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重难点 07 圆中的计算及其综合
考点一：圆中的角度计算
圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题
型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！
题型01 圆中常见的角度计算
易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的
话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度
圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度
问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角
=90°的固定关系
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解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：
圆内接四边形的一个外角=其内对角
折叠弧过圆心→必有30°角
以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点
圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）
【中考真题练】
1．（2023•河南）如图，点A，B，C在 O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）
⊙
A．95° B．100° C．105° D．110°
2．（2023•吉林）如图，AB，AC是 O的弦，OB，OC是 O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与
点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．105° C．125° D．155°
3．（2023•枣庄）如图，在 O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为
（ ）
⊙
A．32° B．42° C．48° D．52°
4．（2023•眉山）如图，AB切 O于点B，连结OA交 O于点C，BD∥OA交 O于点D，连结CD，若
∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．35° C．40° D．45°
5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆 O与AB，BC分别相切于点D，
E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．
⊙
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【中考模拟练】
1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于 O，点P是劣弧 上一点（点P不与点C重
合），则∠CPD＝（ ）
⊙
A．45° B．36° C．35° D．30°
2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是 O的直径，点D是 的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（
）
⊙
A．40° B．25° C．40°． D．30°
3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在 O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝
53°，∠CAB＝17°，则∠OAC的度数为（ ）
⊙
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在 O上，两边分别交 O于A，B两
⊙ ⊙
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点，连结AO，BO，则∠AOB的度数 °．
5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝70°， O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连
接OA，OC．交 O于E，D两点．点F是 上的一点⊙，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ．
⊙
题型02 “知1得4”模型的常见题型
解题大招：圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
¿ ¿
AB=CD ∠E=∠F ∠AOB=∠COD
①AB=CD；② ；③OM=ON；④ ；⑤ ；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
【中考真题练】
1．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于 O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝ ，则
∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
⊙
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
2．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向
右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若 ＝35°，则 的度数为
何（ ）
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A．105° B．110° C．120° D．145°
3．（2023•深圳）如图，在 O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与 O交于点D，若
∠ADC＝20°，则∠BAD＝ °．
⊙ ⊙
4．（2023•烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于
点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
【中考模拟练】
1．（2024•惠城区模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等
于（ ）
A．22° B．44° C．23° D．46°
2．（2024•汉台区二模）如图，AB是 O的直径，AC是 O的弦，OD∥AC交 O于点D，连接AD、
CD，若∠CAD＝125°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
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A．20° B．25° C．30° D．35°
3．（2024•西山区一模）如图，点A，B，C在 O上，AB平分∠CAO，∠C＝40°，则∠BOC的度数为（
）
⊙
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．（2024•碑林区校级二模）如图， O半径长2cm，点A、B、C是 O三等分点，点D为圆上一点，连
接AD，且AD＝2 cm，CD交AB⊙于点E，则∠BED＝（ ） ⊙
A．75° B．65° C．60° D．55°
5．（2024•泗县一模）如图，AB是 O的直径，点C是半圆上一点，CD平分∠ACB交 O于点D，与AB
交于点G，过点A作AE⊥CD于点E，AE与 O交于点F，连接AD，CF．若AG＝CF，则∠D的度数
⊙ ⊙
为 ．
⊙
考点二：圆中的长度计算
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圆中长度的计算主要考察的是圆的垂径定理及其推论、垂径定理的应用等，相对综合点的问题还会和
特殊三角形或者相似三角形等知识点结合。而求弧长及扇形面积则主要考察对应公式，综合难度不大，小
心审题即可！
题型01 圆中常见的长度计算
易错点01：弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法
常用公式： nπr nπr2 1
L= ，S = = Lr
180 扇形 360 2
解题大招01：圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”
弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心
距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；
解题大招02：常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°
解题大招03：圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
¿ ¿ ¿ ¿
AC=BC AD=BD
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④ ；⑤ ；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
【中考真题练】
1．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
⊙ ⊙
2．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 上
一点，OB⊥AC于D．若AC＝300 m，BD＝150m，则 的长为（ ）
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A．300 m B．200 m C．150 m D．100 m
π π π π
3．（2023•青岛）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若 O的半径为
5，则 的长为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
π
4．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，
CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
⊙
5．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆
心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．5 B．5 ﹣4 C．5 ﹣2 D．10 ﹣2
π π π π
6．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为
格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（
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）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
π π π π
7．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图
1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如
图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与 的长度，并比较大小．
【中考模拟练】
