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专题04 平面向量的线性运算与数量积
1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
3、（2023年全国乙卷数学（文））3．正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
4、（2023年全国乙卷数学（理））4．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交
于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5、（2023年全国甲卷数学（文））5．已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、（2023年全国甲卷数学（理））6．向量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．7、【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
9、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=
（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
10．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t=（ ）
A．−6 B．−5 C．5 D．6
11、【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________．
1
12．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________．
3
13、（2023年新高考天津卷）7．在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，
若设 ，则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．
题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用
1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出
定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
1-2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形 中，点 在边 上， ，
记 ，则 （ ）A． B．
C． D．
1-3、（2023·山西·统考一模）已知矩形 中， 为 边中点，线段 和 交于点 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
1
AD BC
1-4、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形ABCD满足 4 ，平面内点E满足
BE 3CE CD AE M BM xAB yAD x y
， 与 交于点 ，若 ，则 （ ）
5 5 4 4
A．2 B． 2 C．3 D． 3
题组二、向量的坐标运算
2-1、（2023·山西运城·统考三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数
（ ）
A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或
2-2、（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2-3、（2023·辽宁·校联考三模）已知向量 ， ，且 ，则 ______.
2-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量 ，若 ，
则 __________.2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量 ， ，则下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．存在 ，使得
题组三、向量的夹角与模
3-1、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量 满足 ， ，且 与 的
夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3-3、（2023·重庆·统考三模）已知 是单位向量，向量 满足 与 成角 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为
（ ）
A． B． C． D．
题组四、向量的投影4-1、（2023·安徽黄山·统考三模）已知 向量 满足 ，则 在 方向上的投
影向量的模长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4-2、（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B．
C． D．
4-2、（2023·浙江·校联考三模）（多选）在平面直角坐标系中，已知点 ，则
（ ）
A．
B． 是直角三角形
C． 在 方向上的投影向量的坐标为
D．与 垂直的单位向量的坐标为 或
4-3、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量 ， ，则向
量 在 上的投影向量为_____ .
题组五、向量数量积的运用
5-1、（2023·湖北·校联考三模）正 的边长为2， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
5-2、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，
且 ，则 的值为（ ）A． B． C．1 D．
5-3、（2023·安徽·校联考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛
三角形中，已知 ，P为弧AC上的一点，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5-4、（2023·湖南永州·统考三模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1
是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内
部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则 的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．4 C．3 D．
2、（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形 中， 是 边上中点，则 （ ）
A． B． C． D．
3、（2023·云南红河·统考一模）已知向量 ， ，且 ，则实数
（ ）
A．2 B． C．8 D．4、（2023·云南玉溪·统考一模）在扇形COD中 ， ．设向量 ，
，则 （ ）
A．－4 B．4 C．－6 D．6
5、（2023·云南·统考一模）平面向量 与 相互垂直，已知 ， ，且 与向量 的夹角是
钝角，则 （ ）
A． B． C． D．
6、（2023·山西临汾·统考一模）已知 ， 为不共线的非零向量， ， ，
，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， 三点共线
C． ， ， 三点共线 D． ， ， 三点共线
7、（2023·河北唐山·统考三模）正方形 边长为 ， 为 中点，点 在 上， ，
则 （ ）
A． B． C．5 D．10
8、（2023·安徽宿州·统考一模）（多选题）已知平面向量 ， ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则向量 在 上的投影向量为 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角
9、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若向量 ， ，且 ， 共线，则
______．10、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知向量 ， ，若 ，则
______
11、（2023·安徽安庆·校考一模）已知向量 ，设 与 的夹角为 ，则
__________.
12、（2023·山西晋中·统考三模）设向量 与向量 的夹角为 ，定义 与 的向量积： 是一个向量，
它的模 ．若 ， ，则 （ ）
A．-1 B．1 C． D．
