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专题06 函数的单调性
专项突破一 判断或证明函数的单调性
1．下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A： 定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，则函数在 上单调递减，故A错误；
对于B： 则 ，
所以当 或 时 ，则函数在 和 上单调递增，故B正确；
对于C： 定义域为 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 或 时 ，
所以函数在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，故C错误；
对于D： ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故D错误；
故选：B
2．已知函数 满足，对任意 有 ，若 为锐角三角形，则一定成立的
是（ ）
A． B．C． D．
【解析】不妨设 ，则 ，又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，故选：C
3．(多选)下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ， 定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都是R，
A中函数是奇函数，B中函数 ，是奇函数，
C中函数 ，是奇函数，
D中函数， ，是奇函数，
A中函数在定义域内不是减函数，
B中函数由于 是减函数， 是增函数，因此 是减函数，
C中函数， 时， 递增， 递增， 递增，所以 递增，不是减函数，
D中， 时， 是减函数，由于其为奇函数，因此在 上也递减，从而在定义域内递减，
故选：BD．
4．函数 .(1)判断并证明函数 的单调性；
(2)判断并证明函数 的奇偶性；
(3)解不等式 .
【解析】(1) ，任取 ，令 ，
则 ，
∵ 则 ，可得 ，
∴ 即 ，∴函数 在 上递增．
(2) 的定义域为 ，∵ 即 ，
∴ 为定义在 上的奇函数．
(3) 即 ，
∵函数 在 上递增，
∴ 即 或 ．
5．已知函数 是定义在 上的奇函数，且
(1)用定义证明 在 上单调递增；
(2)若 ，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ， 所以 ，经检验满足 ，设任意 ，
，
因为 ，以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增.；
(2)因为 是定义在 上的奇函数， 所以 ，
等价于 ，又因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ， 所以实数m的取值范围是
6．函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
(1)确定 的解析式
(2)判断 在 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)解关于 的不等式 ．
【解析】(1)根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，
则 ，解可得 ；又由 ，则有 ，解可得 ；
则
(2)由（1）的结论， ，在区间 上为增函数；
证明：设 ，则又由 ，则 ， ， ， ，
则 ，即 ，则函数 在 上为增函数.
(3)由（1）（2）知 为奇函数且在 上为增函数.
，
解可得： ，即不等式的解集为 .
7．已知函数 定义域为 ，若对于任意的 ，都有 ，且 时，有
.
(1)证明： 为奇函数；
(2)证明： 在 上是增函数；
(3)设 ，若 ，对所有 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为有 ，
令 ，得 ，所以 ，
令 可得： ，
所以 ，故 为奇函数．
(2)由（1）可知 是定义在 ， 上的奇函数，
由题意设 ，则
由题意 时，有 ，
是在 上为单调递增函数；
(3)由（1）（2）可知 是 上为单调递增函数,所以 在 上的最大值为所以要使 ，对所有 ， 恒成立，只要 ，
，由 ，可得 ，解得
所以实数 的取值范围为
8．已知函数 的定义域是 ，对定义域内的任意 都有 ，且当
时， .
(1)证明：当 时， ；
(2)判断 的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) ； ；
当 时， ； ； 当 时， .
(2)单调递减.证明： ， ，
， ， ，即 ， 单调递减，
(3) 函数 的定义域是 ， ；
恒成立；
由（2）， 单调递减， 恒成立， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ；又 有意义，所以 ，
综上： .
9．已知函数 ．
(1)证明： 为奇函数．
(2)判断 的单调性，并结合定义证明．
(3)若对任意 ，都有 成立，求a的取值范围．
【解析】(1)∵ ，∴ 恒成立，故 的定义域为R．
∵ ，∴ ，
故 为奇函数．
(2) 在R上单调递减．证明如下：令 ．
设 ，则
．
∵ ， ， ，∴ ，即 ，
故 在 上单调递减，可得 在 上单调递减．
又∵ 为奇函数，∴ 在R上单调递减．
(3)由(2)得 在R上单调递减，
则对任意 ，都有 成立，
即对任意 ，都有 成立．令 ，∵ ，∴ ．
由 ，得 ．
原不等式为 ，即 ．令函数 ．
∵函数 和 都在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，
∴ ．故a的取值范围是 ．
专项突破二 求单调性区间
1． 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 或 ，则函数的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在定义域内为减函数，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的单调增区间为 ，故选：C
2．函数 的单调增区间为（ ）
A． B． C． 和 D．
【解析】由 可得 且 ，
因为 开口向下，其对称轴为 ，所以 的减区间为 和 ，所以 的单调增区间为 和 ，故选：C
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【解析】先考虑定义域： ，解得 或 ，
是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 是由 和 复合而成的，
是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当 时 是增函数，故选：D.