1．（2024•上城区一模）如图，在 O中，将 沿弦AB翻折，使 恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一
⊙
点．已知AE＝2，tan∠CBA＝ ，则AB的长为（ ）
A． B．6 C． D．
2．（2024•连云区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺
时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为弧BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰
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好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024•历城区一模）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为3，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则阴影部分的面积为 .（结果保留 ）
π
4．（2024•丰台区一模）如图，A，B，C是 O上的点，OA⊥BC，点D在优弧 上，连接BD，AD．若
∠ADB＝30°， ，则 O的半径为⊙ ．
⊙
5．（2024•玄武区校级模拟）如图，在半圆O中，点C在半圆O上，点D在直径AB上，将半圆O沿过
BC所在的直线折叠，使 恰好经过点D．若 ，BD＝1，则半圆O的直径为 ．
6．（2024•青浦区二模）如图，AB是 O的直径，AB与CD相交于点E，弦AD与弦CD相等，且 ．
（1）求∠ADC的度数；
⊙
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（2）如果OE＝1，求AD的长．
7．（2024•黄埔区一模）如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D．
（1）求证：AO平分∠BAC；
⊙
（2）若BC＝12，sin∠BAC＝ ，求AC和CD的长．
题型02 圆内接四边形的性质
易错点：圆内接四边形的对角互补，但还有一个推论是圆内接四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角
【中考真题练】
1．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的
度数是（ ）
⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝
2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
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A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2023•淮安）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BC是 O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的
度数是 °．
⊙ ⊙
4．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝
∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【中考模拟练】
1．（2024•渭城区二模）如图，四边形ABCD内接于 O，连接AC，OD，若OD⊥AC，∠B＝64°，则
∠DAC的度数是（ ）
⊙
A．36° B．32° C．34° D．26°
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2．（2024•浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于 O，若 所对圆心角的度数为80°，则∠C＝（ ）
⊙
A．110° B．120° C．135° D．140°
3．（2024•绥棱县校级一模）如图，四边形ABCD内接于 O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，
，BC的长为 ．
⊙
4．（2024•顺城区二模）如图，四边形ABCD内接于 O，AC是 O的直径，DE∥BC，交BO的延长线
于点E，且BE平分∠ABD．
⊙ ⊙
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）若AD＝8，tan∠BDE＝ ，求AC的长．
5．（2024•凉州区校级模拟）如图，△ABC内接于 O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交 O于
点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
⊙ ⊙
（1）若∠EAD＝75°，求 的度数．
（2）求证：DB＝DC．
（3）若DA＝DF，当∠ABC＝ ，求∠DFC的度数（用含 的代数式表示）．
α α
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考点三：圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系有三种，直线与圆无交点 直线与圆相离；直线与圆有一个交点 直线与圆
相切；直线与圆有2个交点 直线与圆相交；其中，切线的性质与判定是该考点的重点，特别是综合问
题，基本都与切线有关，需要加以重视。
题型01 切线的性质与判定
解题大招：①切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题。
【中考真题练】
1．（2023•宿迁）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动
点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
⊙
A．2 B．5 C．6 D．8
2．（2023•重庆）如图，AC是 O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2 ，BC＝3，
则OC的长度是（ ）
⊙
A．3 B． C． D．6
3．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所
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设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线
相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角 为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线
的长为（ ） α
A． B． C． D．
4．（2023•湘西州）如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 O相切，切点分别为
C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
5．（2023•无锡）如图，AB是 O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则
∠OAB等于（ ）
⊙
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2023•镇江）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径
作 O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与 O总有两个公共点，则r的最小值
为 ．
⊙ ⊙
7．（2023•江西）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的 O与AC相交于点D，E为
⊙
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上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求 的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为 O的切线．
⊙
8．（2023•宜宾）如图，以AB为直径的 O上有两点E、F， ＝ ，过点E作直线CD⊥AF交AF的延
长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
⊙
（3）如果N是CM的中点，且AB＝9 ，求EN的长．
9．（2023•常德）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，AB是直径，C是 的中点，过点C作
CE⊥AD交AD的延长线于点E．
⊙
（1）求证：CE是 O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CE，DE的长．
⊙
10．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的 O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作
ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
⊙
（1）求证：PE是 O的切线；
⊙
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（2）若 ，BP＝4，求CD的长．
【中考模拟练】
1．（2024•襄城县一模）如图，线段AB是 O的直径， O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC
于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
⊙ ⊙
①CE•CA＝CD•CB；②∠EDA＝∠B；③OA＝ AC；④DE是 O的切线；⑤AD2＝AE•AB．
⊙
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024•潼南区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点O在AB上，以
点O为圆心，OB为半径的圆恰好与AC相切于一点D，交BC于点E．若∠A＝35°，则∠BDC的度数为
（ ）
A．35° B．55° C．62.5° D．70°
3．（2024•泽州县二模）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，直线CD与 O相切于点C，过点
O作OE∥BC，交CD于点E．若∠BAC＝30°，则∠OEC的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
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A．35° B．30° C．25° D．20
4．（2024•雁塔区校级模拟）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个
戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的
边缘PA，PB分别与 O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP＝ ，则 的长是（ ）
⊙
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
π π π π
5．（2024•石阡县模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的 P的圆心在直线
