文档内容
3.1 图形的旋转
【考点1 生活中的旋转现象】
【考点2 利用旋转的性质求角度】
【考点3利用旋转的性质求线段长度】
【考点4 旋转对称图形】
【考点5作图-旋转变换】
知识点1：旋转的概念
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中
心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那
么这两个点叫做对应点.
注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心
和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
【考点1 生活中的旋转现象】
【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；
③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转
的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；
②传送带的移动，是平移现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头开关的转动，是旋转现象；
⑤钟摆的运动，是旋转现象；
⑥荡秋千运动，是旋转现象．
属于旋转的有③④⑤⑥共4个．
故选：C．
【变式1-1】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千
【答案】D
【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋
转图案①得到（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B．
知识点2 ：旋转的性质
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
注意 ：
（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.
（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整
个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.
（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。
【考点2 利用旋转的性质求角度】
【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若
∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80° B．50° C．40° D．10°
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝90°，∴∠BAC＝40°，
∵∠CAD＝10°，
∴∠BAD＝50°，
∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，
∴旋转角为∠BAD，
∴旋转角的度数为50°，
故选：B．
【变式 2-1】（2023 秋•江北区期末）如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30°得到
△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．45° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，
∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，
又∵AB′⊥BC，
∴∠EAC＝45°，
∴∠BAC＝75°，
故选：B．
【变式2-2】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°，
∴∠E＝45°，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【变式2-3】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在
平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度
数为（ ）
A．30° B．40° C．70° D．110°
【答案】B
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC＝70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，
∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．
故选：B．
【考点3利用旋转的性质求线段长度】
【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将
△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE
的长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，
∴AB＝ ＝10，
由旋转的性质得：BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4．
【变式3-1】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，
将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【解答】解：如图，连接AA'，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB＝ ＝5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝1，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝ ＝ ，
故选：A．
【变式3-2】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝ ＝ ，
由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'＝ ＝ ．
故选：C．
【变式3-3】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，
将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，
∵BD＝DC＝3，
∴AD⊥BC，∴AD＝ ＝3
∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3 ，
故选：C．
【变式3-4】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若
线段AB＝5，则BE的长度为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝5，
∴BE＝5．
故答案为：5．
知识点3：旋转作图
（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线
段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到
对应点，顺次连接得出旋转后的图形。
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋
转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【考点4 旋转对称图形】
【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，
则至少需要旋转（ ）和原图案重合．
A．72° B．60° C．36° D．18°
【答案】A
【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，
∴旋转角度是360°÷5＝72°，
∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，
故选：A．
【变式4-1】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至
少需要旋转的度数为（ ）
A．360° B．72° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整
数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度
能与自身重合．
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角
最小为（ ）A．36° B．60° C．72° D．90°
【答案】C
【解答】解：由题意， ＝72°，
故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为72°，
故选：C．
【变式4-3】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、360°÷3＝120°，所以，绕某个点旋转120°后能与自身重合，故本选项
不符合题意；
B、360°÷12＝30°，30°×4＝120°，所以，绕某个点旋转4个30°，即120°后能与自身重
合，故本选项不符合题意；
C、360°÷6＝60°，60°×2＝120°，所以，绕某个点旋转2个60°，即120°后能与自身重合，
故本选项不符合题意；
D、360°÷5＝72°，所以，绕某个点旋转120°后不能与自身重合，故本选项符合题意．
