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2025-2026 学年辽宁省抚顺市六校协作体高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则
U
（A∪B）＝（ ）
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．∁{2，4}
2．（5分）若复数 为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 =1+ B2．+ 5 C．﹣3 D．﹣5
3．（5分）已知 ＞，则（ ）
1
A．a＞b B． ＞ C．a+b＞0 D．|a|＞|b|
1 1
4．（5分）函数f（x）＝2cosx
的部
分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
A．充分不必α要条件β α β
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
第1页（共20页），
6．（5分）已知函数 ，若f（a）＝f（a+1），则a＝（ ）
1 ， ＜
#160; ≥0
2
( )=
− #160; 0
A． B． C． D．﹣1
1 1 1
7．（5分−）3 已知直线l：x﹣y+ − m＝2 0与x轴、y轴分别−交6于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数
列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知AB
＝BF＝1，则（ ）
A．EF＝3
B．
→ → →
1 1
= +
2 4
C．
→ →
⋅ =8
D．设P为△ABC内一点（含边界）， 的最小值为6
→ →
⋅
（多选）10．（6分）若 为锐角， ，则sin 的值可能为（ ）
3
β ( + + )= ( − − )= β
4 4 5
A． B． C． D．
2 2 2 7 2
（多选） 2 11．（6分）已知函数−f（ 2 x）是定义在（0， 1 + 0 ∞）上的可导函数，下 10 列结论正确的是（ ）
A．若 ，则x＝1是f（x）的极值点
1
( )= ( )
第2页（共20页）B．若f（x）在（0，1）上单调递增，则函数 在（1，+∞）上单调递减
1
( )
C．若函数 在（0，1）上单调 递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
1
( )= ( )+ ( )
D．若f（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数 在（0，1）上
1
单调递增，在（1，+∞）上单调递减 = ( )+ ( )
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数（f x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在 ， 上单调递增，则 ＝ ．
2
φ φ π (− ) φ
3 3
13．（5分）已知函数 ＞ 没有零点，则a＝ ．
( )= −1( 0)
14．（5分）已知直线a与平面 所成的角为 ，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范围
为 α． α
4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）过定点P．
（1）求点P的坐标； ∈
（2）若直线l与圆O相切，求a的值；
（3）若直线l与圆O交于点A，B，且 ，求a的值．
4 5
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，A|B ⊥ |平=面 5ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
17．（15分）如图，在边长为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
第3页（共20页）18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且 ．
3
（1）求{an}的通项公式； = 2 −
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn ；
（3）若 k=N(*，−T1
2
)
k﹣
⋅
1
＜ ＜T2k ，求 的取值范围．
