文档内容
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试
理科数学
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形
码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体
工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 的值为
A． 1 B．0 C．1 D． 1或1
3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质
量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是
A．
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为0.5
4．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值为
A． B．4 C．5 D．14
5．执行下面的程序框图，如果输出的n＝4，则输入的t的最小值为
A． B． C． D．
6．一个容器装有细沙 ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， 后剩余的细沙量为
，经过8 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需
再经过的时间为
A．24 B．26 C．8 D．16
7．已知α满足 ，则
A．3 B．﹣3 C． D．
8．已知曲线 在 处的切线为l，若l与 相切，则实数
A．2或 B． 或3 C．2 D．3
9．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理
科题的概率是
A． B． C． D．10．已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式
的解集是
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 ： 上一点 ，曲线 ： 上一点 ，当
时，对于任意 ， 都有 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
12．在三棱锥 中，已知 ， ， ， 是线段 上的点，
， ．若三棱锥 的各顶点都在球 的球面上，则球 的半径为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆 ，则椭圆的焦点坐标是______．
14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．
15．已知AB，CD是过抛物线 焦点F且互相垂直的两弦，则 的值为
__________.
16．已知函数 在区间 上单调，且满足 ．有下列结论：
① ；
②若 ，则函数 的最小正周期为 ；
③关于 的方程 在区间 上最多有 个不相等的实数解；
④若函数 在区间 上恰有 个零点，则 的取值范围为 ．
其中所有正确结论的编号为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
B
sin(A+C)=8sin2
ΔABC a,b,c 2
17．（12分） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
cosB
（1）求 ；
ΔABC
（2）若 ， 面积为2，求 ．
18．（12分）体育中考（简称体考）是通过组织统一测试对初中毕业生身体素质作出科学评价的一种方式，
即通过测量考生身高、体重、肺活量和测试考生运动成绩等指标来进行体质评价．已知某地区今年参加体
考的非城镇与城镇学生人数之比为 ，为了调研该地区体考水平，从参加体考的学生中，按非城镇与城
镇学生用分层抽样方法抽取 人的体考成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（如图所示），体考
成绩分布在 范围内，且规定分数在 分以上的成绩为“优良”，其余成绩为“不优良”．
2（1）将下面的 列联表补充完整，根据表中数据回答，是否有百分之九十的把握认为“优良”与“城
镇学生”有关？
类别 非城镇学生 城镇学生 合计
优良
不优良
合计
（2）现从该地区今年参加体考的大量学生中，随机抽取 名学生，并将上述调查所得的频率视为概率，试
以概率相关知识回答，在这 名学生中，成绩为“优良”人数的期望值为多少？
附参考公式与数据： ，其中 ．
19．（12分）如图，在三棱锥 中， 为直角三角形， ， 是边长为4的等边
三角形， ，二面角 的大小为 ，点M为PA的中点．
（1）请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知 ， ，点 在椭圆上，直线 ， 分别与椭圆交于另一点 ， ，若， ，求证： 为定值.
21．（12分）已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 ， ，与直线 的
交点为 ，求线段 的长．
23．设 ．
（1）对一切 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知 最大值为M， ，且 ，求证： ．
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试
理科数学参考答案：
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D 7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．D
13． ， 14． 15． 16．①②④．
17．（1） ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
18．（1）根据题意以及频率分布直方图，因为非城镇与城镇学生人数之比为 ，且样本容量为 ，
所以非城镇学生人数为 ，城镇学生人数为 ，故城镇学生优良人数为 ，
又因为优良学生的人数为 ，
所以非城镇优良学生共为 ，则非城镇不优良学生人数为 ，
类别 非城镇学生 城镇学生 合计
4优良
不优良
合计
代入数据计算 ，
所以没有百分之九十的把握认为“优良”与“城镇学生”有关；
（2）由题意及频率分布直方图可知，成绩“优良”的概率为 ，
记 人中成绩为“优良”的人数为随机变量 ，则 ，
所以 ，故成绩为“优良”人数的期望值为 ．
19．（1）平面 平面 理由如下：
如图，分别取AC，AB的中点D，E，连接PD，DE，PE，
则 ．
因为 ， ．
所以 ， ．
因为 是边长为4的等边三角形，
所以 ， ．
于是， 为二面角 的平面角，则 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
所以 ．因为 ， ， ，
所以 平面 ，所以 ．
又 ，所以 平面 因为 平面 ．所以平面 平面 ．
（2）以点C为原点，CA，CB分别为x，y轴，过点C且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ，
， ， ．设平面PBC的一个法向量为 ，
则 ，即
取 ，则 ．
所以CM与平面PBC所成角的正弦值
20．解： 设 .由题意得 ， ， ， ，
.解得 ， . 椭圆的方程为 .
设 ， ， .由 ， ，
得 ， ， ，
，①
又点 ， ， 均在椭圆上，由 且 得 ，
.②同理，由 且 得
.③联立②③得 .④
联立①④得 ， 为定值 .
21．（1） ，该函数的定义域为 ， ，
由题意可知，点 在直线 上， ，
由题意得 ，解得 ， ；
（2）对任意的 ，由 ，得 ，即 ，
令 ，其中 ，则 ，
6，令 ，可得 ，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，即 .
，因此，实数 的取值范围是 ；
（3）由（2）可知，当 时， ，则 ，
当 时， ，
， ， ， ，
上述不等式全部相加得 .
因此，对任意的 ， .
22．（1）因为，圆 的参数方程 （ 为参数），消去参数可得： ；
把 代入 ，化简得： ，即为此圆的极坐标方程；
（2）设 两点的极坐标为： ， ，
因为直线 的极坐标方程是 ，射线 ，
将 代入 得 ，即 ；
将 代入 得 ，
所以 ．
23．（1）由题意 ,所以 ，所以，实数m的取值范围是；
（2）证明：由（1）知， ，由 得 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立；
，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立；综上所述， ．
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