4．函数 的递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【解析】当 时， ， ，解得： ，
又 为开口向下的抛物线，对称轴为 ，此时在区间 单调递减，
当 时， ， 为开口向上的抛物线，对称轴为 ，
此时在 单调递减，
综上所述：函数 的递减区间是 和 .故选：B.
5．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 ，令 ，（ ），所以原函数化为： ，对称轴为 ，该函数在 单调递增，
而 ，故 在 上单调递增，故选：A.
6．函数 的单调递减区间为__________．
【解析】当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，综上， 的单调递减区间为
7．函数 的单调减区间是______．
【解析】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数 的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为 ，
8．函数 ， 的单调增区间为______．
【解析】由题意可得 ,令 ，
则 ，当 时, 单调递减，当 时， 单调递增,
而对于 ，当 时, 时 递减， 时 递增，
当 时, 时 递减， 时 递增，
函数 ， 的单调增区间为9．函数 的单调递增区间是______．
【解析】函数的图象如图所示：
由图象知：其单调递增区间是
10．已知函数 恒过定点 ，则函数 的单调递增区间为______．
【解析】因为函数 恒过定点 ，所以 ，所以 ，
所以 的单调递增区间为 .
11．已知对任意的 ，都有 ，当 时， .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间.
【解析】(1)当 时，∴ .
∵对任意的 ，都有 ，∴ .
∴ 其中 .
(2)∵二次函数 的图像开口向上，对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
∵二次函数 的图像开口向上，对称轴为直线 ，且 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.∴函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
专项突破三 图像与单调性
1．已知函数 的图象如图所示，若 在 上单调递减，则 的取值范围为________．
【解析】由图可知， 的单调递减区间为 、 ．
因为函数 在 上单调递减，则 或 ，
由题意得 或 ，即 或 ．
2．已知函数 ．
(1)在下列网格纸中作出函数 在 上的大致图象；
(2)判断函数 的奇偶性，并写出函数 的单调递增区间，不必说明理由．
【解析】(1)当 时， ，其大致图象如下所示：(2)函数 的定义域为 ， ，
所以，函数 为偶函数，
由（1）中的图象结合偶函数的性质可知，函数 的单调递增区间为 、 .
3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，
如图所示．
(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合；
(4)求出函数f(x)在R上的解析式.
【解析】(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：
(2)由（1）所得函数图象知：单调递增区间为(－1,1)，值域R.
(3)由（1）所得函数图象知：使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,＋∞).
(4)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(x)＝－f(－x).
当x>0时，-x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]=－x2+2x.
综上，
专项突破四 根据单调性比较大小
1．设偶函数 的定义域为R，当 时， 是减函数，则 ， ， 的大小关系
是（ ）．A． B．
C． D．
【解析】函数 为偶函数，则 ，
当 时， 是减函数，又 ，则 ，则
故选：C
2．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得： ， ，
， ，故选：C
3．设 ，则a，b，c的大小关示是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ， ， ，所以 ．故选：D．
4．已知函数 ，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 在 上单调递增（增+增=增），且 ，
所以 ，又 ，所以 ， ，故选：D．
5．定义域为R的函数 满足:对任意的 ，有 ，则有（ ）
A． B．C． D．
【解析】定义域在 上的函数 满足：对任意的 ， ，有 ，
可得函数 是定义域在 上的增函数，所以 （1） （3）．故选： ．
6．若函数 为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f(2a)>f(a)>f(0) B．f(2a)>f(0)>f(a)
C．f(a)>f(2a)>f(0) D．f(a)>f(0)>f(2a)
【解析】根据题意， ， 时， 此时， ，
根据 可得 ，故 ，
又 时， ， 在 上为单调增函数，
，选项A正确.
7．已知函数 ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ， ，∴当 时， ，函数 为减函数；
当 时， ，函数 为增函数，又 ，∴ .故选：C.
8．设 ， ， ，则 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【解析】：令 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增，故当 时，函数取得最大值 ，因为 ， ， ，
，当 时，函数 单调递增，可得 ，即 ．故选：B．
9．函数 ，若 ， ， ，则有（ ）．
A． B．
C． D．
【解析】由题知， ， ， ，
所以 ，因为 在R上单调递增，
所以 ，故选：B
10．设函数 是定义在R上的函数，其中 的导函数 满足 对于 恒成立，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解析】设 ，则 ，故 在 上单调递减，
， ，即 ， ，
， ．故选：C．
11．已知定义在R上的函数 满足当 时，不等式 恒成立，
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【解析】
，
所以当 时， ；
当 时， ，因此函数 是R上的减函数，
因为 ， ，
，所以 ，又因为函数 是R上的减函数，
所以 ，即 ，故选：C
专项突破五 根据单调性解不等式
1．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 为奇函数， ，又 ， ，
则 可化为： ，
在 单调递增， ，解得： ， 的取值范围为 .故选：C.