AB上，且位于点O左侧10cm处．若 P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 s后， P
⊙
与直线CD相切．
⊙ ⊙
6．（2024•光明区二模）如图，过圆外一点P作 O的切线，切点为A，AB是 O的直径．连接PO，过
点A作PO的垂线，垂足为D，同时交 O于点C，连接BC，PC．
⊙ ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）若BC＝2， ⊙ ，求切线PA的长．
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题型02 切线的综合应用
解题大招：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
【中考真题练】
1．（2023•绍兴）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，过点C作 O的切线CD，交AB的延长线于
点D，过点A作AE⊥CD于点E．
⊙ ⊙ ⊙
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
2．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作 O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，
连接OE、DE．
⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若sinC＝ ，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．
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3．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上
一点，以AE为直径的 O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）若BD＝5， ⊙ ，求图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
π
4．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的
延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
⊙ ⊙
（1）求证：MN是 O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
⊙
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝ 时，求AM的长．
【中考模拟练】
1．（2024•阳谷县一模）把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动
量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC
＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为 ．
2．（2024•章丘区一模）如图，AB为 O的直径，C为 O上的一点，连接AC，作OD垂直于AB交AC
于
⊙ ⊙
点E，交过点C的切线于点D．
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（1）求证：DE＝DC；
（2）若 ，求CD的长．
3．（2024•武汉模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点O为边BC中点，以点O为圆心的圆与
AC相切于点D．
（1）如图1，求证：AB是 O的切线；
（2）若 O与BC交于点G，过点G作AC的垂线，垂足为点F，交 O于点E，连AE交BC于点H，
⊙
⊙ ⊙
如图2．求 的值．
4．（2024•亭湖区模拟）（1）问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点
A，C均落在格点上，点B在网格线上．以AB为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E，使AE平分
∠CAB请用无刻度的直尺作图；
（2）尝试应用：如图2，AC是 O的直径，BC是 O切线，AC＝BC，AB交 O于P点．请用无刻度
直尺作出BC的中点D；
⊙ ⊙ ⊙
（3）问题解决：请在（2）偿试应用的条件下，解决以下问题：
①连接DP，判断DP与 O的位置关系并证明；
②若AC＝8，求DP，CD与 O围成的图形面积．
⊙
⊙
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考点四：圆的综合证明问题
圆的综合问题包含初中数学中《圆的基本性质》和《直线与圆的位置关系》两大部分，题目一般较为
综合，常和三角形相似或三角函数结合考察。题型一般为解答题，考生在复习这块内容时，不仅需要熟悉
圆的所以性质，更需要熟悉常与之结合的几何问题的方法技巧。
题型01 圆的综合证明问题
【中考真题练】
1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图
1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如
图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与 的长度，并比较大小．
2．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．对于 O的弦AB和 O外一点C给出如下定义：若直线
⊙ ⊙ ⊙
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CA，CB中一条经过点O，另一条是 O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
⊙
（1）如图，点A（﹣1，0），B （ ， ），B （ ， ）．
1 2
①在点C （﹣1，1），C （ ，0），C （0， ）中，弦AB 的“关联点”是 ；
1 2 3 1
②若点C是弦AB 的“关联点”，直接写出OC的长；
2
（2）已知点M（0，3），N（ ，0），对于线段MN上一点S，存在 O的弦PQ，使得点S是弦
PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
⊙
3．（2023•杭州）如图，在 O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，
交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
⊙
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
4．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作 O，与AB
边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
⊙
（1）求证：DM是 O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交 O于点Q，连接CQ．
⊙
⊙
①当tan∠BAP＝ 时，求BP的长；
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②求 的最大值．
5．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置
刻画圆上点的位置．如图，AB是 O的直径，直线l是 O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不
与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
⊙ ⊙
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为 时，求BC的长；
π
（2）如图2，当 ， 时，求 的值；
（3）如图3，当 ，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
6．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转 到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
θ
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我
们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸
板A′B′C′的位置．
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①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．
另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面
积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
【中考模拟练】
1．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是 O的直径，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形
A′B′C′D′，且AD′交 O于点E，AB′交 O于点F，D′C′与 O相切于点M．下列说法正
⊙
确的有 ．（只填写序号）
⊙ ⊙ ⊙
①AE＝4，② ＝ ＝ ，③AF＝ ，④∠DAD′＝30°．
2．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角
形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ °，∠B＝ °，
∠C＝ °．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比
值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并
说明理由．
（3）拓展延伸：如图，△ABC内接于 O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作
AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则
⊙
△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．
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3．（2024•宝山区二模）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线
AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．
（1）如图，点D恰好落在点O处．
①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；
②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求 的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．
4．（2024•宁波模拟）如图，△ABC内接于 O，点D在 O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，
∠CAD＝∠BAO．
⊙ ⊙
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若 ，求BC的长．
②若 ，求tan∠ACE的值．
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