文档内容
2025-2026学年辽宁省抚顺市六校协作体高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 （A∪B）＝（ ）
U
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．{∁2，4}
2．（5分）若复数为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
3．（5分）已知，则（ ）
A．a＞b B． C．a+b＞0 D．|a|＞|b|
4．（5分）函数f（x）＝2cosx的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
A．充分不必要α条件β α β
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第1页（共17页）6．（5分）已知函数，若f（a）＝f（a+1），则a＝（ ）
A． B． C． D．﹣1
7．（5分）已知直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差
数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重
的盒子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知
AB＝BF＝1，则（ ）
A．EF＝3
B．
C．
D．设P为△ABC内一点（含边界），的最小值为6
（多选）10．（6分）若 为锐角，，则sin 的值可能为（ ）
A． βB． β C． D．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则x＝1是f（x）的极值点
B．若f（x）在（0，1）上单调递增，则函数在（1，+∞）上单调递减
C．若函数在（0，1）上单调递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
D．若f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数在（0，1）上单调递增，在
（1，+∞）上单调递减
第2页（共17页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数f（x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在上单调递增，则 ＝ ．
13．（5分）已知函数没有零点，则aφ＝ φ ．π φ
14．（5分）已知直线a与平面 所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范
围为 α ． α
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）过定点P．
（1）求点P的坐标； ∈
（2）若直线l与圆O相切，求a的值；
（3）若直线l与圆O交于点A，B，且，求a的值．
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
17．（15分）如图，在边长为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
18．（17分）已知数列{a }的前n项和为S ，且．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设，求数列{b }的前n项和T ；
n n
（3）若 k N*，T 2k﹣1 ＜ ＜T 2k ，求 的取值范围．
∀ ∈ λ λ
第3页（共17页）19．（17分）（1）求函数y＝sinx（cosx﹣1）的单调递增区间；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知，且β +2 ≤ ，求α cos（ + ）（α cβos ﹣1）β的最值．
α β π α β β
第4页（共17页）2025-2026学年辽宁省抚顺市六校协作体高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A D A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD CD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 （A∪B）＝（ ）
U
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．{∁2，4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}，
∵全集U＝{1，2，3，4}，
∴ （A∪B）＝{4}．
U
故∁选：C．
2．（5分）若复数为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】由复数的除法可得且为纯虚数，即可求解．
【解答】解：由复数为纯虚数，
可得，即a＝﹣5．
故选：D．
3．（5分）已知，则（ ）
A．a＞b B． C．a+b＞0 D．|a|＞|b|
【分析】分为b＞0和b＜0两种情况对化简，结合不等式的性质即可进行判断．
【解答】解：当b＞0时，不等式可化为a＞b＞0，
此时，a+b＞0，|a|＞|b|，
第5页（共17页）当b＜0时，不等式可化为a＜b＜0，
此时，a+b＜0，|a|＞|b|．
故选：D．
4．（5分）函数f（x）＝2cosx的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝2cosx的定义域为R，且f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cosx＝f（x），
可知函数f（x）为偶函数，故BC错误；
又cosx [﹣1，1]，则，故D错误．