19．（17分）∀（∈1）求函数y＝λsinx（cosxλ﹣1）的单调递增区间；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知 β ， α ，且 α +2 β≤ ，求β cos（ + ）（cos ﹣1）的最值．
0≤ ≤ 0≤ ≤ α β π α β β
2
第4页（共20页）2025-2026 学年辽宁省抚顺市六校协作体高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A D A C C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD CD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则
U
（A∪B）＝（ ）
A．{1，3，4} B．{1，2，3} C．{4} D．∁{2，4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}，
∵全集U＝{1，2，3，4}，
∴
U
（A∪B）＝{4}．
故选∁ ：C．
2．（5分）若复数 为纯虚数，则实数a＝（ ）
A．3 =1+ B2．+ 5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】由复数的除法可得 且为纯虚数，即可求解．
2
=1+ +
【解答】解：由复数 5 5 为纯虚数，
(2− ) 2
=1+ =1+ =1+ +
可得 ，即a＝﹣5．2+ 5 5 5
1+ =0
故选：D．5
3．（5分）已知 ＞，则（ ）
1
第5页（共20页）A．a＞b B． ＞ C．a+b＞0 D．|a|＞|b|
1 1
【分析】分为b＞0和b＜0 两种 情况对 ＞ 化简，结合不等式的性质即可进行判断．
1
【解答】解：当b＞0时，不等式 ＞ 可化为a＞b＞0，
1
此时 ＜ ，a+b＞0，|a|＞|b|，
1 1
当b＜ 0时 ，不等式 ＞ 可化为a＜b＜0，
1
此时 ＞ ，a+b＜0 ，|a|＞|b|．
1 1
故选：
D．
4．（5分）函数f（x）＝2cosx的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝2cosx的定义域为R，且f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cosx＝f（x），
可知函数f（x）为偶函数，故BC错误；
又cosx [﹣1，1]，则 ， ，故D错误．
1
故选：A ∈． ( )= 2 ∈[ 2 2]
5．（5分）“sin ＝sin ”是“cos ＝cos ”的（ ）
α β α β
第6页（共20页）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据sin ＝sin ，可得 ， 的关系，根据cos ＝cos ，可得 ， 的关系，根据充分、必要条件
的定义，分析即可α得答案β ． α β α β α β
【解答】解：若sin ＝sin ，则 ＝ +2k 或 + ＝ +2k ，k Z，
若cos ＝cos ，则 α＝ +2βk 或 α+ ＝β2k π，kαZβ， π π ∈
即sinα＝sin β成立时α，βcos ＝π coαs β不一定π成立∈，反之也不成立，
所以“αsin ＝βsin ”是“coαs ＝coβs ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．α β α β
，
6．（5分）已知函数 ，若f（a）＝f（a+1），则a＝（ ）
1 ， ＜
#160; ≥0
2
( )=
− #160; 0
A． B． C． D．﹣1
1 1 1
【分−析3】作出函数f（x）的−图2象，根据图象判断f −（6a），f（a+1）的解析式，列方程即可．
，
【解答】解：函数 ，
1 ， ＜
#160; ≥0
2
( )=
作出函数f（x）的图象，如−图 ， #160; 0
由图可知，若f（a）＝f（a+1），则a，a+1分别在x轴的负半轴与正半轴上，
所以 ， ，
+1
( )=− ( +1)=
所以 ，解得 ．2
+1 1
故选：−
A
=．
2
=−
3
7．（5分）已知直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，与圆N：（x+1）2+（y﹣3）2＝4交
于C，D两点，且|AB|＝|CD|，则m＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
第7页（共20页）【分析】利用两点间距离公式求出|AB|，利用圆心到直线的距离和半径可以求出|CD|，由|AB|＝|CD|计算
即可．
【解答】解：由题意直线l：x﹣y+m＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，得A（﹣m，0），B（0，m），
