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专题06 整式的乘法与因式分解易错必刷题型专训（84题28个考点）
【易错必刷一 同底数幂的乘法及其逆用】（共3小题）
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 的结果有① ；② ；③ ；④
，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键．
先转化为同底数的幂，再运用同底数幂相乘的法则进行计算即可得答案．
【详解】解： ，
∴正确的是①③．
故选：A
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算 ，则x等于 ．
【答案】8
【分析】本题考查同底数幂的乘法，要注意是指数相加，底数不变．利用同底数幂的乘法即可求出答案，
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
3．（2023七年级下·全国·专题练习）如果 ，那么我们规定 ，例如：因为 ，所以
(1)根据上述规定，填空：
， ；
(2)记 ， ， ．求证： ．【答案】(1)3，0，
(2)见解析
【分析】（1）根据示例要求，直接可求解；
（2）根据同底数幂相乘的逆用可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
故答案为：3，0；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律．
【易错必刷二 科学记数法】（共3小题）
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至
今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，
则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 ，按照上述规则，
恰好实施5次运算结果为1的 所有可能取值的个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】如果实施5次运算结果为1，则第4次运算的结果一定是2，则第3次运算的结果一定是4，则第
2次运算的结果可能是1，也可能是8．若第2次运算的结果是1，则计算结束，所以1不符合条件，第2
次运算的结果只能是8，则第1次运算的结果只能是16．第1次运算前是32或5，则 的所有可能取值为
32或5，一共2个．
2．（21-22七年级下·江西抚州·阶段练习）某种计算机每秒可做 次运算，它工作 秒时运算的次数用科学记数法表示为 .
【答案】1.5×1015
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：5×109×3×105=15×1014=1.5×1015．
故答案为：1.5×1015．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2022七年级上·浙江·专题练习）计算（结果用科学记数法表示）：
(1)8.4× ﹣4.8× ；
(2)（5.2× ）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×
(2)1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可．
【详解】（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）× ＝﹣3.96× ；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（ ×10）＝13× ＝1.3× ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【易错必刷三 幂的乘方及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．27
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算的逆用及幂的乘方运算的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题关键．利用同底数幂的乘法运算的逆用及幂的乘方运算的逆用进行计算即可．
【详解】解： ，
又 ， ，
．
故选：B．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知 ，则 的大小关系是 （用“<”
连接）．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方，有理数的大小比较，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将
化为底数相同的幂，再比较大小即可．
【详解】 ，
，
又 ，
．
故答案为： ．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较 ， 的大小：当 时， ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较 和 的大小：因为 ， ， 所以 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小： __________ （填“ ”或“ ”）
(2)已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ；
（2）因为 ，
，
，
且 ，
所以 ，
所以 ．
【易错必刷四 积的乘方及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 成立，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】此题考查了积的乘方运算和幂的乘方运算，正确得出关于m，n的方程是解题关键．
先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较，进而得出关于m，n的方程即可求解．
【详解】∵
∴ ，
∴ ， ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）简便运算：【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则
把原式变形为 ，再根据积的乘方的逆运算把原式进一步变形为
，据此计算求解即可．
【详解】解；
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答
下列问题．
东东的作业
计算： ．
解：原式 ．
(1)计算：
① ；② ；
(2)若 ，请求出n的值．
【答案】(1)①1；② ；
(2)4
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是
解题的关键．
（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到
正确结果；
（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．
【详解】（1）解：① ；
②
（2）解：∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
解得： ．【易错必刷五 同底数幂的除法及其逆用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在 中，括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，根据乘除法互为逆运算，只需要计算出 的结果即可．
【详解】解： ，
∴括号内应填的代数式是 ，
故选：B．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定两数a、b之间的一种运算，记作 ：如果 ，
那么 ．例如：因为 ，所以 ．根据上述规定，填空：若 ， ，则
的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查定义新运算，同底数幂的除法的逆用，根据新运算的法则，得到 ，然后逆
用同底数幂的除法进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知 ， ．(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可；
（2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2） ， ，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．
【易错必刷六 单项式乘单项式】（共3小题）
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，王老师把家里的 密码设置成了数学问题．吴同学来
王老师家做客，看到 图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地密码连接到了王老师家里的网络，那么
她输入的密码是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发
现规律是解题的关键．
根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．【详解】解：根据前面两个等式，
王 = ，
安 ，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
∴宁 ．
故选：B．
2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法等知识点，掌握积的乘方运算法则成为解题的关键．
先算积的乘方，然后按照单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式 ．
【易错必刷七 利用单项式乘法求字母或代数式的值】（共3小题）
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．【答案】C
【分析】根据单项式乘单项式法则可得 ，求出m、n的值，然后代入 中计算求解即
可．
本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键．
【详解】 ，
，
， ，
．
故选：C．
2．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到 ，
据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果 ，m，n均为正整数，求m，n
的值．
【答案】m=3，n=2
【分析】根据单项式的乘法把左边化简，然后根据左右两边相同字母的指数相等列方程组求解即可.
