文档内容
专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 勾股定理的证明方法
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 用勾股定理构造图形解决问题
题型四 勾股定理与无理数
题型五 勾股树问题
题型六 用勾股定理解三角形
题型七 已知两点坐标求两点距离
题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和
题型十 利用勾股定理证明线段平方关系
题型十一 勾股定理与网格问题
题型十二 勾股定理与折叠问题
【知识梳理】
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2 b2 c2
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建
立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 ，b2 c2 a2
，
c2 ab2 2ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【经典例题一 勾股定理的证明方法】
【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，
可以利用面积验证勾股定理 的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以
C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以
【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·七年级校联考期中）如图，在四边形 中， ， ，点 是边
上一点， ， ， ．下列结论：① ；② ；
③ ；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2023下·全国·八年级阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方
形 的面积为25，正方形 的面积为1，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边 ，下
列三个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填序
号）．3．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
【例2】（2024上·湖北·九年级校考周测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，
后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，若 ，则
的值是（ ）
A．32 B．38 C．48 D．108
【变式训练】
1．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它
是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成，恰好拼成一个大正方形 ，分别在 ，
上取点 ， ，使得 ，得四边形 ．若大正方形 的边长为 ，且
，设四边形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根
号）
3．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，
．将 绕点O依次旋转 、 和 构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵
爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年
在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用图1证明勾股定理；
(2)请利用图1说明 ，并说明等号成立的条件；
(3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形 中， ， ．若
，则这个四边形的最大面积为__________．
【经典例题三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例3】（2023上·山东青岛·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是
用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸
引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推
至 处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的
长是（ ）A． B． C．6 D．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）已知 是斜边长为 的等腰直角三角形，以
的斜边 为直角边，画第二个等腰 ，再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰
， ，依此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023下·湖北孝感·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一．其中记载了一道
“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图， 中，
， 与 的和为 尺， 为 尺，求 的长．在这个问题中，可求得 的长为 尺．
3．（2023上·四川雅安·八年级四川省名山中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满
着魅力．
【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点）， ， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为
______千米．
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，
使得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最
小值为多少？画图并写出解题过程．
【经典例题四 勾股定理与无理数】
【例4】（2023下·广东广州·八年级校联考期末）如图，长方形 中， ， ， 在数轴上，
若以点 为圆心， 的长为半径作弧交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，△ 中， ， ， 边上的高长为 ，点 在数轴上，且对应的数为 ．以点 为圆心， 长为半径作圆弧，交数轴于点 ，则点
表示的数是( )
A．1或 B．
C． 或 D． 或
2．（2024上·河北承德·八年级统考期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点
表示的实数吗？
（1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数 对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重
合，则点B对应的实数是 ．
（2）如图，数轴上的点A表示原点， ，垂足为D，且 ，以A为圆心， 长为半径画弧，
交数轴于点C，则点C表示的数为 ．
3．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，依次连接 方格的各条边中点，得到一个正方形（如
图中的阴影部分），(1)图1中阴影部分的面积是______，阴影部分正方形的边长是______；
(2)请你利用图2在 的方格内作出边长为 的正方形．
(3)请在数轴上作出表示 的点
【经典例题五 勾股树问题】
【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）如果正整数 满足等式 ，那么正整数
叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为（ ）
A．67 B．34 C．98 D．73
【变式训练】
1．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式 ，那么正整数a、b、c
叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 1724 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
2．（2023上·河北承德·八年级统考期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为
a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围
成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下
去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）．
3．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形
三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、
25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问
题让学生解决．
若两直角边为 ，斜边为 ．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
(2)当 （ 为奇数，且 ）时，若 ______， ______时可以构造出勾股数（用含 的代数式表
示）；并证明你的猜想；
(3)当 （ 为偶数，且 ）时，若 ______， ______时可以构造出勾股数（用含 的代数式表
示）；
(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当 时， ______．
【经典例题六 用勾股定理解三角形】
【例6】（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）在四边形 中， ， ，连接对角线、 ，过点 作 垂直 于 ，且 ．若 ，求 的面积（ ）
A．8 B．16 C． D．
【变式训练】
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在
射线 上运动， ，交直线 于 ，连接 ．在 点运动的过程中，下列结论：① ；
② 长度的最小值为2；③当点 在 之间运动时，四边形 的周长和面积保持不变；④
．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， 中， ．以点 为圆心，
长为半径作弧，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ．若 ，则
．
3．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明经过组内合作交流，得
到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到 ，依据是______
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是______．
（2）【初步运用】
如图②， 是 的中线， 交 于 ，交 于 ，且 ，若 ， ，求线段
的长．
（3）【灵活运用】
