A，因为 ，故A正确； 对于B，因为 ，所以 ，故B不正确； 对于C，因为 ，所以 ，故C不正确； 对于D，当 时， ，所以 ，故D不正确. 故选：BCD. 10. 朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪 世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问 题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大 小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子， 第7页/共20页 学科网（北京）股份有限公司顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为 ，共有44层，问全垛共有多少个果 子？现有一个 层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列 ，其前 项和为 ，则下列 结论正确的是（ ）（参考公式： ） A. B. 是等差数列 C. 函数 单调递增 D. 原书中该“堆垛问题”的结果为15080 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可. 【详解】对于A，每层的果子数分别为 ， 构成数列 ，则易知 ，故A错误； 对于B， 时， ， 故 为等差数列，故B正确； 第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司对于C， ，则 ，故 单调递增，C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 11. 设 与其导函数 的定义域均为 ，若 的图象 关于 对称， 在 上单调递减，且 ，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于原点对称 C. D. 的极小值为3 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解. 【详解】因为 的图象关于 对称，所以 ， 即 ，则 为偶函数，故A正确； 由 得， ，两边取导数得， ， 即 ，所以 ，则 是奇函数， 所以 图象关于点原点对称，故B正确； 由上可知， ，又由 得 ， 第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ， 所以有 ，即函数 是一个周期函数且周期为8； 又由 ，令 得， ， 则 ，故C错误； 由 在 上单调递减，又 的图象关于点 对称可知， 在 上单调递减，所以 在 上单调递减， 又 的图象关于 对称，所以 在 上单调递增， 由周期性可知， 在 上单调递增， 所以当 时， 取得极小值，即 ，故D错误， 故选：AB. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若 ，则函数 关于 中心对称； （2）若 ，则函数 关于 对称； （3）若 ，则函数 的周期为2a； （4）若 ，则函数 的周期为2a. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，若 ，则该扇形的面积为__________. 【答案】 或 【解析】 第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据余弦值确定圆心角，再根据扇形面积公式可得解. 【详解】 ， ， 或 ， 该扇形的面积 或 ， 故答案为： 或 . 13. 已知等差数列 的首项为 ，前 项和为 ，若 ，且 ，则 的取值范 围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前 项和公式求得公差，再由 得到 求解即可. 【详解】设公差为 ，由 得 ， 则 . 由 得 即 解得 . 故答案为： 14. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的值是__________. 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】 【解析】 【分析】不等式转化成 ，结合 和 在(0,+∞)上的单调性即 可求解. 【详解】因为x∈(0,+∞)，所以 恒成立，即 恒成立， 因为 在(0,+∞)上单调递减， 在(0,+∞)上单调递增， 若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于 轴正半轴上一点（否则必存在 ，使 ）， 所以当 ，即 且 时，原不等式恒成立， 所以 （负值舍去）. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知 、 、 为 的三个内角，向量 与 共线，且 . （1）求角 的大小； （2）求函数 的值域． 第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值； （2）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为 ，计算出角 的取值范围，利 用正弦型函数的基本性质可求得函数 的值域. 【详解】（1）由已知条件可得 ， 即 ，可得 ，即 ， ，则 ， ，则 ，所以， ，故 ； （2） ， 因为 ，则 ，所以， ，则 . . 所以， 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 16. 已知数列 的前 项和为 且 . 第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（1）求证：数列 是等差数列； （2）设 ，求数列 的前90项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，可得 ，两式相减 化简可得 ，即可的证； （2）由（1）得 ，讨论 可得 ，或 ，则得 的前90项的和为 又 ，计算可得答案. 【小问1详解】 因为 ， 所以 ， 两式相减得 ， 则 ， 因为 ， ， 所以 ，数列 是公差为2，首项为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得 ， 当 或 时， ， 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司当 或 时， ， 所以数列 的前90项的和为 ， 因为 ， 则上式 . 17. 如图，在四边形 中． ， ， ， 平分 且 与 相交 于点 ． （1）若 的面积为 ，求 ； （2）若 ，求 与 的面积之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在 中，明确 ， ， ，利用余弦定理可求 . （2）在 中，先用正弦定理求出 ，求出 的面积，进一步求出 的面积，即可求 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司与 的面积之比. 【小问1详解】 在 中， ， ， . 所以 . 在 中， ， ， . 所以 ， . 在 中， ， ， ， 由 得： ， 由余弦定理，得： 所以 . 【小问2详解】 因为 . 在 中， ， ， ， 所以 . 由正弦定理，得： . 第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司所以 . 所以 . 所以 . 18. 已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，求证： . 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后根据 和 分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间； （2）根据（1）的结论知 ，令 得 ，结合对数运算累加法即 可证明. 【小问1详解】 的定义域为 . ， ①当 时， 在 上单调递增； ②当 时， 时， 在 上是增函数． 第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司时， 在 上是减函数， 时， 在 上是增函数. 【小问2详解】 由（1）得，当 时， ， 在(0,3)上是减函数， 即当 时， ，所以 ， 令 得， ，即 ， 所以 ，得证. 19. 对于函数 ，若存在正常数 ，使得对任意的 ，都有 成立，我们 称函数 为“ 同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数 ， 都不是“ 同比不减函数”； （2）若函数 是“ 同比不减函数”，求 的取值范围； （3）是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不减函数”，若存在，求 的取值 范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取特殊值使得 不成立，即可证明； （2）根据“ 同比不减函数”的定义， 恒成立，分离参数 ，构造函 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司数，转化为 与函数的最值关系，即可求出结果； （3）去绝对值化简函数 解析式，根据“ 同比不减函数”的定义，取 ，因为 成立，求出 的范围，然后证明对任意的 ， 恒成 立，即可求出结论. 【详解】证明：（1）任取正常数 ，存在 ，所以 ， 因为 ， 即 不恒成立， 所以 不是“ 同比不减函数”. （2）因为函数 是“ 同比不减函数”， 所以 恒成立，即 恒成立， 对一切 成立. 所以 . （3）设函数 是“ 同比不减函数”， ， 当 时，因为 成立， 所以 ，所以 ， 而另一方面，若 ， 第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）当 时， 因为 ， 所以 ，所以有 成立. （Ⅱ）当x∈(−1,+∞)时， 因为 ， 所以 ， 即 成立. 综上，恒有有 成立， 所以 的取值范围是 . 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较 难题. 第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司