文档内容
15.1.2 分式的基本性质 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
二、教学重、难点：
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形.
三、教学过程：
复习回顾
1.下列各式中，属于分式的是( )
x+1 2 1 a
x2 +y
A. 2 B.x+1 C.2 D.2
x+1
2.当x____时，分式x−2有意义.
x+1
3.当x____时，分式x−2的值为零.
3 1
=
4.6 2的依据是什么？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变.
2 2c 4c 4
= =
5.由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么3 3c，5c 5.
a a a⋅c a a÷c
= =
一般地，对于任意一个分数b ，有b b⋅c ，b b÷c(c≠0)，其中a，b，c是数.
知识精讲
思考：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
A A⋅C A A÷C
= =
B B⋅C ，B B÷C (C≠0)其中A，B，C是整式.典例解析
例1.填空：
x3 ( ) 3x2 +3xy x+y 1 ( ) 2a−b ( )
= = = =
(1) xy y ， 6x2 ( ) ； (2) ab a2b ， a2 a2b (b≠0).
看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化.
x3 x3 ÷x x2 3x2 +3xy (3x2 +3xy)÷(3x) x+y
= = = =
解：(1) xy xy÷x y ， 6x2 6x2 ÷(3x) 2x
1 1⋅a a 2a−b (2a−b)⋅b 2ab−b2
= = = =
(2) ab ab⋅a a2b， a2 a2 ⋅b a2b
想一想：（1）中为什么不给出x≠0,而（2）中却给出了b≠0?
【针对练习】填空：
(1) (2) (3) (4)
例2.不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
① -x2 ； ② b ； ③ 1-x-x2； ④ -3m-m2．
-
x2- y -a2-a 1-x2+x 1-m2
解：①-x2 x2 ；
=-
x2- y x2- y
② b b b ；
=- =-
-a2-a -(-a2-a) a2+a
③1-x-x2 -(1-x-x2) x2+x-1；
= =
1-x2+x -(1-x2+x) x2-x-1
④
-3m-m2 -(-3m-m2) m2+3m
- =- =- .
1-m2 -(1-m2) m2-1
【针对练习】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号．
-5 y -a 4m -x
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
-x2 2b -3n 2y-5 y 5 y -a a 4m 4m -x x
解：（1） = ,（2） =- ,（3） =- ,（4） =- .
-x2 x2 2b 2b -3n 3n 2y 2y
例3.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
1 1
x- y
5 2 0.1x+0.3 y
(1) ； (2) .
1 2 0.5x-0.02y
x+ y
4 3
1 1
x- y
5 2 12x-30 y
（1）解： 分子分母同时乘以60得： ；
1 2 15x+40 y
x+ y
4 3
0.1x+0.3 y 10x+30 y 5x+15 y
（2）解： 分子分母同时乘以100得： = ．
0.5x-0.02y 50x-2y 25x- y
【针对练习】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
1 1 1
a- b+ c 1 3
0.6x-0.3 y 0.25a2+0.5b2 2 3 6 x- y-1
① ；② ；③ ；④ 8 5 ．
0.5x2+0.7 y2 0.75a2-2b2 1 1
a+ b 4-3x2
6 4
解：① 0.6x-0.3 y 10(0.6x-0.3 y) 6x-3 y ，
= =
0.5x2+0.7 y2 10(0.5x2+0.7 y2) 5x2+7 y2
②0.25a2+0.5b2 4(0.25a2+0.5b2) a2+2b2
，
= =
0.75a2-2b2 4(0.75a2-2b2) 3a2-8b2
1 1 1 (1 1 1 )
a- b+ c 12 a- b+ c
③2 3 6 2 3 6 6a-4b+2c，
= =
1 a+ 1 b 12 (1 a+ 1 b ) 2a+3b
6 4 6 4
1 3 (1 3 )
④ x- y-1 40 x- y-1
8 5 8 5 5x-24 y-40
= = .