故选：D．
【考点5作图-旋转变换】
【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A（3，3），B（4，
0），C（0，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A B C ；
1 1 1
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A B C；
2 2（3）点B的对应点B 的坐标为 （﹣ 1 ， 3 ） ．
2
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）（﹣1，3）．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△A B C即为所求．
2 2
（3）点B的对应点B 的坐标为（﹣1，3）．
2
故答案为：（﹣1，3）．
【变式5-1】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点A（2，2），
B（0，3），C（1，0）．
（1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A B C ，写出点A 、B 、C 的坐标，
1 1 1 1 1 1
并在图中作出△A B C ；
1 1 1
（2）求△A B C 的面积．
1 1 1【答案】（1）A （2，﹣2）、B （3，0）、C （0，﹣1），画图见解答．
1 1 1
（2） ．
【解答】解：（1）点A （2，﹣2）、B （3，0）、C （0，﹣1）．
1 1 1
如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）△A B C 的面积为 ＝ ﹣1﹣1＝ ．
1 1 1
【变式5-2】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别
为A（2，4），B（1，0），C（5，1）．
（1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A B C ，其中A，B，C分别和A ，B ，C
1 1 1 1 1 1
对应，作出△A B C ；
1 1 1
（2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A B C ，并写出△A B C 三个顶点的坐标；
2 2 2 2 2 2
（3）请求出△A B C 的面积．
2 2 2【答案】（1）作图见解答过程；
（2）作图见解答过程；
（3）7.5．
【解答】解：（1）△A B C 如图1所示，
1 1 1
；
（2）△A B C 如图2所示；
2 2 2（3）△A B C 的面积为：4×4﹣ ×3×3﹣ ×1×4﹣ ×1×4＝7.5．
2 2 2
【变式5-3】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长
度，建立平面直角坐标系 xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（1，0），B（2，
4），C（4，2）．
（1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A B C ，并直接写出对应点
2 2 2
连线段BB 的长度 2 ．
2
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，2 ．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1（2）如图，△A B C 即为所求．线段BB 的长度＝ ＝2 ．
2 2 2 2
故答案为：2 ．
一、单选题
1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
【答案】A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图
形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一
个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定做圆周运动，象钟摆等也属
于旋转现象．
2．如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE等于
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得
AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边
都相等可得BE=AB，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=3，
∴BE=3．
故选：A．
3．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已
知∠A=32°，∠B=31°，则∠ACE的大小是（ ）
A．54° B．57° C．60° D．63°
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
先根据三角形外角的性质求出∠ACD=63°，再由△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
【详解】解：∵∠A=32°，∠B=31°，
∴∠ACD=∠A+∠B=32°+31°=63°，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=63°，
∴∠ACE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−63°−63°=54°．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠CAB=68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中
点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性
质得到∠CAB=∠ACE，再由旋转的性质可得AE=AC，∠CAB=∠EAD，进而根据等
边对等角和三角形内角和定理得到∠EAC的度数，则可求得结果．
【详解】解：∵AB∥CE，
∴∠CAB=∠ACE=68°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置，
∴AE=AC，∠CAB=∠EAD=68°，
∴∠ECA=∠AEC=68°，
∴∠EAC=180°−∠AEC−∠ACE=180°−68°−68°=44°，
∴∠CAD=∠EAD−∠EAC=68°−44°=24°，
故选：B．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，
AB=1,AC=3，则AD的长为（ ）A．3 B．2❑√2 C．2 D．3❑√2−1
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得
∠ACE=90°,AC=CE=3,AB=DE=1，再由勾股定理可得AE的长，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，
∴∠ACE=90°,AC=CE=3,AB=DE=1，
∴AE=❑√AC2+CE2=❑√32+32=3❑√2，
∴AD=AE−DE=3❑√2−1，
故选：D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC=64°，将△ABC绕顶点A顺时针旋转，得到△ADE．若
点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则旋转角的大小是（ ）
A．51° B．52° C．53° D．54°
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，
先由旋转的性质得到∠DAE=∠BAC=64°，AD=AB，再由平行线的性质得到
∠ADB=∠DAE=64°，则由等边对等角得到∠B=∠ADB=64°，再由三角形内角和定
理可得∠BAD=180°−∠B−∠ADB=52°．
【详解】解：由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC=64°，AD=AB，
∵AE∥BC，
∴∠ADB=∠DAE=64°，∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=64°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=52°，
∴旋转角的大小为52°，
故选：B．
7．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接A A′，若
∠1=20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握
旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得AC=A′C，则△AC A′是等腰直角三角形，
得出∠CA A′=45°，再由旋转性质和三角形的外角性质可知∠B=∠A′B′C=65°．
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，
∴AC=A′C，
∴△AC A′是等腰直角三角形，
∴∠CA A′=45°，
∴∠A′B′C=∠1+∠CA A′=20°+45°=65°，
由旋转性质可知：∠B=∠A′B′C=65°，
故选：B．
8．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，AB∥x轴，将正方形