故选：∈A．
5．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
A．充分不必要α条件β α β
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据sin ＝sin ，可得 ， 的关系，根据cos ＝cos ，可得 ， 的关系，根据充分、必要
条件的定义，分析α即可得β答案．α β α β α β
第6页（共17页）【解答】解：若sin ＝sin ，则 ＝ +2k 或 + ＝ +2k ，k Z，
若cos ＝cos ，则 α＝ +2βk 或α+ β＝2kπ，kαZβ， π π ∈
即sinα＝sin β成立时α，βcos ＝π cosα 不β 一定π成立∈，反之也不成立，
所以“αsin ＝βsin ”是“coαs ＝coβs ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．α β α β
6．（5分）已知函数，若f（a）＝f（a+1），则a＝（ ）
A． B． C． D．﹣1
【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象判断f（a），f（a+1）的解析式，列方程即可．
【解答】解：函数，
作出函数f（x）的图象，如图，
由图可知，若f（a）＝f（a+1），则a，a+1分别在x轴的负半轴与正半轴上，
所以，
所以，解得．
故选：A．
7．（5分）已知直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用两点间距离公式求出|AB|，利用圆心到直线的距离和半径可以求出|CD|，由|AB|＝|CD|计
算即可．
【解答】解：由题意直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，得A（﹣m，0），B（0，
m），
∴，
圆N的方程为：（x+1）2+（y﹣3）2＝4，
∴圆心N的坐标为（﹣1，3），半径为r＝2，
∴圆心N到直线l：x﹣y+m＝0的距离为：
，
由垂径定理可得：，
第7页（共17页）又∵|AB|＝|CD|，
∴，
解得：m＝2．
故选：C．
8．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差
数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重
的盒子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
【分析】设等差数列及公差，根据题意及等差数列的性质建立不等式求得首项与公差的不等式，根据
等差数列前n项和公式求得首项与公差的等式，将等式代入不等式后解得首项的最小值，即可得出答
案．
【解答】解：设该等差数列为{a }，公差为d，d＜0，
n
则a +a +a ≥2（a +a +a ），
1 2 3 8 9 10
由等差中项可知3a ≥2×3a ，
2 9
∴a +d≥2（a +8d），∴a ≤﹣15d，
1 1 1
又∵，
即2a +9d＝7，则，
1
∴，
∴9a ≤﹣105+30a ，∴﹣21a ≤﹣105，
1 1 1
∴，
∴质量最重的盒子最少是5千克．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知
AB＝BF＝1，则（ ）
第8页（共17页）A．EF＝3
B．
C．
D．设P为△ABC内一点（含边界），的最小值为6
【分析】对于A，延长AC交GE于点M，先证明四边形CDEM为平行四边形，进而求解判断即可；对
于B，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，结合B，根据平面向量的数量积的定义及运算
律求解判断即可；对于D，分析易得当P位于点B时，最小，进而求解判断即可．
【解答】解：A选项，根据题意可知，图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，延长 AC交
GE于点M，
CD∥ME，CM∥DE，∴四边形CDEM为平行四边形，
而AB＝BF＝1，△ABC为等边三角形，四边形ICDH，BDEF，AFGI为三个全等的等腰梯形，
则AC＝CM＝DE＝CD＝ME＝GF＝1，FM＝2BC＝2，
∴EF＝FM+ME＝3，故A选项正确；
B选项，由于GF＝ME＝1，FM＝2，则GE＝HE＝GH＝4，
∴根据平面向量的线性运算
，故B选项正确；
C选项，根据B可知，，且△HGE为等边三角形，边长为4，
∴根据平面向量的数量积的定义，
，故C选项不正确；
D选项，根据，
第9页（共17页）∵表示在的投影，显然，当P位于点B时，投影最小，
由于GF＝BF＝1，∠BFM＝∠ABC＝60°，则∠BGF＝30°，
∴，
则，即的最小值为6，故D选项正确．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）若 为锐角，，则sin 的值可能为（ ）
A． βB． β C． D．
【分析】根据题意，运用诱导公式算出，然后按k为奇数、偶数两种情况讨论，结合两角和与差的三
角函数公式求得sin 的所有可能值．
【解答】解：根据sβin（ + ）＝sin（ ﹣ ），
可得或， α β α β
即或，
若，则 不可能为锐角，与题设矛盾，所以，
①当k为β 奇数时，sin（ ﹣ ）＝sin（k ﹣ ）＝﹣sin（﹣ ）＝sin（ ），
结合，可得， α β π β β β
所以sin ＝sin[（ ）]＝sin（ ）coscos（ ）sin
； β β β β
②当k为偶数时，sin（ ﹣ ）＝sin（k ﹣ ）＝sin（﹣ ）＝﹣sin（ ），
可得sin（ ），结合， α β π β β β
解得， β
则sin ＝sin[（ ）]＝sin（ ）coscos（ ）sin
． β β β β
综上所述，sin 或．
故选：CD． β
