文档文本内容
第一讲 功和功率
知识梳理
一、功的概念
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是能量转化的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生了位移。
4．公式：W＝Flcosα。
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量，功的正负表示对物体做功的力是动力还是阻力。
5．功的正负
夹角 功的正负
0≤α< 力对物体做正功
<α≤π 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝ 力对物体不做功
6．一对作用力与反作用力的功
做功情形 图例 备注
都做正功
都做负功
一正一负 一对相互作用力做的总功可正、可负，也可
为零
一为正
一为
零
一为负
7．一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一
定是数值相等、一正一负或都为零。
二、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t之比叫作功率。2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
知识训练
考点一、恒力做功的分析和计算
1．恒力做功的计算方法
恒力做功的计算要严格按照公式W＝Fl cos α进行，应先对物体进行受力分析和运动分析，确定力、位移
及力与位移之间的夹角，用W＝Fl cos α直接求解或利用动能定理求解．
2．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F ，再用W ＝F l cos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W……再利用W ＝W＋W＋W＋……求合力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
例1、如图所示，质量分别为m 和m 的两个物体，m<m，在大小相等的两个力F 和F 的作用下沿水平方
1 2 1 2 1 2
向向右移动了相同的距离。若F 做的功为W，F 做的功为W，则( )
1 1 2 2
A．W>W B．W<W
1 2 1 2
C．W＝W D．条件不足，无法确定
1 2
例2、如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升
降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中．g取10 m/s2，求：(1)斜面对物体的支持力所做的功；
(2)斜面对物体的摩擦力所做的功；
(3)物体重力所做的功；
(4)合外力对物体所做的功．
例3、(2022·山东省二模)质量分别为2m和m的A、B两物体分别在水平恒力F 和F 的作用下沿水平面运
1 2
动，撤去F、F 后受摩擦力的作用减速到停止，其v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
1 2
A．F 和F 大小相等
1 2
B．F 和F 对A、B做功之比为2∶1
1 2
C．A、B所受摩擦力大小相等
D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2
课堂随练
训练1、 [2022·重庆南川检测](多选)如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体放在倾角为α＝37°的固定斜面
上，现用F＝30 N平行于斜面的力拉物体使其由静止开始沿斜面向上运动．已知物体与斜面之间的动摩擦
因数μ＝0.5，斜面足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.物体运动2 s后，关于各力做功的情
况，下列说法中正确的是( )
A．重力做功为－120 JB．摩擦力做功为－80 J
C．拉力做功为100 J
D．物体所受的合力做功为100 J
训练2、如图所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用，在力F作用下使物体甲
在水平方向移动相同的位移。μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物块，
比较物体甲移动的过程中力F对甲所做的功的大小( )
A．W最小 B．W 最大
a d
C．W>W D．四种情况一样大
a c
训练3、如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为 m、可视为质点
的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ，当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点
时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，B、O间距离也为L，小物块与水平面及斜面间的
动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到B点的过程中，F对小物块做的功为W ，小物块在BO段运动
F
过程中克服摩擦力做的功为W，则以下结果正确的是( )
f
A．W ＝FL(2cosθ－1) B．W ＝2FLcosθ
F F
C．W＝μmgLcosθ D．W＝FL－mgLsin2θ
f f
考点二、变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线与横轴所
0
围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝
·Δx
应用动
能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：W －
F F
mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F
例1、(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后释放。摆球从A点运动到B
点的过程中空气阻力的大小F 不变，则下列说法正确的是( )
阻
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F πL
阻
例2、如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况
如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
例3、如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力
F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的
功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2A．W>W
1 2
B．W<W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
例4、某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，起跳直至着地过程如图，测量得到比赛成绩是2.4 m，目