4-3x2 40(4-3x2) 160-120x2
知识精讲
思考：联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分吗？
3x2 +3xy
与分数的约分类似，在例 1(1)中，我们利用分式的基本性质，约去 6x2 的分子和分3x2 +3xy x+y
母的公因式3x，不改变分式的值，把 6x2 化为 2x .像这样，根据分式的基本性质，把一
x+y
个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 经过约分后的分式 2x ，其分子与分
母没有公因式. 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式.
典例解析
例4.约分：
(1) (2) (3)
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.
找公因式方法：
（1）分子、分母系数的最大公约数；
（2）分子、分母公共字母的最低次幂.
−25a2bc3 5abc⋅5ac2 5ac2
=− =−
解：(1) 15ab2c 5abc⋅3b 3b
分析：约分时,分子或分母若是多项式，能分解则先进行因式分解，再找出分子和分母的公因
式进行约分.
x2 −9 (x+3)(x−3) x−3
= =
(2) x2 +6x+9 (x+3) 2 x+3
(如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？)
6x2 −12xy+6y2 6(x−y) 2
= =2(x−y)
(3) 3x−3y 3(x−y)
约分的基本步骤：
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂；
(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
注意事项：
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.【针对练习】将下列分式约分:
（1） 10a3bc ；（2）-2a(a+b)；（3）(a-x) 2 ；（4） x2-25 ．
-5a2b3c2 3b(a+b) (x-a) 3 x2-10x+25
解：（1） 10a3bc =﹣ 2a ；
-5a2b3c2 b2c
-2a(a+b) 2a
（2） =﹣ ；
3b(a+b) 3b
（3）(a-x) 2 (x-a) 2 = 1 ；
=
(x-a) 3 (x-a) 3 x-a
（4） x2-25 (x+5)(x-5) =x+5．
=
x2-10x+25 (x-5) 2 x-5
知识精讲
思考：联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，在例2(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的
1 2a−b
整式，不改变分式的值，把ab和 a2 化成分母相同的分式. 像这样，根据分式的基本性质，
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，
它叫做最简公分母.
注意：确定最简公分母是通分的关键.
典例解析
例5.通分：
3 a−b 2x 3x
(1) 2a2b与ab2c (2) x−5与x+5 (3)
分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分
母，它叫做最简公分母.
解：(1) 最简公分母是_______.
3 3⋅bc 3bc a−b (a−b)⋅2a 2a2 −2ab
= = = =
2a2b 2a2b⋅bc 2a2b2c，ab2c ab2c⋅2a 2a2b2c(2) 最简公分母是__________.
2x 2x(x+5) 2x2 +10x 3x 3x(x−5) 3x2 −15x
= = = =
x−5 (x−5)(x+5) x2 −25 ， x+5 (x+5)(x−5) x2 −25
（3）最简公分母是x(x+y)(x-y).
确定几个分式的最简公分母的一般步骤：
（1）分母为多项式的先因式分解；
（2）系数：各分式分母系数的最小公倍数；
（3）字母：各分母的所有字母的最高次幂；
（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂；
（5）写成积的形式.
【针对练习】将下列各分式通分：
x-1 2 3a 1 1 2 1 x
（1） , ；（2） ,- ；（3） , ；（4） , ．
3x2 ax 2a-b b-2a a2-9 a2+6a+9 x2-4 4-2x
x-1 a(x-1) 2 6x
解：（1） = ， = ；
3x2 3ax2 ax 3ax2
3a 1 1
（2） ，- = ；
2a-b b-2a 2a-b
（3） 1 a+3 ， 2 2(a-3) ；
= =
a2-9 (a+3) 2 (a-3) a2+6a+9 (a+3) 2 (a-3)
1 1 2 x x x(x+2)
（4） = = ， =- =- ．
x2-4 (x+2)(x-2) 2(x+2)(x-2) 4-2x 2(x-2) 2(x+2)(x-2)
思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
它们的共同点：
1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一个数或整式；
2.并且同乘(或除以)不能是0.
