概率论公式（完整版）_考研_数学_00.公式_25《公式定理》默写本_概率论默写本

第 3 部分 概率论与数理统计 1．事件的运算律 交换律：A  B  B  A;A  B  B  A. 结合律：A  (B  C)  (A  B)  C ；A  (B  C)  (A  B)  C . 分配律：A  (B  C)  (A  B)  (A  C)；A  (B  C)  (A  B)  (A  C). 德摩根律（对偶律）：A  B  A  B  ,  A  B  A  B. 2．概率的五大计算公式 （1）加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB),     P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC).          （2）减法公式 P(B A) P(B)P(AB). （3）乘法公式 若P(A) 0,则P(AB) P(B A)P(A)；若P(B) 0,则P(AB) P(A B)P(B).     若P(AB)0,则P(ABC) P(C AB)P(B A)P(A) P(C AB)P(A B)P(B). （4）全概率公式 n n P(A)  P(A B) P(B ), 其中BB i  j,  B  Ω. i i i j i i1 i1 （5）贝叶斯公式 P(A B )P(B ) n P(B A)  j j ,其中BB i  j,  B  Ω. j n i j i  P(A B)P(B) i1 i i i1 【注】上述公式中事件B 的个数可以是可列个． i 3．事件的独立性 A与B独立 P(AB) P(A)P(B). 40P(AB) P(A)P(B),  A,B,C两两独立 P(AC) P(A)P(C),  P(BC) P(B)P(C).  P(AB) P(A)P(B),  P(BC) P(B)P(C), A,B,C相互独立  P(AC) P(A)P(C),   P(ABC) P(A)P(B)P(C). 4．独立的性质及结论 （1）若事件A,B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立. （2）独立的等价说法：若0 P(A)1，则 事件A,B独立 P(AB) P(A)P(B) P(B) P(B| A) P(B) P(B| A) P(B| A) P(B| A). （3）若A,A , ,A ,B ,B , ,B 相互独立，则 f(A,A , ,A )与g(B,B , ,B ) 1 2 m 1 2 n 1 2  m 1 2 n 也相互独立，其中 f(),g() 分别表示对相应事件作任意事件运算. （4）若P(A)0或P(A)1，则A与任何事件B都相互独立. 5．独立、互斥、互逆的关系 （1）A与B互逆 A与B互斥，但反之不一定成立； （2）A与B互斥（或互逆）且均为非零概率事件 A与B不独立； （3）A与B相互独立且均为非零概率事件 A与B不互斥. 【注】一般情况下，独立和互斥无关，独立推不出互斥、互斥也推不出独立. 6．分布函数的性质 （1）非负性：0 F(x)1. （2）规范性：F()0,F()1. （3）单调不减性：对于任意x  x ，有F(x ) F(x ). 1 2 1 2 （4）右连续性：F(x 0) F(x ). 0 0 7．密度函数的性质 41（1）非负性： f(x)0 x.  （2）规范性： f(x)dx1.  b （3）对于任意实数a和b(ab)，有P{a X b} f(x)dx. a （4）对于连续型随机变量X ，有PX  x0，对xR成立. （5）连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数. （6）在 f(x)的连续点处，有F(x) f(x). 8．几个常见的分布 （1）离散型分布 1）0-1分布 X  B(1, p) P(X  k)  pk(1  p)1k,(k  0,1). EX p, DX p(1 p).     2）二项分布 X  B(n, p) P(X  k)  Ckpk(1  p)nk,(k  0,1,  ,n). n EX np, DX np(1 p).     3）泊松分布 X P()(0)  k P(X k) e,(k 0,1,2 ).  k! EX , DX . 4）几何分布 X G(p)  P(X k) p(1 p)k1,(0 p1,k 1,2, ).  1 1 p EX  , DX  . p p2 5）超几何分布 X H(N,M,n)  Ck Cnk P(X k) M NM ,(k 0,1, ,minn,M).   Cn N （2）连续型分布 421）均匀分布 X U(a,b)   1  , a xb, f(x)ba  0, 其他. ab (ba)2 EX  , DX  .  2 12 2）指数分布 X E()(0)  ex, x0, f(x) 0, 其他. 1 1 EX  , DX  .   2 3）正态分布 ○1 一般正态分布 X  N(,2) 1  (x)2 f(x) e 22 ,( x,0). 