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专题 06 切线、公切线与切线逼近型归类
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题型一：有切点切线方程.....................................................................................................................................................1
题型二：无切点型切线关系.................................................................................................................................................2
题型三：“在点”型切线求参.............................................................................................................................................2
题型四：“过点”型切线方程.............................................................................................................................................3
题型五：“过点”型切线条数判断.....................................................................................................................................4
题型六：“过点”型切线条数求参.....................................................................................................................................5
题型七：三角函数型切线综合应用.....................................................................................................................................6
题型八：函数公切线.............................................................................................................................................................7
题型九：函数公切线求参数范围.........................................................................................................................................7
题型十：函数公切线条数判断.............................................................................................................................................9
题型十一：公切线综合.........................................................................................................................................................9
题型十二：切线逼近求零点...............................................................................................................................................10
题型十三：双切线存在性...................................................................................................................................................11
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参.......................................................................................................................12
题型一：有切点切线方程
若已知函数 与切点 ，不知斜率 。此时 ,利用点斜式写出切线方程
1：求 ，得切点 ；
2：求导数 ，得 ；
3：写切线方程 .
1.（2023·全国·三模）已知定义域为 的函数 的图像关于原点对称，且 ，若曲线
在 处切线的斜率为4，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三下·福建莆田·阶段练习）函数 的图象在点 切的切线分别交 轴，
轴于 、 两点， 为坐标原点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知 是定义在 上的单调函数，满足 ，则
在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时，
，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（23-24高二下·山西运城·开学考试）定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，
，则曲线 在点 处的切线方程为 .
题型二：无切点型切线关系
若已知函数 与斜率 ，不知切点。此时设切点 ，此时 解出 ，再将 代入
解出 ,此时利用点斜式写出切线方程
1：求导数 ，令 ，求解得 ；
2：求 ，得切点 ；
3：写切线方程 .
1．（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京·二模）点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为 的点P有且仅有3个，
则实数a的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（21-22高三·重庆·阶段练习）已知函数 ，若 在 和 处切线平行，
则
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数 有三个零点 ， ， ，且在点 处切线
的斜率为 ，则 .
5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 ，设曲线 在点
处切线的斜率为 ，若 ， ， 均不相等，且 ，则 .
题型三：“在点”型切线求参若已知函数 与平面上一点 ，不知切点与斜率 。设切点 ，此时 ,由切点
与斜率 写出切线方程 ，再将点 代入，解出切点.
1：设切点 ；
2：求导数 ，得 ；
3：写切线方程 ；
4：将 代入步骤3，解得 ；
5：将 代入步骤3，得切线方程.
1．（22-23高二下·广东广州·期末）已知曲线 在点 处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D．
2．（2022·山西晋城·一模）已知函数 ， 的图像在点 处的切线 与 轴交于点 ，过点
与 轴垂直的直线 与 轴交于点 ，则线段 中点 的纵坐标的最大值是
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·一模）已知函数 在点 处的切线为 ，若直线 在
轴上的截距恒小于 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（21-22高二上·河南商丘）设直线 分别是函数 图象上点 、 处的切线， 与 垂直
相交于点 ，则点 横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022全国·二模）设点P在曲线 上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为
A．2 B．1 C． D．
题型四：“过点”型切线方程1．（22-23高二下·湖北咸宁·开学考试）过原点的直线 与分别与曲线 ， 相切，则直
线 斜率的乘积为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）过点 可以作曲线 的两条切线，切点的横坐标分别
为m，n，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．（2022·河南·模拟预测）已知 ，过原点作曲线 的切线，则切点的横坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川南充·三模）已知函数 ，过点 作函数 图象的两条切线，切点分
别为M，N．则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线MN的方程为
C． D． 的面积为
5．（2022·河南商丘·三模）已知曲线 的一条切线在 轴上的截距为2，则这条切线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
题型五：“过点”型切线条数判断
“过点型”切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。1．（2022·全国·模拟预测）过点 作曲线 的切线，当 时，切线的条数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京海淀·一模）已知 ，函数 的零点个数为 ，过点 与曲线
相切的直线的条数为 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·湖北·期中）函数 为 上的奇函数，过点 作曲线
的切线，可作切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
4．（2023·吉林通化·模拟预测）若过点 可作曲线 的两条切线，则点 可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题型六：“过点”型切线条数求参
若已知函数 过平面上一点 ，且 或点 其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，
可参考考向四，设切点 ，此时 ,由切点 与斜率 写出切线方程
，再将点 代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
1．（23-24高二下·河北保定·期中）已知函数 ，若过 可做两条直线与函数 的图象
相切，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）若过点 可作函数 图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江西九江·一模）已知函数 （ ），点 位于曲线 的
下方，且过点 可以作3条直线与曲线 相切，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4．（22-23高二下·山西晋中·阶段练习）已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高三·四川南充·期中）已知函数 ，过点 作曲线 的切线，当 时，可
作两条切线，则 的取值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
题型七：三角函数型切线综合应用
三角函数型切线，要注意三角函数的周期性与正余弦函数的有界性。
1．（23-24高三上·浙江温州·）已知 ，函数 在点 处的切线
均经过坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·二模）已知直线 与函数 的图象恰有两个切点，设
满足条件的 所有可能取值中最大的两个值分别为 和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）将函数 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转 角
得到曲线 ，已知曲线 始终保持为函数图象，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 图象上有一最低点 ，将此
函数的图象向左平移 个单位长度得 的图象，若函数 的图象在 处的切线
与 的图象恰好有三个公共点，则 的值是 .5．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数 （ 且 ），其中 的最
小正周期 ，且 ，函数 的图象在 处的切线与 的图象恰
好有3个公共点，则 .
