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第28课时 与圆有关的计算
1.一张直径为40 cm的圆饼被切掉了一块,数据如图所示,则优弧ABC的长度为 ( )
A.10π cm B.15π cm
C.20π cm D.30π cm
2.如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则 ⏜ 的长为 ( )
AB
A.30π B.25π C.20π D.10π
3.如图,矩形ABCD的顶点在☉O上,E为 ⏜ 上的一点,若OE∥CD,OE=CD=3,则 ⏜ 的长为 ( )
AD AE
1
A. π B.π C.2π D.3π
2
4.某校在社会实践活动中,明明同学用一个直径为 24 cm的定滑轮带动重物上升.如图,滑轮上一
点A绕点O逆时针旋转105°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 ( )
A.3.5π cm B.7π cm C.12π cm D.24π cm
5.(2024·云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40
cm,底面圆的半径为30 cm,则该圆锥的侧面积为 ( )
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A.700π cm2 B.900π cm2
C.1 200π cm2 D.1 600π cm2
6.传统文化某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动,小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图,
OA=20 cm,OB=5 cm,纸扇完全打开后,外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°,现需
在扇面一侧绘制山水画,则山水画所在纸面的面积为 ( )
25
A. π cm2 B.75π cm2
3
C.125π cm2 D.150π cm2
7.(2024·邯郸邯山区一模)将一个半径为1的圆形纸片,如图,连续对折三次之后,用剪刀沿虚线①
剪开,则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为 ( )
π π π π
A. ,180° B. ,540° C. ,1 080° D. ,2 160°
2 4 4 3
8.(2024·长沙)半径为4,圆心角为90°的扇形的面积为 (结果保留π).
9.(2024·宿迁)已知圆锥的底面半径为 3,母线长为 12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为
°.
10.(2024·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为
cm.
11.生活情境(2024·邢台模拟)石家庄水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光,据工作
人员介绍,新建摩天轮直径为100 m,最低点距离地面1 m,摩天轮的圆周上均匀地安装了 24个座
舱(本题中将座舱视为圆周上的点),游客在距离地面最近的位置进舱.
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m.
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱(如图,此时小明和小亮分别位于P,Q两点).
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离( ⏜ 的长);
PQ
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差.
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1.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,OA=1,将OA绕点O顺时针旋转45°到OA ,
1
扫过的面积记为S ,A A ⊥OA 交x轴于点A ,将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ,扫过的面积记
1 1 2 1 2 2 3
为S ,A A ⊥OA 交y轴于点A ,将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA ,扫过的面积记为S ;…;按此规
2 3 4 3 4 4 5 3
律,则S = ( )
2 024
A.22 020π B.22 021π C.22 022π D.22 023π
2.(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
图1 图2
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
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步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
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【详解答案】
基础夯实
40
(360-90)π·
1.D 解析:优弧ABC的长度为 2 =30π(cm).故选D.
180
150·π·24
⏜
2.C 解析:∵∠AOB=150°,OA=24,∴ 的长为 =20π.故选C.
AB
180
3.B 解析:如图,连接OA,OC,OD,则OA=OE=OC=OD=CD,
∴△COD是等边三角形,
∴∠COD=∠OCD=∠ODC=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥DC.
∵OE∥CD,∴∠AOE=∠OCD=60°,
60π×3
⏜
∴ 的长为 =π.故选B.
AE
180
105π×12
4.B 解析:根据题意得l= =7π(cm),则重物上升了7π cm.故选B.
180
1
5.C 解析:圆锥的侧面积= ×2π×30×40=1 200π(cm2).故选C.
2
6.C 解析:由题知,S =
扇形OAC
120·π·202 400
= π(cm2),
360 3
120·π·52 25
S = = π(cm2),
扇形OBD
360 3
400 25
所以山水画所在纸面的面积为: π- π=125π(cm2).故选C.
3 3
7.C 解析:根据题意得虚线①所对的圆弧对应的圆心角为45°,展开后得到的多边形为正八边形,所以虚线①所
45×π×1 π
对的圆弧长为 = ,展开后得到的多边形的内角和为180°×(8-2)=1 080°.故选C.
180 4
90π×42
8.4π 解析:扇形的面积= =4π.
360
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9.90 解析:设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°,由题意得,
nπ×12
=2π×3,解得n=90.
180
10.√15 解析:设扇形的母线长为l cm,
∵圆锥的底面半径是1 cm,
∴圆锥的底面周长是2π cm,即侧面展开图扇形的弧长是2π cm,
90πl
则 =2π,解得l=4,
180
由勾股定理,得圆锥的高为 (cm).
√42-12=√15
11.解:(1)101
(2)①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱,
∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角的度数为360°÷24=15°,
∴∠POQ=4×15°=60°,
∴ ⏜ 的长为 60π×50 = 50π (m),
PQ
180 3
50π
∴两人所在座舱在摩天轮上的距离为 m;
3
②如图,作PN⊥OM于点N,
由题意得:两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长,
在Rt△OPN中,OP=50 m,∠PON=60°,
1
∴ON=OP·cos 60°= OP=25(m),
2
∴NQ=OQ-ON=25(m),
∴两人所在座舱距离地面的高度差为25 m.
能力提升
1.A 解析:将OA绕点O顺时针旋转45°到OA,AA⊥OA 交x轴于点A,
1 1 2 1 2
∴∠AOA =45°,OA=OA=1,∠OAA=90°,
1 1 1 2
∴∠AOA=90°-∠AOA =45°,
1 2 1
∴∠OAA=90°-∠AOA=45°,
2 1 1 2
∴△AOA 是等腰直角三角形,
1 2
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∴AA=OA=1,
1 2 1
∴OA=√2,
2
同理可得:△AOA、△AOA、…都是等腰直角三角形,OA=2,OA=2√2…,
3 4 5 6 4 6
45π·12 1 45π·(√2)2 1 45π·22 1 45π·(2√2)2
∴S= = π,S= = π,S= = π,S= =π,…;
1 2 3 4
360 8 360 4 360 2 360
∴S=2n-4π,
n
∴S =22 020π.故选A.
2 024
2.解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下:
如图作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
1
折叠后CD=CE= ×10=5(cm).
2
1
∵底面周长= ×10π=5π(cm),
2
∴DE·π=5π cm,
∴DE=5 cm,
DE CD CE
∴ = = ,
AB CA CB
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm,
∴∠CDE=60°,
1 5
过点C作CF⊥DE于点F,则DF= DE= cm,
2 2
在Rt△CDF中,
5√3
CF2=√CD2-DF2= cm,
2
∴V=π·(5) 2 5√3 1 125√3π(cm3).
× × =
2 2 3 24
125√3
答:圆锥形的体积是 π cm3.
24
7