2π EX , DX 2.  ○2 标准正态分布 X  N(0,1) 1  x2 (x) e 2 ( x). 2π 1   性质：(x)1(x)；(0) ；P X a 2(a)1. 2 上分位点： 设X ~ N(0,1)，对于给定的(01)，如果u 满足条件：  PX u ，  则称u 为标准正态分布的上分位点.  ○3 标准正态分布与一般正态分布的关系 X  正态分布X ~ N(,2)，通过线性变换Z  变为标准正态分布.  9．一维随机变量函数的分布 （1）离散型 43问题：若P(X  x ) p ,Y  g(X)，求Y 的分布律. i i 方法：P(Y  y )  P(X  x ). j i g(x)y i i （2）连续型 问题：X f (x),Y  g(X)，求Y 的分布密度.  X 方法：分布函数法 F (y) P(Y  y) P(g(X) y)  f (x)dx, Y X g(x)y f (y) F(y). Y Y 10．联合分布函数的概念与性质 （1）定义 F(x,y) P{X  x,Y  y}( x, y) 称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，它表示随机事件{X  x}与{Y  y}同时发 生的概率. （2）性质 1）非负性：对于任意实数x,yR，0 F(x,y)1. 2）规范性： F(,y) lim F(x,y)0, F(x,) lim F(x,y)0,  x y F(,) lim F(x,y)0, F(,) lim F(x,y)1.  x x y y 3）单调不减性：F(x,y)分别关于x和y单调不减. 4）右连续性：F(x,y)分别关于x和y具有右连续性，即 F(x,y) F(x0,y),  F(x,y) F(x,y0),  x,yR. 11．二维离散型随机变量及其分布 （1）二维离散型随机变量的定义 若二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限对或可列无穷多对实数，则称(X,Y)为二 维离散型随机变量. （2）联合分布律 44公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取P(X  x,Y  y } p , (i, j 1,2, ), i j ij   p 0; ij    p 1. ij i1 j1 （3）边缘分布律   PX  xP{X  x ,Y  y } p  p (i 1，2， ), i i j ij i   j1 j1   PY  yP{X  x ,Y  y } p  p (j 1，2， ). i i j ij j   i1 i1 （4）条件分布律   对于给定的 j，若P Y  y 0(j 1,2, )，则称 j    P X  x ,Y  y p P  X  x Y  y   i j  ij ,i 1,2, i j P  Y  y  p  j j 为在Y  y 的条件下随机变量X 的条件概率分布； j 对于给定的i，如果PX  x0(i1,2, )，则称 i    P X  x ,Y  y p P  Y  y X  x   i j  ij , j 1,2, j i PX  x p  i i 为在X  x 的条件下随机变量Y 的条件概率分布. i 12．二维连续型随机变量及其分布 （1）定义 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数 x y f(x,y)，使得对任意实数x,y，有F(x,y)   f(u,v)dudv，则称(X,Y)为二维连   续型随机变量，称函数 f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数或联合密度函数. （2）性质 1） f(x,y)0 ( x, y)；   2）  f(x,y)dxdy 1；   3）设D是xOy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为： 45P(X,Y)D f(x,y)d； D 2F(x,y) 4）若 f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 f(x,y) . xy （3）边缘密度函数   f (x) f(x,y)dy;  f (y)  f(x,y)dx. X Y   （4）条件密度函数 f(x,y) 当 f (y)0时，称 f (x y) 为在条件Y  y下X 的条件密度函数； Y XY f (y) Y f(x,y) 当 f (x)0时，称 f (y x) 为在条件X  x下Y 的条件密度函数. X YX f (x) X 13．两个常见的二维连续型分布 （1）二维均匀分布 1）定义 设G是平面上有界可求面积的区域，其面积为 G ，若二维随机变量(X,Y)具有密度函 数  1 , (x,y)G,  f(x,y) G  0, (x,y)G 则称(X,Y)在区域G上服从二维均匀分布. 