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2021 年湖北省咸宁市中考数学真题及答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．
2．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火
星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数
法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A．等边三角形 B．正六边形 C．正方形 D．圆
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中
学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行
抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计
图，则下列说法错误的是（ ）A．样本容量为400 B．类型D所对应的扇形的圆心角为
C．类型C所占百分比为 D．类型B的人数为120人
7．如图， 是 的外接圆， 交 于点E，垂足为点D， ， 的延长线交于点F．若
， ，则 的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图， 为矩形 的对角线，已知 ， ．点P沿折线 以每秒1个单位长度
的速度运动（运动到D点停止），过点P作 于点E，则 的面积y与点P运动的路程x间的函
数图象大致是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
9．式子 在实数范围内有意义，则a的取值范围是____．
10．正五边形的一个内角是_____度．
11．东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，
87，89，91，85，92，90．则这组数据的中位数为______．
12．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即
可）
13．在 中， ， ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点
E，F；再分别以点E，F为圈心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交 于点D．则 与
的数量关系是____．
14．如图，建筑物 上有一高为 的旗杆 ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B的
仰角为 ，则建筑物 的高约为_____ （结果保留小数点后一位）．（参考数据 ，
， ）15．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数．设
， ，则 ，记 ， ，…， ．
则 ____．
16．如图，正方形 中， ，连接 ， 的平分线交 于点E，在 上截取 ，
连接 ，分别交 ， 于点G，H，点P是线段 上的动点， 于点Q，连接 ．下列结论：①
；② ；③ ；④ 的最小值是 ．其中所有正确结论的序号
是_____．
三、解答题
17．计算： ．
18．如图，在 和 中， ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
19．2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式
来确定各市选派命题组长的学科．第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市
从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取
一科．
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是_______；
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率．
20．如图，反比例函数 上的图象与一次函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线 交y轴于点C，点 是正半轴上的一个动点，过点N作 轴交反比例函数 的
图象于点M，连接 ， ．若 ，求t的取值范围．
21．如图，在 中， ， 与 ， 分别相切于点E，F， 平分 ，连接 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径是1，求图中阴影部分的面积．
22．2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租
用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上
至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金（元/辆） 500 600
（1）共需租________辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
23．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售
单价每涨价1元，月销售量就减少 万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），
月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司
捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
24．已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，与y轴交于点C，点 是x轴上
的动点．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若 ，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G．过点P作 于点D，当
n为何值时， ；
（3）如图2，将直线 绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向上平移 个单位长度，
得到直线 ．
① ______；
②当点N关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点N的坐标．参考答案
1．C
【分析】
依据相反数的定义求解即可．
【详解】
解：-3的相反数是3．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】
科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种记数的方法
叫做科学记数法，
则 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
3．A
【详解】
因为平行四边形是中心对称图形，而非轴对称图形；正六边形和圆既是中心对称图形也轴对
称图形；等边三角形是轴对称图形而非中心对称图形，所以答案B、C、D错误，应选答案A．
4．B
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得．
【详解】
A、 与 不是同类项，不可合并，此项错误；
B、 ，此项正确；C、 ，此项错误；
D、 ，此项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关
键．
5．C
【分析】
根据俯视图的定义即可得．
【详解】
解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小
正方形组成，
观察四个选项可知，只有选项 符合，
故选：C．
【点睛】
本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．
6．C
【分析】
根据 类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项 ；利用 乘以 可判断选
项 ；利用 类型的人数除以样本总人数可判断选项 ；利用 类型所在百分比乘以样本总
人数即可判断选项 ．
【详解】
解： ，则样本容量为400，选项A说法正确；
，则选项B说法正确；
，则选项C说法错误；（人），则选项D说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关
键．
7．A
【分析】
先根据垂径定理可得 ，再利用勾股定理可得 ，然后根据三角形中位线
定理即可得．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
是 的中位线，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．8．D
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得 ，再分 和 两种情况，解直角三
角形分别求出 的长，利用直角三角形的面积公式可得 与 间的函数关系式，由此
即可得出答案．
【详解】
解： 四边形 是矩形， ， ，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 在 上，即 时，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
；
（2）如图，当点 在 上，即 时，四边形 是矩形， ，
四边形 是矩形，
，
，
综上， 与 间的函数关系式为 ，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情
况讨论是解题关键．
9．
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数即可得．
【详解】
解：由二次根式的被开方数为非负数得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．
10．108
【分析】
根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．
【详解】解：正五边形的一个内角度数为 ，
故答案为：108．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
11．89
【分析】
根据中位数的定义即可得．
【详解】
解：将这组数据按从小到大进行排序为 ，
则中位数为89，
故答案为：89．
【点睛】
本题考查了中位数，熟记定义是解题关键．
12．0（答案不唯一）
【分析】
根据一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 ，
解得 ，
则 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
13．
【分析】
先根据直角三角形的性质可得 ，再根据角平分线的尺规作图可知 平分
，从而可得 ，然后根据等腰三角形的定义可得 ，最后根据直角三角形的性质可得 ，由此即可得出答案．
【详解】
解： 在 中， ， ，
，
由角平分线的尺规作图可知， 平分 ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含 角的直角三角形，熟练掌握角平
分线的尺规作图是解题关键．
14．
【分析】
先根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，设 ，从而可得
，再在 中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．
【详解】
解：由题意得： ，是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