【详解】解：
=﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2
=﹣x7y5 ，
即 ，
解得m=3，n=2
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系
数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一
个因式.
【易错必刷八 计算单项式乘多项式】（共3小题）
1．（2024·四川德阳·二模）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求代数式的值，单项式与多项式的乘法，由 得 ，即
，然后代入 化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即：．
故选：D．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算 的结果中次数是6的项的系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，单项式的系数的定义、多项式的次数的定义，先根据运算法则
计算出结果，根据单项式的系数的定义、多项式的次数的定义即可得．
【详解】解：
，
的次数是6，
的结果中次数是6的项的系数是 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查整式的运算，先进行积的乘方运算，再进行多项式乘以单项式的运算即可．
【详解】解：原式 ．
【易错必刷九 计算多项式乘多项式】（共3小题）
1、（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）如果 ，那么m、n的值分别是（ ）
A． ，12 B．11，12 C． ， D．11，
【答案】A【分析】本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．
将原式按整式乘法运算展开，与 的每一项一一对应即可．
【详解】解：
∵
∴
∴ ， ．
故选：A．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 ，则 ．
【答案】
【分析】考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式计算展开后一次项系数相等即可求值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·重庆黔江·期中）甲、乙二人共同计算 ，由于甲把第一个多项式中a前
面的符号抄成了“ ”，得到的结果为 ；由于乙漏抄了2，得到的结果为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求出正确的结果．
【答案】(1)3，5
(2)
【分析】本题考查多项式乘以多项式，整式的混合运算和解二元一次方程组等知识点，能正确根据整式的
运算法则进行化简是解题的关键．
（1）根据已知得出算式 和 ，再根据整式的运算法则进行化简，得出a、b的方程组，解得即可；
（2）根据整式的运算法则求出即可．
【详解】（1）∵甲把第一个多项式中 前面的符号抄成了“ ”，得到的结果为 ，
∴
，
∴ ，即 ，
∵乙漏抄了2，得到的结果为 ，
∴
，
∴ ，
解方程组 得： ，
即 ， ；
（2）
．
【易错必刷十 (x+p)(x+q)型多项式乘法】（共3小题）1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】题目主要考查多项式的乘法及求代数式的值，根据多项式乘以多项式展开得出 ， 的值，然后
代入求解即可．
【详解】解： ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若 ，
根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．
【答案】 和
【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项
式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出 、 ．
【详解】解：根据题意，知： ， ，
， 的值可能分别是 ， ，
故答案为： 和
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题：
(1)计算：
① ______； ② ______．
③ ______； ④ ______．
(2)总结公式 ______(3)已知 ， ， 均为整数，且 ．求 的所有可能值．
【答案】(1)① ；② ；③ ；④
(2)
(3)8或
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式：
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）根据（2）可得 ，则 ，再由 都是整数，
，得到 或 或 或 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
③
；
④
；
（2）解：，
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 都是整数， ，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 ．
【易错必刷十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值】（共3小题）
1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果代数式 的展开式不含 项，那么m的值为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式不含某项的问题，按照多项式乘以多项式的运算法则，将括号
打开，根据展开式不含 项，将所有含 项的系数相加得0即可．
【详解】解：
，
∵展开式不含 项，∴ ，解得： ，
故选：A．
2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知代数式 积是一个关于x的三次多项式，
且化简后含 项的系数为1，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用
多项式乘多项式的运算方法进行求解．
【详解】解：
由题意得， ， ，
解得 ， ，
故答案为： ．
3．（21-22七年级上·上海青浦·期中）多项式 ，A与B的乘积中不含有 ，且常
数项为24．
(1)试确定m和n的值；
(2)求 ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先计算A与B的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有 项和常数项为24，列方程即可得
到答案；
（2）把A与B分别代入利用整式的加减运算法则进行计算即可．
本题考查整式的乘法混合运算和整式的加减运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是
解题的关键．【详解】（1）
因为不含 ，常数项为24
所以
；
（2）
．
【易错必刷十二 多项式乘法化简求值】（共3小题）
1．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】D
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴
；
故选D．
【点睛】本题考查多项式乘多项式求值．熟练掌握多项式乘多项式的法则，利用整体思想进行求值，是解
题的关键．2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出 ，然后代值计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关
键．
3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ，2
【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键．
【易错必刷十三 多项式乘法与图形面积】（共3小题）1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡
片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为 、宽为 的大长方形，则需要卡片C的张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列
式并展开，即可得到答案．
【详解】解：由图形可知， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
，
拼成大长方形需要卡片 的张数为2， 的张数为2，C的张数为3，