2）性质   若(X,Y)在各边平行于坐标轴的矩形区域D (x,y) a xb,c yd 上服从 二维均匀分布，则它的两个分量X 和Y 是独立的，并且分别服从区间a,b,c,d上的 一维均匀分布. （2）二维正态分布 1）定义 如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 461  1 (x)2 f(x,y) exp  1  2π 1  2 12  2(12)   1 2 2(x)(y) (y)2  1 2  2 ( x, y )  1  2  2 2  其中,, 0, 0,11均为常数，则称(X,Y)服从参数为,,, 和 1 2 1 2 1 2 1 2 的二维正态分布，记作(X,Y)~ N(,;2,2;). 1 2 1 2 2）性质 ① X ~ N(,2)，Y ~ N(,2)； 1 1 2 2 ② X与Y 独立的充分必要条件是0； ③ X与Y 的非零线性组合服从一维正态分布，且 当X与Y 不独立时， k X k Y ~ N(kk ,k22 k22 2k k  )； 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 当X与Y 独立时， k X k Y ~ N(kk ,k22 k22). 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a b ④ 若(X ,X )服从二维正态分布，且行列式 0，则 1 2 c d aX bX ,cX dX 也服从二维正态分布. 1 2 1 2 14．随机变量的独立性 （1）定义 1）对于任意实数x和y有：F(x,y) F (x)F (y)，则称X 和Y 相互独立； X Y 2）对于任意i, j 1,2,  有：P  X  x,Y  y   PX  xP  Y  y ，则称二维 i j i j 离散型随机变量X 和Y 相互独立； 3）对于任意实数x和y有：f(x,y) f (x)f (y)，则称二维连续型随机变量X 和 X Y Y 相互独立. （2）性质 471）若X 与Y 相互独立， f(x)和g(x)为连续函数，则 f(X)与g(Y)也相互独立； 2）若X ,X  X ,Y,Y  Y 相互独立，f()为n元连续函数和g()为m元连续函 1 2 n 1 2 m 数，则 f(X ,X X )与g(Y,Y Y )也相互独立. 1 2 n 1 2 m 15．两个随机变量简单函数的概率分布 （1）离散型 已知(X,Y)的概率分布为 P  X  x,Y  y   p ,i, j 1,2, . i j ij  则Z  g(X,Y)的分布律为 P(Z  z ) Pg(X,Y) z   P(X  x ,Y  y ). k k i j g(x,y)z i i k （2）连续型 1）一般方法（分布函数法） 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则随机变量Z  g(X,Y)的分 布函数和概率密度为 F (z) PZ  z Pg(X,Y) z  f(x,y)dxdy, Z g(x,y)z f (z) F(z). Z Z 2）公式法（卷积公式） 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则随机变量Z  X Y 的密 度函数为   f (z) f(x,zx)dx 或 f (z) f(z y,y)dy. Z Z   若X与Y 独立，则   f (z) f (x)f (zx)dx 或 f (z) f (z y)f (y)dy. Z X Y Z X Y   这个公式称为独立和卷积公式. 16．关于随机变量X 的数学期望 （1）离散型 48 设随机变量X 的分布律为P{X  x} p (i 1,2, )，若级数x p 绝对收敛，则  i i i i i1  称EX x p 为随机变量X 的数学期望. i i i1 （2）连续型  设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x) ，若积分 xf(x)dx 绝对收敛，则称   EX   xf(x)dx为X 的数学期望.  （3）随机变量函数Y  g(X)的期望 设X 是一个随机变量，g(x)为连续实函数. 令Y  g(X) 1）离散型 若X 的分布律为P{X  x} p (i 1，2， )，则 i i   EY  Eg(X)g(x )p. i i i1 2）连续型 若X 的密度函数为 f (x)，则 X EY  Eg(X)   g(x)f (x)dx. X  17．