（多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则x＝1是f（x）的极值点
B．若f（x）在（0，1）上单调递增，则函数在（1，+∞）上单调递减
C．若函数在（0，1）上单调递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
D．若f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数在（0，1）上单调递增，在
（1，+∞）上单调递减
【分析】由函数f（x）为常数函数即可判断A；先由函数单调性得到x （0，1）时f′（x）≥0，再分
∈
第10页（共17页）析x （1，+∞）时函数的导数即可判断B；由题意得以及x （0，1）时g′（x）≥0，进而得到x
（1，∈ +∞）时，进而即可求解判断C；由题意得到x （0，1∈）时f′（x）≥0，x （1，+∞）时f′∈
（x）≤0，分析导函数y′并结合选项C即可求解判断∈D． ∈
【解答】解：对于A，若f（x）为常数函数，则满足，但x＝1不是f（x）的极值点，故A错误；
对于B，若f（x）在（0，1）上单调递增，则当x （0，1）时，f′（x）≥0，
又x （1，+∞）时，，所以，所以， ∈
所以∈函数在（1，+∞）上单调递减，故B正确；
对于C，由g（x）＝f（x）+f（），可得，
若g（x）在（0，1）上单调递增，则，
则当x （1，+∞）时，，，则，
所以g∈（x）在（1，+∞）上单调递减，故C正确；
对于D，若f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则x （0，1）时f′（x）≥0，x （1，+∞）时f′（x）≤0，，
当x∈（0，1）时，则，则， ∈
所以∈函数在（0，1）上单调递增，由选项C得函数在（1，+∞）上单调递减，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数f（x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在上单调递增，则 ＝ ．
【分析】根据正切函数的单调性以φ及周期性分φ析π求解即可． φ
【解答】解：因为，则，
又0≤ ＜ ，
可得，φ， π
若函数f（x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在上单调递增，
注意到函数f（x）＝tan（φx﹣ ）的φ最小π正周期，且，
则，解得． φ
故答案为：．
13．（5分）已知函数没有零点，则a＝ 1 ．
【分析】把零点问题转化成方程的根的问题，再分类解方程可得答案．
【解答】解：（a＞0）没有零点，即无解，
整理得，取对数得，
当a≠1时，lna≠0，根据，
那么可得，方程有解，不符合题意；
第11页（共17页）当a＝1时，方程变为，所以，方程无解，因此函数没有零点．
综上，a＝1．
故答案为：1．
14．（5分）已知直线a与平面 所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范
围为 ． α α
【分析】根据给定条件，利用底面是等腰直角三角形的直三棱柱为模型，结合直线与平面所成的角的
意义并讨论极端情况即可求出范围．
【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，AC＝BC，平面ABC⊥平面ABB A ，
1 1 1 1 1
平面ABC∩平面ABB A ＝AB，直线AC，BC在平面ABB A 内的投影是直线AB，
1 1 1 1
所以直线AC，BC与平面ABB A 所成的角都是，
1 1
因为CC ⊥平面ABC，AC 平面ABC，
1
所以AC⊥CC
1
，又因为CC⊂1 ∩BC＝C，CC
1
，BC 平面BB
1
C
1
C，
所以AC⊥平面BB 1 C 1 C， ⊂
不妨令直线AC为直线a，平面ABB A 为平面 ，直线b在平面BB C C内，，
1 1 1 1
此时满足直线a与平面 所成的角为， α
当b与CC
1
平行或重合时α，直线b与平面 所成的角取得最小值，最小值为0；
当b与BC平行或重合时，直线b与平面 α所成的角取得最大值，最大值为，
所以直线b与平面 所成角的取值范围为α．
故答案为：． α
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）过定点P．
（1）求点P的坐标； ∈
（2）若直线l与圆O相切，求a的值；
（3）若直线l与圆O交于点A，B，且，求a的值．
【分析】（1）将直线方程整理，提取参数，列方程组可得定点的坐标；
（2）根据直线l与圆O相切，则圆心到直线的距离为半径列方程求解即可；
第12页（共17页）（3）因为弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理列方程可得圆心到弦的距离，再
根据点到直线的距离公式可求a．
【解答】解：（1）因为直线l的方程为x﹣ay﹣4＝0（a R），
即（x﹣4）﹣ay＝0对任意的实数a恒成立， ∈
所以，解得，所以直线l过定点P（4，0），
即点P的坐标为（4，0）．
（2）如图，当直线l与圆O：x2+y2＝4相切时，
圆心O（0，0）到直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）的距离为半径2，
即，解得． ∈
（3）如图，取AB的中点C，由圆的性质知OC⊥AB．
在Rt△ACO中，由勾股定理知，
即，解得，
即圆心O到直线l的距离为，所以，
解得a＝±2．
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为AB⊥平面ACD，CE 平面ACD，所以AB⊥CE．
在等边△ACD中，E是AD的中点，所以CE⊥AD，⊂
第13页（共17页）因为AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABD，