故选：C．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），
面积分别为 ， ．
（1）比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）
（2）若满足条件 的整数n有且只有4个，则m的值为
【答案】 7
【分析】本题主要考查整式的乘法运算、一元一次不等式组的应用：
（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小；
（2）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【详解】解：（1） ，
，∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2） ，
∵ 的整数n有且只有4个，
∴这4个整数为4，5，6，7，
∴ ，
∴ ，
∵m为正整数，
∴ ．
故答案为：7
3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做
整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式： ；
例2：由图2，可得等式： ．
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形．从中你发现的结论
用等式表示为__________．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)32
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值；（1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解；
（2）将值代入（1）中的等式计算即可求解．
【详解】（1）解：由图得 ；
故答案： ；
（2）解： ， ，
，
解得： ．
【易错必刷十四 多项式乘法中的规律性问题】（共3小题）
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）观察下列运算
我们发现规律： （n为正整数）：利用这个公式计算：
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．根据运算规律，代入 ， ，整理后即可求解．
【详解】解：∵ ，
当 ， 时， ，∴ ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解
九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了 （n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有
关规律． 的展开式中所有项的系数和为 ；
【答案】29/512
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．由杨辉三角归纳 的项数与所有项的系数和的规律，
即可求解．
【详解】解：由题意得， 共2项，所有项系数的和为 ；
共3项，所有项系数的和为 ；
共4项，所有项系数的和为 ；
……；
共 项，所有项系数的和为 ，
∴ 共10项，所有项系数的和为 ；
故答案为：512．
3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．
(1)根据以上式子计算：① ；
② ．
(2)请你进行下面的探索：
① ____________；
② ____________；
③ ____________．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；② ；③
【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从
而进行解题．
（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；② 中，把 按升幂进行排列，把
化为 ，然后套用规律进行解答，需要处理好符号；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）解：① ；
② ；
同理可知：
③
故答案为∶① ；② ；③ ．【易错必刷十五 整式乘法混合运算】（共3小题）
1．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知一个多项式的2倍与 的和等于 ，则
这个多项式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意，这个多项式是
故选D
【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义新运算： ，则 的运算结果是
．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则．根据定义新
运算计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算(1)
(2)
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了整式的混合运算．
（1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可．
（2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
【易错必刷十六 平方差公式】（共3小题）
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对平方差公式的应用，平方差公式是 ，根据公式的特点逐个判
断即可．
【详解】解：A、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确；
故选：D．
2．（24-25七年级上·上海·期中）计算： （结果用幂的形式表示）．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式前面乘以 ，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3、（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用整式的混合运算法则进行化简，再将值代入原式即可求解．
【详解】原式
把 代入得：【易错必刷十七 平方差公式与几何图形】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（
），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式得到这两个图形阴影部分的面积相等，
即可得到结论，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：左侧图形阴影部分的面积为： ，
右侧图形阴影部分的面积为： ．
根据两个图形面积相等得： ，
故验证的公式是 ，
故选：B．
2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知 ，且以a、b、c为长拼成如图正方形，
则阴影部分的面积为 ．(用含x、y、z的代数式表示)【答案】
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用分割法表示出阴影部分的面积，再根据
，结合平方差公式，将面积转化为含x、y、z的代数式即可．
【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·云南文山·阶段练习）将两个长方形（阴影部分）拼成如图所示形状（大正方形），
如图所示：
(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．
（写成多项式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．
A． B．
C． D．(4)根据（3）中所得公式，当 ， 时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2) ， ，
(3)D
(4)
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用：
（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出答案：
（2）根据图形列出代数式，即可求解；
（3）根据（1）（2）所求即可得到答案；
（4）根据 进行求解即可．
【详解】（1）解： 由题意得， ，
故答案为： ；
（2）解：该长方形的的宽是 ，长是 ，面积是 ；
故答案为： ， ， ．
（3）解：由（1）（2）可知 ，
故选：D；
（4）解：当 ， 时， ．
【易错必刷十八 运用完全平方公式进行运算】（共3小题）