关于二维随机变量(X,Y)的数学期望 （1）离散型 设(X,Y)的概率分布为 P{X  x,Y  y } p (i, j 1,2,)， i j ij 则 EX x p x p , i i i ij i i j EY y p y p . j j i ij j i j （2）连续型 设(X,Y)的联合概率密度为(x,y)，则 49公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取   EX   xf (x)dx   xf(x,y)dxdy, X       EY   yf (x)dy    yf (x,y)dxdy. Y    （3）随机变量函数Z  g(X,Y)的期望 设(X,Y)为二维随机变量，g(x,y)为二元连续实函数，令Z  g(X,Y) 1）离散型   若(X,Y)的联合分布律为P X  x i ,Y  y j  p ij ,i, j 1 ，2 ，  则   EZ  Eg(X,Y)g(x ,y )p . i j ij i1 j1 2）连续型 若(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)，则 EZ  Eg(X,Y)     g(x,y)f(x,y)dxdy.   18．期望的性质 （1）E(C)C，E(EX) EX ； （2）E(CX)CEX ； （3）E(k X k Y)k EX k EY ； 1 2 1 2 （4）若X与Y 相互独立，则有E(XY) EXEY . 19．方差 （1）随机变量X 的方差定义 设X 是一个随机变量，如果E(X EX)2存在，则称 DX  E(X EX)2为X 的方 差，称 DX 为标准差或均方差. （2）方差的计算公式 DX  EX2 (EX)2. 【注】解题时，常用此公式计算EX2  DX (EX)2. （3）方差的性质 501）D(C)0,  DE(X)0,  DD(X)0； 2）D(CX)C2DX ； 3）D(C X C )C2D(X)； 1 2 1 4）DX Y DX DY 2cov(X,Y)； 5）若X,Y 相互独立，则DX Y DX DY . 20．协方差 （1）定义 cov(X,Y) E(X EX)(Y EY). （2）计算公式 cov(X,Y) EXY EXEY. （3）性质 1）cov(X,Y)cov(Y,X)； 2）cov(X,X) DX ； 3）cov(aX,bY)abcov(X,Y)； 4）cov(X,C)0； 5）cov(k X k X ,Y)k cov(X ,Y)k cov(X ,Y)； 1 1 2 2 1 1 2 2 6）若X 与Y 相互独立，则cov（X,Y）0. 21．相关系数 （1）定义 cov(X,Y)   . XY DX DY （2）相关系数的性质 1）  1; XY 2）  1 PY aX b1(a 0),且 XY 51当a0时， 1；a0时，  1. XY XY （3）不相关的等价说法  0    cov(X,Y)0  EXY  EXEY    D(X Y)  DX DY. XY （4）不相关与独立的关系 1）X,Y 相互独立 X 与Y 不相关，反之不成立； 2）若(X,Y)~ N(,;2,2;)，则X 与Y 独立和X 与Y 不相关等价. 1 2 1 2 22．切比雪夫不等式 设随机变量X 的期望EX ，方差DX 都存在，则对任意0均有 DX   P X EX  ；   2 或 DX   P X EX  1 .  2 23．大数定律 （1）依概率收敛 对于随机变量序列X ,X , ,X , 和常数a，如果对于任意给定的正数，有 1 2  n    limP X a  1, n n P 则称随机变量序列X ,X , ,X , 依概率收敛于a，记作X a. 1 2  n  n （2）切比雪夫大数定律 设随机变量X ,X ,  ,X ,  相互独立，数学期望EX 和方差DX 均存在，且方差 1 2 n i i DX 有公共上界，即存在常数C，使DX C i 1,2, ,则对于任意给定的正数， i i   总有  1 n 1 n  limP X  EX 1. n  n i1 i n i1 i  1 n 【注】上式表明：当n很大时，相互独立方差有公共上界的随机变量的平均值 X 依 n i i1 1 n 概率收敛于其数学期望 EX . n i i1 52（3）伯努利大数定律 设n 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p是事件 A 在每次试验中发生的 A 概率. 则对于任意正数0,有  n  limP A  p 1. n  n  n 【注】上式表明：当n很大时，随机事件A发生的频率 A 依概率收敛于事件A的概率 p， n 因此在试验次数充分大时，可以用频率来近似代替概率. （4）辛钦大数定律 设随机变量X ,X , X , 相互独立，服从相同的分布，具有数学期望EX  1 2  n  i (i 1,2, )则，对于任意给定的正数，总有   1 n  limP X 1. n  n i1 i  1 n 【注】上式表明：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值 X 依概率收敛于 n i i1 它的数学期望. 24．