∴ ，
2 2
圆|N 的|方=程(为−： （−x+01)）2++（(0y−﹣ 3）) 2=＝4，2| |
∴圆心N的坐标为（﹣1，3），半径为r＝2，
∴圆心N到直线l：x﹣y+m＝0的距离为：
，
|−1−3+ | |−4+ |
= =
由垂径定理2 可得： 2 ，
2
2 2 2 |−4+ | 2
又∵|AB|＝|CD|， | |=2 2 − =2 2 −( 2 ) =2 − 2 +4 −4
∴ ，
2
解得2：| m|＝=22．−
2
+4 −4
故选：C．
8．（5分）现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数
列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒
子最少是（ ）
A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克
【分析】设等差数列及公差，根据题意及等差数列的性质建立不等式求得首项与公差的不等式，根据等
差数列前n项和公式求得首项与公差的等式，将等式代入不等式后解得首项的最小值，即可得出答案．
【解答】解：设该等差数列为{an}，公差为d，d＜0，
则a1+a2+a3 ≥2（a8+a9+a10 ），
由等差中项可知3a2 ≥2×3a9 ，
∴a1+d≥2（a1+8d），∴a1 ≤﹣15d，
又∵ ，
10(10−1)
10 =10 1+ =10 1+45 =35
即2a1+9d＝7，则 2 ，
7−2 1
=
∴ 9 ，
7−2 1
∴ 9a 1 1 ≤≤−﹣1 1 5 0 5+ = 3 − 0a 1 1 5，×∴﹣921a1 ≤﹣105，
第8页（共20页）∴ ，
105
∴ 质 1 量≥最2重1 的=盒5 子最少是5千克．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知AB
＝BF＝1，则（ ）
A．EF＝3
B．
→ → →
1 1
= +
2 4
C．
→ →
⋅ =8
D．设P为△ABC内一点（含边界）， 的最小值为6
→ →
【分析】对于A，延长AC交GE于点 M ，⋅先 证明四边形CDEM为平行四边形，进而求解判断即可；对
于B，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，结合B，根据平面向量的数量积的定义及运算
律求解判断即可；对于D，分析易得当P位于点B时， 最小，进而求解判断即可．
→ →
【解答】解：A选项，根据题意可知，图标由三个全等的 等 ⋅腰 梯 形和一个等边三角形拼成，延长AC交
GE于点M，
CD∥ME，CM∥DE，∴四边形CDEM为平行四边形，
而AB＝BF＝1，△ABC为等边三角形，四边形ICDH，BDEF，AFGI为三个全等的等腰梯形，
则AC＝CM＝DE＝CD＝ME＝GF＝1，FM＝2BC＝2，
∴EF＝FM+ME＝3，故A选项正确；
B选项，由于GF＝ME＝1，FM＝2，则GE＝HE＝GH＝4，
∴根据平面向量的线性运算
→ → → → → → →
3 3 1
= + = + = +
4 4 4
第9页（共20页），故B选项正确；
→ → → → →
3 1 1 1
= + ( − )= +
4 4 2 4
C选项，根据B可知， ，且△HGE为等边三角形，边长为4，
→ → →
1 1
= +
∴根据平面向量的数量积的定2义， 4
→ → → → →
1 1
⋅ =( + )⋅
2 4 ，故C选项不正确；
→ → →
1 2 1 1 2 1
= + ⋅ = ×4 + ×4×4× 60°=10
2 4 2 4
D选项，根据 ， ＜ ， ＞，
→ → → → → → → → →
⋅ =| |⋅| |⋅ =4| |⋅
∵ ＜ ， ＞表示 在 的投影，显然，当P位于点B时，投影最小，
→ → → → →
由于| G|F⋅＝ B F＝ 1，∠ BFM＝∠ ABC ＝ 60°，则∠BGF＝30°，
∴ ，
=1× 30°×2= 3
则 ，即 的最小值为6，故D选项正确．
→ → → →
3
故选 ：⋅A B D=．3×4× 2 =6 ⋅
（多选）10．（6分）若 为锐角， ，则sin 的值可能为（ ）
3
β ( + + )= ( − − )= β
4 4 5
A． B． C． D．
2 2 2 7 2
−
【分析2 】根据题意，运用诱导2公式算出 1，0 ，然后按k为奇10数、偶数两种情况讨论，结合
= + ∈
两角和与差的三角函数公式求得sin 的所有2可能值．
β
【解答】解：根据sin（ + ）＝sin（ ﹣ ） ，
3
α β+ α β− =
可得 4 ， 或 4 5 ， ，