所以CE⊥平面ABD， ⊂
因为BD 平面ABD，
所以CE⊥⊂BD；
（2）不妨设AB＝AC＝2，AB⊥平面ACD，AB 平面ABC，
则平面ACD⊥平面ABC，在等边△ACD中，作⊂DO⊥AC，则DO⊥平面ABC，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0），，，
所以，，，
设平面BCE的法向量为，
则，则，
取x ＝1，得，
1
设平面BCD的法向量为，
则，则，
取x ＝1，得，
2
又，
所以，所以二面角E﹣BC﹣D的正弦值为．
17．（15分）如图，在边长为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
第14页（共17页）【分析】（1）在△BCP中，由余弦定理求得PC，然后由三角形面积公式求得△BCP的面积；
（2）设∠PBA＝ ，通过三角形内角关系求得∠BCP，在△PBC中由正弦定理用 表示出边PB长，在
△APB中先求得∠αPAB，再由正弦定理建立方程，整理方程后求得tan ，即可求得α结果．
【解答】解：（1）在△BCP中，∠BPC＝120°，PB＝1， α
由余弦定理得，
即，即PC2+PC﹣3＝0，
解得（负值已舍去），
可得；
（2）设∠PBA＝ ，在正三角形中∠ABC＝60°，
可得∠PBC＝60°﹣α ，
所以∠BCP＝180°﹣α∠BPC﹣∠PBC＝ ，
在△PBC中，BC＝2，由正弦定理， α
可得PBsin
在△APB中α，∠PAB＝180°﹣∠APB﹣∠PBA＝30°﹣ ，
由正弦定理， α
即，
所以，
展开整理可得，即tan ．
即． α
18．（17分）已知数列{a }的前n项和为S ，且．
n n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设，求数列{b }的前n项和T ；
n n
（3）若 k N*，T 2k﹣1 ＜ ＜T 2k ，求 的取值范围．
【分析】∀（∈1）利用a
n
与λS
n
的关系把λ转化成关于a
n
的递推公式，再构造等比数列可得答案；
（2）利用分组求和可得答案；
（3）由（2）可得到T
2k﹣1
，T
2k
，利用单调性可得到其最值，即得答案．
【解答】解：（1）由，①
当n＝1时，，解得a ＝2；
1
当n≥2时，，②
①﹣②可得，
整理得a
n
＝3a
n﹣1
+2，
第15页（共17页）设a
n
+x＝3（a
n﹣1
+x），即3，
可得数列{a +x}是以3为公比的等比数列，
n
即a
n
＝3a
n﹣1
+2x，
可得2x＝2，可得x＝1，
故数列{a +1}是首项为a +1＝2+1＝3、公比为3的等比数列，
n 1
所以，
因此；
（2）由，
可得b 是两个等比数列的差，
n
所以T ＝b +b +…+b
n 1 2 n
＝[（﹣3）1+（﹣3）2+…+（﹣3）n]﹣[（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]
；
（3）由（2）知，T
2k﹣1
，T
2k
（9k﹣1），
由T
2k﹣1
＜ ＜T
2k
，知，
易知单调递λ减，
所以（T
2k﹣1
）
max
＝T
1
＝﹣2，
而单调递增，所以（T ） ＝T ＝6，
2k min 2
k N*，T 2k﹣1 ＜ ＜T 2k ，
∀只需∈ （T 2k﹣1 ） ma λ x ＜ ＜（T 2k ） min ，
即﹣2＜ ＜6． λ
故 的取λ值范围是（﹣2，6）．
19．（λ17分）（1）求函数y＝sinx（cosx﹣1）的单调递增区间；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知，且β +2 ≤ ，求α cos（ + ）（α cβos ﹣1）β的最值．
【分析】（1）直α接β求导π得y′＝（α2coβsx+1）（βcosx﹣1），再令其大于0，解出即可；
（2）分cos ﹣1＝0和cos ﹣1＜0讨论即可；
（3）求导得βf′（ ）＝sinβ（ + ）﹣sin（ +2 ），再分和讨论即可．
【解答】解：（1）βy′＝cosxα（cβosx﹣1）﹣αsin2 βx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝（2cosx+1）（cosx﹣1）．
令y′＞0，得，解得．
故y＝sinx（cosx﹣1）的单调递增区间为．
第16页（共17页）（2）cos（ + ） [﹣1，1]，若cos ﹣1＝0，则cos（ + ）（cos ﹣1）＝0．
若cos ﹣1＜α0β，则∈cos（ + ）（cosβ ﹣1） [cos ﹣1，α1﹣β cos ]，β
所以cβos（ + ）（cos ﹣α1）β 的最大值β 的最小∈ 值为β0，即b的最β小值为0．
（3）令函数α ，β β
f′（ ）＝sin（ + ）﹣sin（ +2 ）．
①当β时，，sin（α +β ）≥sin（α +2β ），
所以f′（ ）≥0α，fβ（ ）在上α单调β递增．
． β β
因为，
所以，
当且仅当，时，等号成立．
f（ ） ＝f（0）＝0．
min
②β当时，令f′（ ）＝0，得 + + +2 ＝ 或 + ＝ +2 ，即或 ＝0．
当 ＝0时，f（ ）β＝0． α β α β π α β α β β
当时β，0≤ + ≤β +2 ≤ ﹣（ + ）≤ ，
所以sin（α+β）≤α sinβ（π+2 ）α，βf′（π）≤0．
当时，若，α β α β β
则，所以sin（ + ）＞sin（ +2 ）．
若，则， α β α β
所以sin（ + ）＞sin（ +2 ），所以f′（ ）＞0，
故当时，f（α β）在上单调α递减β ，在上单调递增β ，
， β
当且仅当，即时，等号成立，此时，
故．
．
因为，所以，
，
当且仅当 ＝0时，等号成立，此时，
因为，所以α cos（ + ）（cos ﹣1）的最大值为，最小值为．
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