中心极限定理 （1）列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量X ,X , X , 相互独立，服从相同的分布，具有数学期望EX 和 1 2  n  i 方差DX 2 0 (i 1,2, )，则对于任意实数x，有 i   n  X n   i   limP i1  x(x). n  n    n 【注】上式表明：在定理条件下，当n充分大时，X 以正态分布为极限分布. i i1 （2）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量X 服从参数为n,p(0 p1,n1,2, )的二项分布，即 n  53X ~ B(n,p)，则对于任意实数x，有 n  X np  limP n  x(x). n  np(1 p)  【注】上式表明：当重复实验次数足够多时，二项分布以正态分布为极限分布. 25．重要统计量 （1）样本均值 1 n 1 n X  X ，观测值x x. n i n i i1 i1 2 EX ,  DX  . n （2）样本方差 1 n 1 n S2  (X  X)2 ，观测值为s2  (x x)2. n1 i n1 i i1 i1 ES2 2. （3）样本标准差 1 n 1 n S  (X X)2 ，观测值为s  (x x)2. n1 i n1 i i1 i1 （4）样本k阶原点矩 1 n 1 n A  Xk ，观测值为a  xk, k 1,2, . k n i k n i  i1 i1 如果总体的X 的k阶原点矩EXk (k 1,2, )存在，则当n时有 k  1 n A k  n X i k PEXk,  k 1,2,  . i1 （5）样本k阶中心矩 1 n 1 n B k  n (X i  X)k ，观测值为b k  n (x i x)k,  k 2,3,   i1 i1 （6）顺序统计量 设总体 X 的分布函数为F(x)， X ,X , ,X 是来自总体 X 的样本，则统计量 1 2  n 54X max(X ,X , ,X )和X min(X ,X , ,X )的分布函数分别为 (n) 1 2  n (1) 1 2  n F (x) Pmax(X ,X , ,X ) xF(x)n , X 1 2  n (n) F (x) Pmin(X ,X , ,X ) x11F(x)n . X 1 2  n (1) 26．三大分布 （1）2分布 1）典型模式 设随机变量X ,X , X 相互独立，且均服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量 1 2  n 2  X2  X2   X2服从自由度为n的2分布，记作2 ~2(n). 1 2  n 2）2分布的性质 设X ~2(n ),Y ~2(n )，且X 和Y 相互独立，则X Y ~2(n n ). 1 2 1 2 3）2分布的数字特征 E2 n,  D2 2n. 4）上分位点2(n)  设2 ~2(n)，对于任给定的(01)，称满足条件P  2 2(n)   的点  2(n)为2(n)的上分位点.  （2）t分布 1）典型模式 X 设随机变量X ~ N(0,1),Y ~2(n),且X 和Y相互独立，则随机变量t  服从 Y n 自由度为n的t分布，记作t ~（t n）. 2）性质 1  x2 t分布的概率密度 f(x)是偶函数，且有lim f(x) e 2 ,即当n充分大时，t(n) n 2π 分布近似于N(0,1)分布. 3）上分位点t (n)  55设t ~t(n)，对于任给定的(01)，称满足条件Pt t (n)的点t (n)为   t(n)的上分位点. （3）F 分布 1）典型模式 X m 设随机变量X ~2(m) ,Y ~2(n),且X 和Y相互独立，则随机变量F  服 Y n 从自由度为(m,n)的F 分布，记作F ~ F(m,n). 2）性质 1 若F ~ F(m,n)，则 ~ F(n,m). F 3）上分位点F (m,n)  设F ~ F(m,n)，对于任给定的(01)，称满足条件PF F (m,n)的点  F (m,n)为F(m,n)的上分位点.  27．一个正态总体的抽样分布 设X ,X , ,X 是来自正态总体X ~ N(,2)的样本，样本均值为X ，样本方差  1 2 n 为S2，则有 2 X  （1）X ~ N(, ),  ~ N(0,1)； n  n (n1)S2 （2）X 与S2相互独立，且 ~2(n1) ； 2 X  （3） ~t(n1)； S n 1 n （4） (X )2 ~2(n). 2 i i1 28．两个正态总体的抽样分布 设 X ~ N(,2),Y ~ N(,2)， X ,X , ,X 和Y,Y , ,Y 分别为来自总体   1 1 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 X和Y 的样本，且两个样本相互独立，则有 56(X Y)() （1） 1 2 ~ N0,1； 2 2 1  2 n n 1 2 （2）如果2 2 则 1 2 (X Y)() (n 1)S2 (n 1)S2 1 2 ~tn n 2，其中S2  1 1 2 2 ； 1 1 1 2 w n n 2 S  1 2 w n n 1 2 1 n 1 (X )2 n 2 i 1 1 （3） 1 i1 ~ F(n ,n )； 1 n 2 1 2 (Y )2 n 2 j 2 2 2 j1 S2 2 （4） 1 1 ~ F(n 1,n 1). S2 2 1 2 2 2 29．