如图③，在 中， ， 为 中点， ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接
．若 ， ，求 的长度．
【经典例题七 已知两点坐标求两点距离】
【例7】（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）在直角坐标系中，点A、B坐标分别为 和 ，
点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当 的周长最小时，点C坐标可能是
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021下·广东广州·八年级校考期中）函数 的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点 ，连
接 ，在y轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
3．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点 ，这两点间的距离 ．同时，当两点所在的
直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为 或 ．
(1)已知点 ， ，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标；
(3)已知△ABC各顶点的坐标分别为 ， ， ，你能判断 的形状吗？说明理由．
【经典例题八 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例8】（2024·全国·八年级竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次
为 ，则 之间的关系正确的是（ ）A． 或 B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图， 中， ，分别以 、 、 为边在
的同侧作正方形 、 、 ，四块阴影部分的面积分别为 、 、 、 ．若已知
，则 的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
2．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图， 中， ， ， ，分别以
、 、 为边在 的同侧作正三角形 、 、 ，图中四块阴影部分的面积分别为 ，
， ， ，求 ．3．（2023上·江西·八年级期末）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为t ．
(1)如图（1），当 时， 的面积等于 面积的一半；
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的
某一时刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【经典例题九 利用勾股定理求两条线段的平方和】
【例9】（2022上·福建福州·八年级校考期末）在 中， ， ， ， 的对边分别是
a，b，c，若 ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2021上·河南洛阳·八年级统考期末）在 中， ， ， ，三个内角的平分线交于点 ，则点 到 的距离 为（ ）
A．1cm B．2cm C． cm D． cm
2．（2022下·湖北十堰·八年级统考期中）如图， 中， ，以AC、BC为直径作半圆S
1
和S，且 ，则AB的长为 ．
2
3．（2023上·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）(1)如图1，四边形 的对角线 于
点 ．判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ，
，交点为 ．
①判断 ， 的关系，并说明理由．
②连接 ．若 ， ，请直接写出 的长．
【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】【例10】（2023上·浙江·八年级期末）如图，在 中， ， ， 与 相交于
点P， 于Q．则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·山东德州·八年级校考阶段练习）如图， 和 都是等腰直角三角形， 的顶点
A在 的斜边 上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四
边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ，则
．
3．（2023上·江苏南京·八年级统考期中）（1）如图①，在 中， ， ， 为 边上的
中线，则 的取值范围是 （提示：延长 到点 ，使 ，连接 ）；（2）如图②，在 中， ， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交
于点 ，连接 ，求证 ；
（3）如图③，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ，求证 ．（简述解
题思路即可）
【经典例题十一 勾股定理与网格问题】
【例11】（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点
， ， 均在格点上．若 于点 ，则线段 的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正
方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高的长度是
（ ）A． B． C． D．
2．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、
B、C、D均为格点，给出下列四个命题：
①点B到点C的最短距离为 ； ②点A到直线 的距离为 ．③直线 所交的锐角为 ；
④四边形 的面积为11．其中，所有正确命题的序号为 . （填序号）
3．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．图中的点A、B、C、
P、Q在格点上，其中 ．
(1)在图1中先作线段 且 ，然后作 的高 ；(2)在图2中作 的角平分线 ；
(3)在图3中的直线 上找一点 ，使 ．
【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】
【例12】（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）如图，三角形纸片 中， ．
沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与
的交点为E，则 的长是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023上·江苏连云港·八年级期末）如图，等腰直角三角形 中， ，点M，N
在边 上，且 ，若 ，则 的长为（ ）．
A． B．2 C． D．
2．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在长方形纸片 中， ， ，如图所示折叠
纸片，使点 落在 边上的 处，折痕为 ，此时 的长为3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在
点 处， 交 于点 ，重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于点 ，
于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的值；
(3)若 ．求 的面积．
【拓展培优】
1．（2024上·重庆大渡口·八年级统考期末）如图，将长方形 放置于平面直角坐标系中，点 与原点
重合，点 分别在 轴和 轴上，点 ，连接 ，并将 沿 翻折至长方形 所在平面，
点 的对称点为点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
2．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点 是
上一动点（D与点 不重合），连接 ，作 关于直线 的对称点 ，当点 在 的下方时，连
接 、 ，则 面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在 中， ，以 的各边为边作三个
正方形，点 落在 上，若 ，空白部分面积为10，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中 ，
， ， ， ， 与 交于点P，则点B到 的距离为（ ）A． B． C． D．
5．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）在四边形 中， ， ，连接对角线 、
，过点 作 垂直 于 ，且 ．若 ，求 的面积（ ）
A．8 B．16 C． D．
6．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）如图，以Rt 的两边 为边向外所作正方形的面积分
别是 ，则以另一边 为直径向外作半圆的面积为 ．7．（2024上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在长方形 中， ．在 上找一点
E，把 沿 折叠，使D点恰好落在 上，设这一点为F，则 ．
8．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数 ，且 ，则代数式 的最小值为
．
9．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图， 中， ，
点 在边 上， ，若 ，则 长为 ．
10．（2024上·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图，在 中， ，
，P是 边上的动点，过点P画直线截 ，使截得的一个三角形是等腰三角形，且A，P
是其顶点．若过点P可画出满足条件的直线恰有3条，则 的取值范围是 ．
11．（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，点 在线段 上， ， ， ，
平分 ．(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
12．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）已知 ，且 ，把 和 拼
成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)将 沿 折叠，点B落在点F处，延长 与 相交于点G，求 的长．
13．（2024上·山西长治·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， .
(1)请用无刻度直尺和圆规作 的垂直平分线，分别交 ， 于点D，E，连接 .（保留作图痕迹，
不写作法）
(2)在（1）的条件下，求 的长.
14．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
15．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ，且 ．
(1)当 是锐角三角形时，小明猜想： ．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点 作 ，垂足为 ．设 ．
∵在 中， ，
在 中， ① ，
∴ ① ．
化简得， ．
② ．其中，①是______；②是______．
(2)如图②，当 是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系并证明．