测空中脚离地最大高度约0.8 m，假设该同学的质量为60 kg，忽略空气阻力，则起跳过程该同学所做功为
(g＝10 m/s2)( )
A．750 J B．480 J
C．270 J D．1470 J
课堂随练
训练1、用铁锤把钉子钉入木板,设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉
进深度d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(
)
A． B．
C． D．
训练2、（2021·山东卷，3）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可
绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连．木块以水平初速度v 出发，恰好能完成一个完整
0
的圆周运动．在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )A． B．
C． D．
训练3、如图所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始
终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J．用F 表示物块受到的支持力，用F 表示
N f
物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是( )
A．F 和F 对物块都不做功
N f
B．F 对物块做功为2 J，F 对物块不做功
N f
C．F 对物块不做功，F 对物块做功为2 J
N f
D．F 和F 对物块所做功的代数和为0
N f
考点三、功率的分析和计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可
以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上
的分速度．
例1、如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随
时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 JC．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
例2、如图所示，AB是斜坡，BC是水平面，从斜坡顶端A以不同初速度v向左水平抛出同一小球，当初
速度为v 时，小球恰好落到坡底B。不计空气阻力，则下列图像能正确表示小球落地(不再弹起)前瞬间重
0
力瞬时功率P随v变化关系的是( )
例3、如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直
平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
课堂随练
训练1、无论是远海岛礁建设，还是超大型疏浚及填海造陆工程，都离不开钢铁巨轮——重型绞吸船。我
国自主研制的自航绞吸挖泥船“天鲲号”性能达到世界先进水平，其远程输送能力达 15000米，居世界第
一。若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为1.6×104 kW，排泥量为1.6 m3/s，排泥管的横截
面积为0.8 m2，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为( )
A．5×106 N B．8×106 NC．5×107 N D．8×107 N
训练2、如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与
斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率
和2 s末重力的瞬时功率分别为( )
A．48 W 24 W B．24 W 48 W
C．24 W 12 W D．12 W 24 W
训练3、一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一
水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲、乙所示，则以下说法正确的是( )
A．第1 s内，F对滑块做的功为3 J
B．第2 s内，F对滑块做功的平均功率为4 W
C．第3 s末，F对滑块做功的瞬时功率为1 W
D．前3 s内，F对滑块做的总功为零
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t图像
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA 分析 ＝P 额 ＝Fv 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
AB F＝F 阻⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
分析
段
运动 以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m性质
BC段
F＝F 阻⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
线运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<v ＝.
m
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt．由动能定理得：Pt－F x＝ΔE.此式经常用于求解机车
阻 k
以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
例1、(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P )从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程
额
中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是( )
例2、(多选)如图所示为起重机竖直向上提升质量为 50 kg的重物时的速度—时间图像，0～0.5 s图线为直
线，2.5 s之后，图线为水平直线，已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．0～0.5 s内，重物受到的拉力为800 N
B．0～0.5 s内，拉力的功率与上升高度成正比
C．0.5～2.5 s内，重物受到的拉力逐渐减小
D．0.5～2.5 s内，拉力的功率保持不变
例3、(2022·福建三明市模拟)广泛使用氢燃料作为交通能源是氢经济的一个关键因素．使用氢为能源的最
大好处是它跟空气中的氧反应，仅产生水蒸气排出，有效减少了传统汽油车造成的空气污染问题．一种氢
气燃料的汽车，质量为m ＝5.0×103 kg，发动机的额定功率为60 kW，在平直公路上行驶时所受阻力恒为
车重的0.1倍．若汽车保持额定功率从静止启动(g取10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度大小；
(2)当汽车的速度为6 m/s时的加速度大小．课堂随练
训练1、汽车在平直公路上以速度v 匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹区时，司机减小了油门，使汽车
0