矩估计 （1）原理：样本的k阶原点矩依概率收敛于总体的k阶原点矩. （2）解题步骤（待估参数为k个,, ,） 1 2  k ○ 1 求出总体的k阶原点矩  EXk k 1,2,  ； k 1 n ○ 2 令样本的k阶原点矩A  Xk 等于总体的k阶原点矩，即令 k n i i1 1 n EXk  Xk k 1,2,  n i  i1 ○ 3 解上面的方程方程组，得 i 的矩估计量为 i X 1 ,X 2 ,  ,X n ，则 i 的矩估计 值为 i x 1 ,x 2 ,  ,x n . 1 n 【注】当待估参数为1个时，通常令EX  X ，即可解得的矩估计量与相应的 n i i1 矩估计值. 30．最大似然估计法 （1）X 为连续型随机变量 设总体X 的密度函数为 f(x;), X ,X , ,X 为取自X 的样本，则 1 2  n 57n L(x ,x , ,x ;) f(x;)  1 2 n i i1 称为似然函数，L(x ,x , ,x ;)关于的最大值点，称为的最大似然估计. 1 2  n （2）X 为离散型随机变量 设总体X 的分布律PX a p(a;),i 1,2, , X ,X , ,X 为取自X 的样本，则 i i  1 2  n X ,X , ,X 的联合分布律 1 2  n n Lx ,x , ,x ; p(x;), x 为a i 1,2, 中的某一个数 1 2  n i i i  i1 称为似然函数，L(x ,x , ,x ;)关于的最大值点，称为的最大似然估计. 1 2  n 【注】上面（1），（2）中的可以是多个待估参数,, , . 1 2  k （3）最大似然估计的解题步骤（待估参数为k个,,  , ） 1 2 k ○ 1 写出似然函数 n Lx ,x , ,x ;,, ,  p(x;,, ,), （离散型） 1 2  n 1 2  k i 1 2  k i1 n L(x ,x , ,x ;,, ,) f(x;,, ,) （连续型） 1 2  n 1 2  k i 1 2  k i1 ○ 2 取对数lnL； lnL lnL ○ 3 若lnL对 1 , 2 ,  , k 可微，求偏导数  ,i 1,2,  ,k；判断方程组  0 i i 是否有解. 若有解，则其解即为所求最大似然估计；若无解则要考虑极大似然估计的意 义（使似然函数取得最大值），此时，估计值常在的边界点上达到. i 【注】对于只有一个未知参数只需将步骤○ 3 中求偏导变为一元函数求导即可. 31．估计量的评选标准 （1）无偏性 如果的估计量(X ,X , ,X ) 的数学期望 E 存在，且 E  则称 1 2  n (X ,X , ,X )是未知参数的无偏估计量. 1 2  n （2）有效性 58(X ,X , ,X ) 和(X ,X , ,X ) 都是未知参数的无偏估计量，若   1 1 2 n 2 1 2 n D() D()，且至少对于某一个左式中的不等号成立，则称(X ,X , ,X )  1 2 1 1 2 n 比(X ,X ,  ,X )更有效. 2 1 2 n （3）一致性（相合性） 若对任意0, 有limP()1，则称为的一致估计量. n 32．区间估计 单正态总体的区间估计 设X ~ N(,2)，X ,X , ,X 为随机样本，样本均值为X ，样本方差为S2 1 2  n 未知参数 置信度为1的置信区间   2已知 (X U ,X U ) 2 2 n n  S S 2未知 (X t (n1) ,X t (n1) ) 2 2 n n  n n  (X )2 (X )2   i i 已知  i1 , i1   2 (n) 2 (n)  2 12   2    (n1)S2 (n1)S2  未知  ,  2 (n1) 2 (n1)  2 12  33．假设检验 （1）假设检验的两类错误 1）第一类错误（弃真错误） 当H 为真时，而样本值却落入了拒绝域，选择拒绝原假设H ，记犯此类错误的概 0 0 率，即 P否定H |H 为真. 0 0 2）第二类错误（纳伪错误） 59公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取当H 为假时，而样本值不在拒绝域，选择接受原假设H ，记犯此类错误的概率， 0 0 即 P接受H |H 为假. 0 0 （2）显著水平为的单正态总体均值和方差的假设检验 原假设H 备择假设H 已知条件 检验统计量 H 的拒绝域 0 1 0 X   0  0 2已知 U  0  N(0,1) U u 2  / n 0 X    2未知 T  0 ~t(n1) T t (n1) 0 0 2 S / n 2 2 n 2 1 n 2 2 2 2 已知 2  (X )2~2n 或 0 0 2 i 0 0 i1 2 2 n 12 2 2 n1 2 (n1)S2 2 2 2 2 未知 2  ~2(n1) 或 0 0 2 0 2 2 n1 12 60