+ + = − − +2 ∈ + + + − − = +2 ∈
即 4 ， 或4 ， ， 4 4
=− + ∈ = + ∈
若 4 ， ，则 不2可能为锐角，与题设矛盾，所以 ， ，
=− + ∈ β = + ∈
①当k为4奇数时，sin（ ﹣ ）＝sin（ k ﹣ ）＝﹣sin（﹣2 ）＝sin（ ） ，
3
α β− + π β− β+ β− =
4 2 4 4 4 5
第10页（共20页）结合 ＜ ＜ ，可得 ，
2 4
− − ( − )= 1− ( − )=
所以sin 4 ＝sin[（4 4 ） ]＝sin（4 ）cos cos（ 4 ）s 5 in
β β− + β− + β−
4 ； 4 4 4 4 4
3 2 4 2 7 2
= × + × =
②5当k2为偶5数时2，sin1（0 ﹣ ）＝sin（ k ﹣ ）＝sin（﹣ ）＝﹣sin（ ） ，
3
α β− + π β− β+ β− =
可得sin（ ） ，结合 4 ＜ ＜2 ， 4 4 4 5
3
β− =− − −
解得 4 5 4 4， 4
2 4
( − )= 1− ( − )=
则sin ＝sin[（4 ） ]＝sin（4 ）5 cos cos（ ）sin
β β− + β− + β−
4 4 ． 4 4 4 4
3 2 4 2 2
=− × + × =
5 2 5 2 10
综上所述，sin 或 ．
7 2 2
故选：CD． β=
10 10
（多选）11．（6分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则x＝1是f（x）的极值点
1
( )= ( )
B．若f（x）在（ 0，1）上单调递增，则函数 在（1，+∞）上单调递减
1
( )
C．若函数 在（0，1）上单调 递增，则g（x）在（1，+∞）上单调递减
1
( )= ( )+ ( )
D．若f（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，+∞）上单调递减，则函数 在（0，1）上
1
单调递增，在（1，+∞）上单调递减 = ( )+ ( )
【分析】由函数f（x）为常数函数即可判断A；先由函数单调性得到x （0，1）时f′（x）≥0，再分
∈
析x （1，+∞）时函数 的导数即可判断B；由题意得 以及x （0，1）时g′（x）≥0，
1 1
∈ ( ) ( )= ( ) ∈
进而得到x （1，+∞）时 ，进而 即可求解判断C；由题意得到x （0，1）
1 1
时f′（x）∈≥0，x （1，′ +∞(
）)时≥
f
0′（x）′ ≤(
0
，)=分[析 (导
函′)]数≤
y
0′并结合选项C即可求解判断D ∈．
∈
【解答】解：对于A，若f（x）为常数函数，则满足 ，但x＝1不是f（x）的极值点，故A
1
错误； ( )= ( )
对于B，若f（x）在（0，1）上单调递增，则当x （0，1）时，f′（x）≥0，
∈
又x （1，+∞）时， ， ，所以 ，所以 ，
1 1 1 1 1
∈ ∈ (0 1) ′ ( )≥ 0 [ ( ′)] =− 2′ ( )≤ 0
第11页（共20页）所以函数 在（1，+∞）上单调递减，故B正确；
1
( )
对于C，由 g（x）＝f（x）+f（ ），可得 ，
1 1
( )= ( )
若g（x）在（0，1）上单调递增 ，则 ，
1 1 1
′ ( )=′ ( )+[ ( ′)] =′ ( )− 2′ ( )≥ 0
则当x （1，+∞）时， ， ， ，则 ，
1 1 1 1 1
所以g ∈（x）在（1，+∞） 上∈ 单(0调1递)减′ ，(故 ) C ≥正0确；′ ( )=[ ( ′)] =− 2′ ( )≤ 0
对于D，若f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则x （0，1）时f′（x）≥0，x （1，+∞）时f′（x）≤0， ，
1 1
∈ ∈ ′ =′ ( )− 2′ ( )
当x （0，1）时 ， ，则 ，则 ，
1 1 1 1
∈ ∈ (1 + ∞) ′ ( )≤0 ′ =′ ( )− 2′ ( )≥0
所以函数 在（0，1）上单 调递增，由选项C得函 数 在（1，+∞）上单
1 1
调递减，故 = D 正( 确)+． ( ) = ( )+ ( )
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若函数f（x）＝tan（x﹣ ）（0≤ ＜ ）在 ， 上单调递增，则 ＝ ．
2
【分析】根据正切函数的单调性以φ及周期性φ分析π 求解(即−可3．
3
) φ
6
【解答】解：因为 ， ，则 ， ，
2 2
又0≤ ＜ ， ∈(− 3 3 ) − ∈(− 3 − 3 − )
φ π
可得 ， ， ， ，
4 2 2
− − ∈ (− − ] − ∈ ( − ]