根据：分数的通分和约分根据的是分数的基本性质；
分式的通分和约分根据的是分式的基本性质.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
15bc 3(a-b) 2 a2+b2 a2-b2
1．分式 ， ， ， 中最简分式的个数是（ ）
12a b-a 2(a+b) a+b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7 7x
2．使等式 = 自左到右变形成立的条件是（ ）
x+2 x2+2x
A．x<0 B．x>0 C．x≠0 D．x≠0且x≠7
3．下列各式中，正确的是（ ）
a+m a x- y 1 a+b ab-1 b-1
A． = B． = C． =0 D． =
b+m b x2- y2 x+ y a+b ac-1 c-1
4．不改变分式 2-3x2+x 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
-5x3+2x-3
A． 3x2+x+2 B． 3x2-x+2 C． 3x2+x-2 D． 3x2-x-2
5x3+2x-3 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3
-0.2x-1
5．不改变分式的值，将分式 中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数
-0.3x+0.5
都是最小的正整数，正确的是（ ）
2x+1 2x-10 2x+10 2x+10
A． B． C． D．
3x-5 3x+5 3x+5 3x-5
xy
6．如果把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
x+ y
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
7．下列说法正确的是（ ）
x2-4
A．分式 的值为零，则x的值为±2
x-2B．根据分式的基本性质，等式m mx2
=
n nx2
5
0.6a- b
3 18a-50b
C．把分式 的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
2 21a-12b
0.7a- b
5
34(x- y)
D．分式 是最简分式
85(x+ y)
8．（1）x-1 1-x；（2）( ) 5x y2；（3）1-x () .
= = =
x-2 () 3x 3x2y y-2 4- y2
9．化简分式ax2-a y2＝_____．
a2x+a2y
4a 3c 5b
10．下列分式 ， ， 通分的最简公分母是_________．
5b2c 4ab 2ac3
2 3 a
11．分式 ， ， 的最简公分母是_______________.
a2+ab ab+b2 a2-ab-2b2
3x2
12．若分式 的值为4，则把x,y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为____．
x+ y
1 1 2x-3xy+2y
13．已知 + =4，则 =________．
x y -x+2xy- y
14．约分：(1) 10a3bc (2) x2-9
-5a2b3c2 x2-6x+9
15．通分：
x 3x 6c c x- y xy 2mn 2m-3
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 ；（4） 与 ．
3 y 2y2 a2b 3ab2 2x+2y (x+ y) 2 4m2-9 2m+3
【参考答案】
B
C
1.
B
2.
D
3.
A
4.
5.D
C
6.
2-x,5y,xy-y+2x-2
7.
x- y
8.
a
9.
20ab2c3
ab(a+b)(a-2b)
10.
8
11.
5
12. -
2
13.
14.解：（1）原式 10a3bc 5a2 ⋅b⋅c⋅2a 2a ；
= =- =-
-5a2b3c2 5a2 ⋅b⋅c⋅b2c b2c
（2）原式 (x+3)(x-3) x+3．
= =
(x-3) 2 x-3
x 3x
15.解：（1）∵ 与 的最简公分母是6y2，
3 y 2y2
x 2xy 3x 9x
∴ = ， = ；
3 y 6 y2 2y2 6 y2
6c c
（2）∵ 与 的最简公分母是3a2b2，
a2b 3ab2
6c 18bc c ac
∴ = ， = ；
a2b 3a2b2 3ab2 3a2b2
x- y xy
（3）∵ 与 的最简公分母是2(x+ y) 2，
2x+2y (x+ y) 2
∴ x- y = x2- y2 ， xy = 2xy ；
2x+2y 2(x+ y) 2 (x+ y) 2 2(x+ y) 2
2mn 2m-3
（4）∵ 与 的最简公分母是4m2-9，
4m2-9 2m+3
∴ 2mn = 2mn ，2m-3 = (2m-3) 2．
4m2-9 4m2-9 2m+3 4m2-9
四、教学反思：