即建筑物 的高约为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的
方法是解题关键．
15．10
【分析】
先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值，再
求和即可得．
【详解】
解： ，
（ 为正整数），
，
，
，，
则 ，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
16．①②④
【分析】
先根据 定理证出 ，从而可得 ，再根据角的和差即可
判断结论①；根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据线段的和差、等量
代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得 ，再根据 可得
，从而可得 ，由此即可判断结论③；过点 作
于点 ，连接 ，先根据角平分线的性质可得 ，再根据两点之间
线段最短、垂线段最短可得当 时， 取得最小值，然后解直角三角形即
可得判断结论④．
【详解】
解： 四边形 是正方形， ，
，
在 和 中， ，
，
，，
，
，即 ，结论①正确；
平分 ， ，
，
，
，
，
，
，
，结论②正确；
，
，
，
，
即 ，结论③错误；
如图，过点 作 于点 ，连接 ，平分 ， ， ，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取得最小值 ，
由垂线段最短得：当 时， 取得最小值，
此时在 中， ，
即 的最小值是 ，结论④正确；
综上，所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两
点之间线段最短、垂线段最短得出当 时， 取最小值是解题关键．
17．0．
【分析】
先化简绝对值、计算特殊角的正弦值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂等知识点，熟练掌握各运算法则是解题
关键．
18．（1）证明见解析；（2）9．
【分析】
（1）先根据角的和差可得 ，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
证明：（1） ，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），则 的长为9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
19．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据简单事件的概率公式即可得；
（2）先画出树状图，从而可得黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果，再找出抽到的
学科恰好是历史和地理的结果，然后利用概率公式即可得．
【详解】
解：（1）黄冈在第一轮随机抽取一科共有3种等可能性的结果，
则黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ，
故答案为： ；
（2）将物理、化学、历史三个学科分别记为 ，将道德与法治、地理、生物三个学科分
别记为 ，
画树状图如下：
由此可知，黄冈在第二轮和第三轮抽签中的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能
性都相等；其中，抽到的学科恰好是历史和地理的结果只有1种，则所求的概率为 ，
答：黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率是 ．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
20．（1） ， ；（2） ．
【分析】
（1）先根据点 的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点 的坐标，再
根据点 的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点 的坐标，根据反比例函数的解析式求出点 的坐标，
再根据 建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）将点 代入 得： ，
则反比例函数的解析式为 ；
当 时， ，解得 ，即 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为 ；
（2）对于一次函数 ，当 时， ，即 ，
，
轴，且 ，
， ，
，
，
，
解得 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）过点 作 于点 ，连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据
角平分线的定义可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设 分别交 于点 ，连接 ，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性
质可得 ，从而可得 ，再利用勾股定理可得 ，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得 ，从而可得 ，最
后根据图中阴影部分的面积等于 即可得．
【详解】
证明：（1）如图，过点 作 于点 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
平分 ，
，
在 和 中， ，
，
，
是 的半径，
又 ，
是 的切线；
（2）如图，设 分别交 于点 ，连接 ，
的半径是1，
，与 相切于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为 ．【点睛】
本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识
点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
22．（1）11；（2）3辆；（3）3种，租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．
【分析】
（1）根据学生和老师的总人数、乙种客车的载客量，以及每辆汽车上至少要有一名教师进行
计算即可得；
（2）设租用 辆甲种型号大客车，从而可得租用 辆乙种型号大客车，根据甲、乙两种
型号的大客车的载客量、学生和老师的总人数建立不等式，解不等式求出 的取值范围，再
结合 且为正整数即可得；
（3）根据（2）中 的取值范围可得出租车方案，再分别求出各租车方案的费用即可得．
【详解】
解：（1） （辆） （人）， （辆），
共需租11辆大客车，
故答案为：11；
（2）设租用 辆甲种型号大客车，则租用 辆乙种型号大客车，
由题意得： ，
解得 ，
因为 且为正整数，
所以最多可以租用3辆甲种型号大客车；
（3）由（2）可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为 辆，则有三种租车方案：①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；②租用2辆甲种型
号大客车，9辆乙种型号大客车；③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车；
方案①的费用为 （元），
方案②的费用为 （元），
方案③的费用为 （元），
所以租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的实际应用，正确建立不等式是解题关键．
23．（1） ；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，
最大利润是90万元；（3）4．
【分析】
（1）分 和 两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少
万件”即可得函数关系式，再根据 求出 的取值范围；
（2）在（1）的基础上，根据“月利润 （月销售单价 成本价） 月销售量”建立函数关系式，
分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最
大利润可得 ，再根据“月利润 （月销售单价 成本价 ） 月销售量”建立函
数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
【详解】
解：（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，
，
，解得 ，
综上， ；
（2）设该产品的月销售利润为 万元，
①当 时， ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ；
②当 时， ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为90，
因为 ，
所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
（3） 捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），
，
设该产品捐款当月的月销售利润为 万元，
由题意得： ，
整理得： ，
，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，因此有 ，
解得 ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
24．（1） ；（2） ；（3）① ；② 或 ．
【分析】
（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式可得点 的坐标，再利用待定系数法可得直线 的解析式，
从而可得点 的坐标，然后分别求出 的长，最后根据全等三角形的性质可得
，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系数法求出直线 的解析式，再根据平移的性质可得直线 的解析式，
从而可得点 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；
②先求出直线 的解析式，再与直线 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点
的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．
【详解】
解：（1）将点 ， 代入 得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ；
（2）由题意得：点 的坐标为 ，对于二次函数 ，
当 时， ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
，
， ，
，
，即 ，
解得 或 （与 不符，舍去），
故当 时， ；
（3）①如图，设线段 的中点为点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，
则点 的坐标为 ，点 的横坐标为3，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
由平移的性质得：直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
，
，
故答案为： ；
②由题意得： ，
则设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
即直线 与直线 的交点坐标为 ，设点 的坐标为 ，
则 ，解得 ，即 ，
将点 代入 得： ，
整理得： ，
解得 或 ，
则点 的坐标为 或 ．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练
掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