题型八：函数公切线
对函数 ，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
)和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线 与 的公共点，且与曲线 和
的公切线 垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二下·辽宁阜新·阶段练习）已知两条不同的直线与曲线 都相切，则这两
直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．24.23．（2021高二·江苏·专题练习）已知函数 ， ，若函数 的图象与函
数 的图象在交点处存在公切线，则函数 在点 处的切线在y轴上的截距为 （ ）
A． B． C． D．
题型九：函数公切线求参数范围
求函数 和 的公切线.
1：设函数 的切点为 ，设函数 的切点为 ；
2：求导数 与 ，得函数 的斜率 ，函数 的斜率 ；
3：函数 的切线 ，函数 的切线 ；
4：化简得 ， ；
5：对比得 ，联立解方程得公切线.
1．（2023·广东深圳·一模）已知函数 ， ，若总存在两条不同的直线与函数
， 图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函数 ，若存在两条不同的直线与函数
和 图像均相切，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北·模拟预测）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南保山·二模）若函数 与函数 的图象存在公切线，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．5．（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则k的最大值是（ ）
A． B． C．2e D．4e
6.（21-22高三上·四川成都·期中）如果直线 与两条曲线都相切，则称 为这两条曲线的公切线，如果曲线
和曲线 有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：函数公切线条数判断
1．（21-22高二下·山东菏泽·阶段练习）若直线 与曲线 和 都相切，则直线 的条数有（ ）
A． B． C． D．无数条
2．（2018·江西南昌·一模）已知函数 ，则 和 的公切线的条数为
A．三条 B．二条 C．一条 D．0条
3（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·山东·一模）已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（17-18高二下·云南保山·期末）已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．
6．（2022·江西南昌·一模）已知函数 ，若 和 图象有三条
公切线，则 的取值范围是
A． B． C． D．
题型十一：公切线综合两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
1．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线 与直线 是曲线 的两条切线，也是
曲线 的两条切线，则 的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
2．（20-21高二下·湖北武汉·期中）若曲线 上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为
① ； ② ； ③ ； ④ .
A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③
3．（21-22高三上·河北唐山·期末）已知直线 与曲线 和 分别相切于点 ，
.有以下命题：（1） ( 为原点)；（2） ；（3）当 时，
.则真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知曲线 与 的两条公切线所成角的正切值为 ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．
5.（23-24高二下·北京·期中）若曲线 上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的“自公切线”，则下列曲线 中，所有存在“自公切线”的序号为 ．
① ；
② ；
③ ；
④ ．题型十二：切线逼近求零点
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
1.（21-22高二下·河南开封·期末）若函数 有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（21-22高三·湖南长沙·阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当 时，
，若函数 恰有一个零点，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022江西南昌·一模）定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，
若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为．
A． B．
C． D．
4.（20-21高三上·河南·阶段练习）已知函数 ， 在 上
有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十三：双切线存在性已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点.
不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)（平行），或者f′(x)*g′(x)=-1（垂直）
1 2 1 2
1.（22-23高三上·山东泰安·阶段练习）设曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，曲线 上任意一点处的切线为 ，若对任意位置的 总存在 ，使得 ，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·安徽合肥·二模）若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数
的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3. （多选）（20-21高二下·福建宁德·期中）若以函数 的图象上任意一点 为切点作切线
， 图象上总存在异于P点的点 ，使得以Q为切点的切线 与 平行，则称函数
为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有（ ）
A． B．
C． D．
4.（20-21高三上·全国·阶段练习）设函数 图象上任意一点处的切线为 ，总存在函数图象
上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的最小值为 .
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
1.（2022高三·全国·专题练习）已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（21-22高三上·黑龙江大庆·期中）设函数 ，其中 ，若不等式 有
且只有三个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高二下·安徽安庆·期末）已知函数f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有
两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
4. （多选）（2021高二·江苏·专题练习）已知函数 ，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程 有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D．不等式 在 恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