若函数3 f（x）＝tan（3 x﹣ ）3（0≤3 ＜ ）在 3 ，3 上单调递增，
2
φ φ π (− )
注意到函数f（x）＝tan（x﹣ ）的最小正周期3 3 ，且 ，
2
φ = = − ( − ) =
1 3 3
则 ，解得 ．
− − =−
3 2
=
2 6
− =
故答3案为： ．2
13．（5分）已知6 函数 ＞ 没有零点，则a＝ 1 ．
【分析】把零点问 题( 转)化=成 方−程1的( 根的0)问题，再分类解方程可得答案．
【解答】解： （a＞0）没有零点，即 无解，
( )= −1 =1
第12页（共20页）整理得 ，取对数得 ，
1 1
= = ( ) =−
当a≠1时， lna≠0，根据 ，
=−
那么可得 ，方程有 解，不符合题意；
=−
当a＝1时，方程变为 ，所以 ，方程无解，因此函数没有零点．
1
1
综上，a＝1． =1
= 0
故答案为：1．
14．（5分）已知直线a与平面 所成的角为 ，直线b与直线a垂直，则直线b与平面 所成角的取值范围
α α
为 ， ． 4
[0 ]
【分析】根4据给定条件，利用底面是等腰直角三角形的直三棱柱为模型，结合直线与平面所成的角的意
义并讨论极端情况即可求出范围．
【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AC⊥BC，AC＝BC，平面ABC⊥平面ABB1A1 ，
平面ABC∩平面ABB1A1 ＝AB，直线AC，BC在平面ABB1A1 内的投影是直线AB，
所以直线AC，BC与平面ABB1A1 所成的角都是 ，
因为CC1 ⊥平面ABC，AC 平面ABC，
4
所以AC⊥CC1 ，又因为CC⊂
1
∩BC＝C，CC1 ，BC 平面BB1C1C，
所以AC⊥平面BB1C1C， ⊂
不妨令直线AC为直线a，平面ABB1A1 为平面 ，直线b在平面BB1C1C内， ，
→ →
α ⊥
此时满足直线a与平面 所成的角为 ，
α
当b与CC1 平行或重合时，直线b与
4
平面 所成的角取得最小值，最小值为0；
当b与BC平行或重合时，直线b与平面 α所成的角取得最大值，最大值为 ，
α
所以直线b与平面 所成角的取值范围为 ， ． 4
α [0 ]
故答案为： ， ． 4
[0 ]
4
第13页（共20页）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）过定点P．
（1）求点P的坐标； ∈
（2）若直线l与圆O相切，求a的值；
（3）若直线l与圆O交于点A，B，且 ，求a的值．
4 5
【分析】（1）将直线方程整理，提取参|数 ，|列=方
5
程组可得定点的坐标；
（2）根据直线l与圆O相切，则圆心到直线的距离为半径列方程求解即可；
（3）因为弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理列方程可得圆心到弦的距离，再
根据点到直线的距离公式可求a．
【解答】解：（1）因为直线l的方程为x﹣ay﹣4＝0（a R），
即（x﹣4）﹣ay＝0对任意的实数a恒成立， ∈
所以 ，解得 ，所以直线l过定点P（4，0），
−4=0 =4
即点P 的=坐0 标为（4，0 ）．=0
（2）如图，当直线l与圆O：x2+y2＝4相切时，
圆心O（0，0）到直线l：x﹣ay﹣4＝0（a R）的距离为半径2，
即 ，解得 ． ∈
|0− ×0−4|
2 = 2 =± 3
1+(− )
（3）如图，取AB的中点C，由圆的性质知OC⊥AB．
在Rt△ACO中，由勾股定理知 ，
2 2 2
+( ) =
即 ，解得 ， 2
2 2 2 2 4
+( ) =2 =
5 5
第14页（共20页）即圆心O到直线l的距离为 ，所以 ，
4 |0− ×0−4| 4
解得a＝±2． 5 1+(− ) 2 = 5
16．（15分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AB＝AC，E是AD的中
点．
（1）证明：CE⊥BD．
（2）求二面角E﹣BC﹣D的正弦值．
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为AB⊥平面ACD，CE 平面ACD，所以AB⊥CE．
在等边△ACD中，E是AD的中点，所以CE⊥AD，⊂
因为AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABD，
所以CE⊥平面ABD， ⊂
因为BD 平面ABD，
所以CE⊥⊂BD；
（2）不妨设AB＝AC＝2，AB⊥平面ACD，AB 平面ABC，
则平面ACD⊥平面ABC，在等边△ACD中，作⊂DO⊥AC，则DO⊥平面ABC，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2，0）， ，， ， ， ， ，