1．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）
．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数
和 另一个加数，列出算式，进行化简即可．
【详解】解：由题意得：
，
所捂的多项式为： ；
故选：B．
2、（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，则 ； ．
【答案】 11 13
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据 与 互为倒数的特点，利用完全平方公式求解．
对已知条件等号两边平方，整理后求解即可．
【详解】解： ，
，
即 ，
，
．
故答案为：11；
3．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式进
行运算．
（1）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式计算即可；
（2）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：
．
【易错必刷十九 通过对完全平方公式变形求值】（共3小题）
1．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）A．4 B．9 C．7 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，那么 ．
【答案】34
【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对 进行变形．
根据完全平方公式对 进行变形，再将 ， 代入即可求解．
【详解】解： ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：34．
3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一个宽为 ，长为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均
分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你用等式表示 ， ， 之间的数量关系：________．
(2)根据（1）中的结论，如果 ， ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全
平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键．
（ ）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论；
（ ）由（ ）的结论得 ，再整体代入即可．
【详解】（1）由图 可知，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，大正方形的面积可以表
示为： 或 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由（ ）得： ，
∴ ，
∴ ．
【易错必刷二十 求完全平方式中的字母系数】（共3小题）
1．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知代数式 是完全平方式，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式 是一个完全平方式，则 ．
【答案】 或1
【分析】本题考查了了完全平方公式，注意分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形计算是解题
的关键．根据完全平方公式的形式求解即可．
【详解】∵多项式 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 或 ，
故答案为： 或1．
3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知二次三项式 的常数项与 的常数项相
同，而它的一次项与 的一次项相同．
(1)分别求出 ， 的值；
(2) 是完全平方式吗？若是，把它写成完全平方式；若不是，先添加一项，再写成完全平方式．
【答案】(1)
(2) 是完全平方式，
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，完全平方式，
（1）根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出 和 的结果即可得到答案；
（2）根据（1）所求可得 ，据此可得结论．
【详解】（1）解： ，，
∵二次三项式 的常数项与 的常数项相同，而它的一次项与 的一次项相
同，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ，
∴ 是完全平方式．
【易错必刷二十一 完全平方式在几何图形中的应用】（共3小题）
1．（21-22九年级·山西大同·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡
片 如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张
小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴
影部分的面积大 ，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整式的
混合运算法则计算即可．
【详解】解：根据题意得：图2中的阴影部分的面积为： ，图2中的阴影部分的面积为： ，
由题意得， ，
整理得， ，
则小正方形卡片的面积是2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．
2．（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 ．某
同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为 ， ．
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含 ， 的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键．
（1）根据图2中正方形的组成即可解决问题；
（2）根据图3长方形的组成即可解决问题．
【详解】解：（1）由题可知，图2正方形的边长为 ，
∴ ，
根据长方形的组成得：
，∴ ，
故答案为： ．
（2）由题可知，图3长方形的长和宽为 和
∴ ，
∴ ，
答案为： ．
3．（22-23八年级上·河南许昌·期末）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等
式，例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图
②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形边长的是：______．
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______．
(3)观察图②，请你写出 ． ， 之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若 ， ，则 ______．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
(4)
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为 的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边
长为 的正方形面积中减去4个长为 ，宽为 的长方形面积即可；（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图2中阴影部分的正方形的边长为 ，
故答案为： ；
（2）方法一：阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为 ，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为 的正方形面积减去4个长 ，宽为 的长方形面积，即
；
故答案为： ， ；
（3）由（2）得，
故答案为： ；
（4）∵ ， ， ，
∴
，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式
表示各个部分的面积是解决问题的关键．
【易错必刷二十二 提公因式法】（共3小题）
1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则 的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，将 变形为 ，再将 整体代入计算即可．