2．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 定义域为R， ，则函数 是奇函数，是R上增函数，
，于是得 ，解得 或 ，
所以所求不等式的解集是 .故选：C
3．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 在 单调递减， ，则
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 是定义在R上的偶函数，所以 的图象关于直线 对称.因为
在 上单调递减，所以在 上单调递增.因为 ，所以 .
所以当 时， ；当 时， ．
由 ，得 或 解得 ．故选：C
4．若奇函数 在 单调递增，且 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 是奇函数在 单调递增，且 可知：当 时， ，
当 时， ，又 或 ，解得： 或
满足 的x的取值范围是 或 ，故选：D5．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 的定义域为 ， 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以由 可得： ，
解得： ．故选：D．
6．已知函数 ，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（ ）
A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1)
【解析】 的定义域满足 ，由 ，
所以 在 上恒成立. 所以 的定义域为 ，
，
则
，
所以 ，即 为奇函数.设 ，由上可知 为奇函数.
当 时， ， 均为增函数，则 在 上为增函数.
所以 在 上为增函数.
又 为奇函数，则 在 上为增函数，且 ，所以 在 上为增函数.又 在 上为增函数， 在 上为减函数，
所以 在 上为增函数，故 在 上为增函数，
由不等式 ，即 ，
所以 ，则 ，故选：B
7．已知 是奇函数，若 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 是奇函数， 恒成立，
即 恒成立，
化简得， ，即 ，
则 ，解得 ，又 且 ， ，
则 ，所以 ，
由复合函数的单调性判断得，函数 在 上单调递减，又 为奇函数，
所以 在 上单调递减；由 恒成立得，
恒成立，
则 恒成立，
所以 恒成立，解得 .故选：B.
8．定义在R上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于原点对称，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因对任意 都有 ，即 ，令 ，
则对任意 恒有 成立，即函数 在 上单调递减，
又函数 的图象关于原点对称，即函数 是R上的奇函数，
，则函数 是R上的奇函数，
因此，函数 在 上单调递减，
而 ，即 ，当 时，不等式 化为 ，解得 ，
当 时，不等式 化为 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .故选：A
9．已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，当 时，都有
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，得 ，因为 ，所以 ，即 ，设 ，
则 在 上单调递减，而 ，
则 ，解得： ；
因为 为R上的奇函数，所以 ，
则 为R上的偶函数，故 在 上单调递增，
，则 ，解得： ；
综上，原不等式的解集为 .故选：B.
10．已知函数 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意 ， ，
由于 ，故 为奇函数，
当 时， 递增，故 递增，
故当 时， 递增，
而 ，故函数 在 上单调递增，
且 时， ， 时， ，
故对于 ，当 时，即为 ，
即 ，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；
当 时，不等式即 ，由于 ，故 不成立,
说明 不是不等式 的解，故A错误,故选：D
11．已知函数 ，则满足不等式 的x的取值范围是___________.
【解析】由题意，函数 的定义域为R，
因为 ，所以函数 为奇函数，
又 ，所以函数 在R上单调递增，
所以不等式 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以满足不等式 的x的取值范围是
12．设函数 ，则不等式 的解集为________．
【解析】∵函数 ，定义域为 ，
当 时， ，
∵函数 在 上单调递减，函数 在其定义域上单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，
∴ ， ，∴ ，即 ，解得 ，
∴不等式 的解集为 .13．已知定义在R上的可导函数 满足 ，且 的导函数 满足： ，则不等
式 的解集为___________.
【解析】因为 ，所以 ，构造 ，则 ，
即 在R上单调递增，因为 ，所以
变形为 ，即 ，由 的单调性可知： .
故答案为：
专项突破六 根据单调性求参
1．若函数 在区间 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 的对称轴为 ，开口向上，又函数在 上单调递减，
所以 ，解得 ，即 ；故选：B
2．若函数 在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，由于函数 在 上是减函数，
函数 为 上的增函数，则函数 为 上的减函数，
所以， ，解得 .故选：B.
3．已知函数 若对任意 ， ，且 ，有成立，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【解析】因为 成立，所以函数在R上单调递减，
由题意，得 , ．故选:D．
4．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ ，∴ ，
若 在区间 内存在单调递增区间，则 有解，
故 ，令 ，则 在 单调递增， ，
故 .故选：D.
5．已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】可知函数 在R上单调递增，所以 ；
对称轴 ，即 ；临界点处 ，即 ；
综上所述： ，故选：B
6．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】函数 定义域为 ， ，
因 在 ， 上单调，则函数 在 ， 上单调，
而函数 在区间 上单调递减，
必有函数 在 上单调递减，而 在 上递增，则 在 上递减，
于是得 ，解得 ，
由 ， 有意义得： ，解得 ，因此， ，
所以实数 的取值范围是 .故选：C
7．函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）