ABCD绕原点O顺时针旋2023次，每次旋转45°，则顶点B的坐标是（ ）A．(❑√2,−1) B．(0,−❑√2) C．(0,❑√2) D．(−1,−1)
【答案】C
【分析】本题主要考查旋转变换、正方形的性质等知识点，学会探究规律的方法是解题的
关键．先确定B(1,1)，再求OB=❑√2，然后归纳旋转的点坐标规律并利用规律求解即可．
【详解】解：如图：连接OB
∵边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，
∴B(1,1),
∴OB=❑√12+12=❑√2，
∵AB∥x轴，将正方形ABCD绕原点O顺时针旋，每次旋转45°，
∴
B (❑√2,0),B (1,−1),B (0,−❑√2),B (−1,−1),B (−❑√2,0),B (−1,1),B (0,❑√2),B (1,1),
1 2 3 4 5 6 7 8
由题意旋转8次回到原来位置，2023÷8=252⋯⋯7，
∴将正方形ABCD绕原点O顺时针旋2023次，每次旋转45°，则顶点B在y轴的正半轴上，
即B(0,❑√2)．
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点 A′恰好在AB边上，连结BB′，则△A′B′C的周长为( )．
A．❑√3 B．1+❑√3 C．2+❑√3 D．3+❑√3
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，先利用含30度角的直角
三角形的性质求出AB与BC，再根据旋转的性质得出△A′B′C的周长等于△ABC的周长，
从而得解，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，
∴AB=2AC=2，BC=❑√AB2−AC2=❑√22−12=❑√3，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，
∴△A′B′C≌△ABC，
∴△A′B′C的周长等于△ABC的周长，即AB+AC+BC=2+1+❑√3=3+❑√3，
故选：D．
二、填空题
10．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上，
若AB=5，BC′=2，则A′C的长是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得A′B=AB=5，BC=BC′=2，即可
求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，
∴A′B=AB=5，BC=BC′=2，∴A′C=A′B−BC=3，
故答案为：3．
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB=22°，则
∠AOB′的度数是 ．
【答案】38°/38度
【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解
题关键．根据旋转的性质可得∠BOB′=60°，再结合∠AOB=22°，利用
∠AOB′=∠BOB′−∠AOB求解即可．
【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′=60°
又∵∠AOB=22°，
∴∠AOB′=∠BOB′−∠AOB=60°−22°=38°．
故答案为：38°．
12．如图，将边长为2❑√3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30∘后得到正方形AB′C′D′，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12−4❑√3
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定，勾股定理，由旋转角
∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°−30°=60°；连接EA，构造全等三角形，用
S =S −S ，计算面积即可．
阴影部分 正方形 四边形AB′ED
【详解】解：如图，连接EA，∵在Rt△ADE和Rt△AB′E中，
{AD=AB′
)
，
AE=AE
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，
∴∠EAD=∠EAB′=30°，
∴AE=2DE,
∴AD2+DE2=AE2,
∴AD2=3DE2,
∵AD=2❑√3，
∴ED=EB′=2，
1
S =2S =2× ×2❑√3×2=4❑√3，
四边形AB′ED △AED 2
∴S =S −S =12−4❑√3．
阴影部分 正方形 四边形AB′ED
故答案为：12−4❑√3．
13．如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，∠ABO=30°，OB=2❑√3，以点A为旋转中心，
把△AOB顺时针旋转得△ADC，则△ABC的面积为 ．
【答案】4❑√3
【分析】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理．根据勾股定理和直
角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵∠O=90°，∠ABO=30°，∴AB=2AO，
∵AB2=AO2+BO2，
∴(2AO) 2=AO2+(2❑√3) 2 ，
∴AO=2，
∴AB=4，
∵把△AOB顺时针旋转得△ADC，
∴∠ADC=∠O=90°，CD=OB=2❑√3，
1 1
∴△ABC的面积为 AB⋅CD= ×4×2❑√3=4❑√3，
2 2
故答案为：4❑√3．
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,1)，
C(3,3)．
(1)将△ABC向左平移5个单位得到△A B C ，画出△A B C ，并写出C 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A B C ，画出△A B C ，并写出B 的坐标；
2 2 2 2 2 2 2
(3)若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为______．
【答案】(1)见解析，(−2,3)
(2)见解析，(1,−4)
(3)2❑√5
【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋
转的性质．
（1）根据平移的性质即可将△ABC向左平移5个单位得到△A′B′C′，进而可得C′的坐标；（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A B C ，进而写出B
1 1 1 1
的坐标；
（3）找点A关于y轴的对称点B ，然后连接B C交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可
1 1
求PA+PC的最小值．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求，C 的坐标为(−2,3)；
1 1 1 1
（2）解：如图，△A B C 即为所求；B 的坐标为(1,−4)；
2 2 2 2
（3）解：如图，点A与点B 关于y轴的对称，连接B C交y轴于点P，
1 1
∴PA+PC的最小值为PB +PC=B C=❑√42+22=2❑√5．
1 1
15．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C．分别延长OB，
OD至点E，F且BE=DF，连接AF，FC，CE，EA．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若OE=CE，∠EAC=45°，EF=2❑√10，求四边形AFCE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6❑√2+2❑√10
【分析】（1）根据旋转的性质得出OA=OC，OB=OD，根据BE=DF，得出OF=OE，
根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）作EH丄AC于点H．根据等腰三角形的性质得出OH=CH，根据平行四边形的性
质得出OA=OC，AF=CE，AE=CF，求出AH=3OH，证明△AEH为等腰直角三角形，得出AH=EH=3OH，根据勾股定理得出OH2+(3OH) 2=(❑√10) 2 ，求出OH=1，根据勾
股定理求出AE=❑√AH2+OH2=❑√32+32=3❑√2，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△COD，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OF=OE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：如图，作EH丄AC于点H．
根据解析（1）可知：OF=OE，
∵EF=2❑√10，
∴OF=OE=❑√10，
∴OE=CE=❑√10·，
∵EH丄AC，
∴OH=CH，
在▱AFCE中，OA=OC，AF=CE，AE=CF，
∴AH=3OH，
∵∠EAC=45°，∠AHE=90°，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴AH=EH=3OH，
∴根据勾股定理得：OH2+EH2=OE2，
即OH2+(3OH) 2=(❑√10) 2 ，
解得：OH=1，负值舍去，
则EH=3，
∴AE=❑√AH2+OH2=❑√32+32=3❑√2，
∴四边形AFCE的周长为：2(CE+AE)=2(3❑√2+❑√10)=6❑√2+2❑√10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
16．如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点（不与A，
B重合），AD