1 3
(0 1 3) (0 )
所以 ，， ， ， ， ， 2 2，， ，
→ → →
1 3
=(−2 2 0) =(−2 ) =(−2 1 3)
设平面BCE的法向量为 ， ，2 ， 2
→
=( 1 1 1)
第15页（共20页）则 → → ，则 → → ，
⋅ =−2 1+2 1 =0
→ ⊥ → → →
1 3
⊥ ⋅ =−2 1+ 1+ 1 =0
取x1 ＝1，得 ，， ， 2 2
→
=(1 1 3)
设平面BCD的法向量为 ， ， ，
→
=( 2 2 2)
则 ，则 ，
→ → → →
→ ⊥ → → ⋅ → =−2 2+2 2 =0
⊥ ⋅ =−2 2+ 2+ 3 2 =0
取x2 ＝1，得 ，， ，
→
3
=(1 1 )
3
又 ＜ ，＞ ，
→ →
→ →
⋅ 1+1+1 3 105
= → → = 1=
35
| || | 1+1+3× 1+1+3
所以 ＜ ， ＞ ，所以二面角E﹣BC﹣D的正弦值为 ．
→ → 2 70 2 70
17．（15 分 ） 如图 ，在=边长
35
为2的等边△ABC中，P为△ABC内一点
35
，∠BPC＝120°．
（1）若PB＝1，求△BCP的面积；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA的值．
【分析】（1）在△BCP中，由余弦定理求得PC，然后由三角形面积公式求得△BCP的面积；
（2）设∠PBA＝ ，通过三角形内角关系求得∠BCP，在△PBC中由正弦定理用 表示出边PB长，在
△APB中先求得∠αPAB，再由正弦定理建立方程，整理方程后求得tan ，即可求得α结果．
【解答】解：（1）在△BCP中，∠BPC＝120°，PB＝1， α
由余弦定理得 ，
2 2 2
+ −
∠ =
即 ，即PC2+P 2 C ﹣ ⋅ 3 ＝ 0，
2
1 1+ −4
− =
解得2 2 （负值已舍去），
13−1
=
可得 2 ；
1 1 13−1 3 39− 3
（2） 设 △ ∠ P=BA2 ＝ ，⋅ 在 正 三∠ 角 形 =中
2
∠×AB1C×＝602 °，×
2
=
8
α 第16页（共20页）可得∠PBC＝60°﹣ ，
所以∠BCP＝180°﹣α∠BPC﹣∠PBC＝ ，
α
在△PBC中，BC＝2，由正弦定理 ，
=
可得PB s∠in ∠
∠ 2 4 3
在△APB = 中， ∠∠ PA B ＝ = 180° 2 3 ﹣∠ = AP3B﹣∠ α PBA＝30°﹣ ，
α
由正弦定理 ，
=
∠ ∠
即 ，
4 3
2 3
1 =
(30°− )
2
所以 ，
3
(30°− )=
展开整理可得 3 ，即tan ．
1 5 3 3
= α=
即 2 ． 6 5
3
∠ =
18．（17分）已知数5列{an}的前n项和为Sn ，且 ．
3
（1）求{an}的通项公式； = 2 −
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn ；
（3）若 k=N(*，−T1
2
)
k﹣
⋅
1
＜ ＜T2k ，求 的取值范围．
∀ ∈ λ λ
【分析】（1）利用an 与Sn 的关系把 转化成关于an 的递推公式，再构造等比数列可得答案；
3
（2）利用分组求和可得答案； = 2 −
（3）由（2）可得到T2k﹣1 ，T2k ，利用单调性可得到其最值，即得答案．
【解答】解：（1）由 ，①
3
= −
当n＝1时， ，2 解得a1 ＝2；
3
1 = 1−1
当n≥2时， 2 ，②
3
−1 = −1−( −1)
①﹣②可得 2 ，
3 3
整理得an ＝3a n ﹣ = 1+ 2 ，− −1 = 2 − −[ 2 −1−( −1)]
设an+x＝3（an﹣1+x），即 3，
+
=
可得数列{an+x}是以3为公 比−1的+ 等比数列，
第17页（共20页）即an ＝3an﹣1+2x，
可得2x＝2，可得x＝1，
故数列{an+1}是首项为a1+1＝2+1＝3、公比为3的等比数列，
所以 ，
−1
因此 +1=3⋅；3 =3
（2） 由 =3 −1 ，
可得bn 是 两=个(等−比1)数 列 =的(差−，1) (3 −1)= (−3) −(−1)
所以Tn ＝b1+b2+…+bn
＝[（﹣3）1+（﹣3）2+…+（﹣3）n]﹣[（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]
−3[1−(−3) ] (−1) −1
= −
4 2；
+1 2
−1+(−3) −2(−1)
=
（3）由（2）4知，T2k﹣1 ，T2k （9k﹣1），
2 +1
9 −1 3 −3 3
=− = =
由T2k﹣1 ＜ ＜T2k ，知 ＜4 ＜ 4， 4