的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开
始，汽车的速度与时间的关系( )
训练2、(多选)(2020·高考天津卷，T8)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我
国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为 m的动车，初速度为v ，以恒定功率P在平直轨道上
0
运动，经时间t达到该功率下的最大速度v ，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。动车在时间t内(
m
)
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fv
m
D．牵引力做功W＝mv－mv
训练3、(2021·高考湖南卷，T3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m
的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为 P，若动车组
所受的阻力与其速率成正比(F ＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为v 。下列说法正确的是( )
阻 m
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为v
m
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v ，则这一过程
m
中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt训练4、质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦
阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速
运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间．
同步训练
1、水平恒力F两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，第一次是在光滑水平面
上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F做的功和平均功率的大小关系是( )
A．W＝W，P>P B．W>W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
C．W>W，P>P D．W＝W，P＝P
1 2 1 2 1 2 1 2
2、(2021·浙江6月选考) 中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密
度为2.4×103 kg/m3，假设泵车的泵送系统以150 m3/h的输送量给30 m高处输送混凝土，则每小时泵送系
统对混凝土做的功至少为( )
发动机最大输出功率(kW) 332 最大输送高度(m) 63
整车满载质量(kg) 5.4×104 最大输送量(m3/h) 180
A．1.08×107 J B．5.04×107 JC．1.08×108 J D．2.72×108 J
3、(2022·马鞍山一模)一辆质量为m的汽车在水平路面上以速度v匀速行驶，此时发动机功率为P，汽车运
动过程中所受阻力恒定不变。当汽车功率突然变为P的瞬间，加速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
4、(2022·广东选考模拟)高铁在高速行驶时，受到的阻力f与速度v的关系为f＝kv2(k为常量)。若某高铁以
160 km/h的速度匀速行驶时机车的输出功率为P，则该高铁以320 km/h的速度匀速行驶时机车的输出功率
为( )
A．8P B．4P
C．2P D．P
5、一质量m＝2 kg的物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图
所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，则拉力的功率最大值是( )
A．30 W B．50 W
C．60 W D．120 W
6、(2021·广东省广州市高三二模)已知动车组列车每节动车的额定功率相同，每节动车与拖车质量相等，
动车组运行时所受阻力与其重力成正比。若某动车组由 4节动车加8节拖车组成，其运行的最大速率为
240 km/h，则由该4节动车加4节拖车组成的动车组，运行的最大速率为( )
A．480 km/h B．360 km/h
C．320 km/h D．240 km/h
7、(2022·湖南高考模拟)如图，小物块P在沿斜面向上的拉力F作用下沿固定光滑斜面匀速上滑。现将力F
的方向变为水平向右，仍使P保持原来的速度沿斜面匀速上滑。则变化后与变化前比较( )
A．斜面对物块的支持力不变
B．力F变大
C．力F变小D．力F的功率变大
8、(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面．某竖井中矿车提升的速度大小 v随
时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都
相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等．不考虑摩擦阻力和空气阻力．对于第①次和第②次提升过
程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
9、(2022·东北三省四市质检)“ETC”是高速公路上电子不停车收费系统的简称。若某汽车以恒定功率匀速行
驶，为合理通过收费处，司机在t 时刻使汽车功率减半，并保持该功率行驶，到t 时刻又做匀速运动；通
1 2
过收费处后，逐渐增加功率，使汽车做匀加速运动直到恢复原来功率，以后保持该功率行驶。设汽车所受
阻力大小不变，则在该过程中，汽车的速度随时间变化的图像可能正确的是( )
10、风力发电是一种环保的电能获取方式。某风力发电机的叶片转动形成的圆面积为 S，某时间风的速度
大小为v，风向恰好跟此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电机将空气动能转化为电能的效率为
η，则风力发电机发电的功率为( )
A．ηρSv2 B．ηρSv2
C．ηρSv3 D．ηρSv3
11、(多选)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数的关系图
像如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则( )A．汽车所受阻力为6×103 N
B．汽车的车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车的车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
12、(2022·青岛黄岛区期末)校园农业实践基地里安装了一个灌溉喷头，装置示意图如图所示。已知地面与
水面的距离为H，用水泵从水池抽水，喷头与地面的距离为h，水管横截面积为S，水的密度为ρ，重力加
速度为g，不计空气阻力。水从管口以不变的速度源源不断地沿水平方向喷出，水落地的位置到喷头出口
的水平距离为4h，设管口横截面上各处水的速度都相同。
(1)求水从喷头喷出时的速度大小；
(2)若水泵的工作效率为η，则水泵的功率为多大？