9 −1 3
λ − (9 −1)
易知 单调递4减， 4
9 −1
所以（ 2 T − 2 1 k﹣ = 1 ）− max4＝T1 ＝﹣2，
而 单调递增，所以（T2k ）
min
＝T2 ＝6，
3
k 2 N *=，4T2 ( k 9 ﹣1 ＜−1＜) T2k ，
∀只需∈ （T2k﹣1 ）
ma
λ
x
＜ ＜（T2k ）
min
，
即﹣2＜ ＜6． λ
故 的取值λ 范围是（﹣2，6）．
19．（λ17分）（1）求函数y＝sinx（cosx﹣1）的单调递增区间；
（2）若存在 使得对任意 ，都有cos（ + ）（cos ﹣1）≤b，求b的最小值；
（3）已知 β ， α ，且 α +2 β≤ ，求β cos（ + ）（cos ﹣1）的最值．
0≤ ≤ 0≤ ≤ α β π α β β
【分析】（1）直接求导得y′＝（22cosx+1）（cosx﹣1），再令其大于0，解出即可；
（2）分cos ﹣1＝0和cos ﹣1＜0讨论即可；
β β
（3）求导得f′（ ）＝sin（ + ）﹣sin（ +2 ），再分 和 ＜ 讨论即可．
【解答】解：（1）y β ′＝cosx（ α co β sx﹣1）﹣s α in2x β ＝2cos2x﹣ 2c ≤ os x﹣ ≤ 1＝ （ 0 2c ≤ os x+1）2（cosx﹣1）．
第18页（共20页）令y′＞0，得 ＜ ，解得 ， ， ．
1 2 4
− ∈ ( +2 +2 ) ∈
故y＝sinx（cosx﹣1）的2单调递增区间3为 3， ．
2 4
（2）cos（ + ） [﹣1，1]，若cos ﹣1＝( 30，+则2 c os（3+ +）2（ co ) s ( ﹣∈ 1 ）)＝0．
若cos ﹣1＜α0β，则∈cos（ + ）（cosβ﹣1） [cos ﹣1，α1﹣βcos ]，β
所以cβos（ + ）（cos ﹣1α）β的最大值β 的最小∈值为β0，即b的最β小值为0．
（3）令函数α β β ， ，
( )= ( + )( −1) 0≤ ≤ −
f′（ ）＝sin（ + ）﹣sin（ +2 ）． 2 2
β α β α β
①当 时， ，sin（ + ）≥sin（ +2 ），
≤ ≤ ≤ + ≤ +2 ≤ α β α β
所以f2′（ ）≥0，f（2 ）在 ， 上单调递增．
β β [0 − ]
2 2 ．
( ) = ( − )= ( + − )[ ( − )−1]=− ( −1)
2 2 2 2 2 2 2 2
因为 ， ，
2
≤ ≤ ≤ ≤ 1
所以4 2 2 2 2 ，
2 2 2−1
( ) =− ( −1)≤− ×( −1)=
当且仅当 ， 2 时，2等号成立．2 2 2
= =
f（ ）
min
＝f（20）＝0．4
β
②当 ＜ 时，令f′（ ）＝0，得 + + +2 ＝ 或 + ＝ +2 ，即 或 ＝0．
−2
当 ＝0 0时≤， f（2 ）＝0． β α β α β π α β α β = 3 β
β β
当 ＜ 时，0≤ + ≤ +2 ≤ ﹣（ + ）≤ ，
−2
所以0 si n（≤ +3）≤sin（ α +2 β），α f′β（π）≤0 α．β π
α β α β β
当 ＜ ＜ 时，若 ，
−2
− 0≤ + ≤
则 3 2 ＜2 ，所以2 sin（ + ）＞sin（ +2 ）．
≤ − ( + ) +2 ≤ α β α β
若2＜ ，则 ＜ ＜ ，
所以 2 si n（+ + ≤） ＞sin（ 2 + 2 +）， 所 以+ f′2 （≤） ＞0，
α β α β β
故当 ＜ 时，f（ ）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
−2 −2
0≤ β [0 ] [ − ]
， 2 3 3 2 2 ，
1
(0)=0 ( − )= ( + − )[ ( − )−1]=− ( −1)≤
2 2 2 2 2 2 2 2 4
第19页（共20页）当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
1
= = =
故 2．2 3 3
1
( ) =
4
−2 −2 −2 + 2 +2
( ) = ( )= ( + )( −1)= [ ( − )−1]=−
3 3 ． 3 3 3
+ 2 +2 3 +
( +1)=−2
因为 3 ＜ ，3所以 ＜ ，3 ＜ ，
+ + 1
0≤ ≤ 0 ≤
2 3 3， 2 3 2
3 + 1
( ) =−2 ≥−
当且仅当 ＝0时，等3 号成立4，此时 ，
α =
3
因为 ＜ ，＞ ，所以cos（ + ）（cos ﹣1）的最大值为 ，最小值为 ．
2−1 1 1 1 1
0 − α β β −
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