【详解】解： ，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25八年级上·海南海口·期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据 进行计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（22-23八年级下·四川达州·期中）已知 ， ，求 的值
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，先把所求式子因式分解得到
，再根据完全平方公式的变形得到 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
．【易错必刷二十三 运用公式法进行因式分解】（共3小题）
1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）若 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了求代数式的值．对所求式子因式分解，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 ，
故选：C．
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，注意多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了因式分解．
（1）运用综合提公因式以及公式法分解因式即可．
（2）先运用十字相乘法分解因式，再运用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）
．
【易错必刷二十四 因式分解在有理数简算中的应用】（共3小题）
1．（2023·河北保定·模拟预测）若 ，则k的值为（ ）
A．100 B．101 C．200 D．204
【答案】D
【分析】移项后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用平方差公式进行简便运算．
2．（21-22八年级上·福建厦门·期末）若a=2021×589－588×2021，b=2019×2018－2017×2020，则a与b的
大小关系为 ．
【答案】a＞b
【分析】先把a提取公因式进行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化简得出b的值，最后比较大小．
【详解】解：∵a＝2021×589−588×2021
＝2021×（589−588）＝2021×1
＝2021．
b＝2019×2018−2017×2020
＝2019×（2017＋1）−2017×（2019＋1）
＝2019×2017＋2019−2017×2019−2017
＝2019−2017
＝2．
故答案为：a＞b．
【点睛】本题考查了因式分解，准确拆项是本题的关键．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1
(2)80
【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；
（1）把原式化为 ，再利用完全平方公式进行计算即可；
（2）把原式化为 ，再利用完全平方公式进行计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）．
【易错必刷二十五 十字相乘法】（共3小题）
1．（21-22七年级下·湖南娄底·期中）甲、乙两人在因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果
是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据甲分解的结果求出 ，根据乙分解的结果求出 ，然后代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．
2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知 ，其中k、q均为整数，则
．
【答案】 或15
【分析】把等式右边展开，由对应相等得出 ， ，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即
可求出答案．
本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，
∴当 时，则 ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ；
故答案为 或15
3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【易错必刷二十六 分组分解法】（共3小题）
1．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解 的因式，分组正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先分组然后提公因式法因式分解，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
3．（22-23七年级下·全国·假期作业）观察下列因式分解的过程：
①
（分成两组）
（直接提取公因式）
；
②
（分成两组）（直接运用公式）
．
请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】解：（1） ．
（2）
．
【易错必刷二十七 因式分解的应用】（共3小题）
1．（24-25八年级上·全国·期末）若 ，则 的值是（ ）
A．9 B．7 C．13 D．14
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，
也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．把所给代数式变形后把 代
入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴．
故选：C．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都
为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且 ．观察
图形，可以得到代数式 可以因式分解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面积
可进行求解．
【详解】解：由图形可知： ；
故答案为 ．
3．（23-24八年级下·四川达州·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式
，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋ 中先加上一项 ，使
它与 的和成为一个完全平方式，再减去 ，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：
(2)已知a、 、c是 的三边，且满足 ，试判断 的形状．
(3)当x为何值时代数式 有最大值？求出这个最大值．
【答案】(1)
(2) 是等腰三角形或直角三角形
(3) ，最大值为
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用提公因式法和平方差公式分解因式，可得 或 ，即可求解；
（3）先对式子 进行因式分解，得到 时，取得最大值
【详解】（1）
（2）解：∵ ，
，
∴
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 是等腰三角形或直角三角形．
（3）时，即 ，原式有最大值 ．
【易错必刷二十八 利用整式的乘法求最值】（共3小题）
1．（23-24七年级下·全国·期中）若 ，则M的值一定是（ ）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的应用，将 转化为完全平方的和的形式，进行
判断即可．
【详解】解：
，
∵ ，
当且仅当： 时， ，
∴ 不能同时为0，
∴ ，即：M的值一定是正数；
故选：C．
2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）若一个正整数 ，其中 与 都是两位数，且 与 的
个位数字相加等于 ，十位数字相同，则称 为“积差数”．例如：因为 ， 与 的
十位数字都是 ，个位数字 ，所以 是“积差数”，则最小的“积差数”是 ；若
，将 放在 的左边组成一个新的四位数 ，若 被 除余 ，则满足条件的 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的运算、二元一次方程等知识点，掌握“积差数”的定义是解题的关键．设
的十位数字为 ，个位数字为 ；则 的十位数字为 ，个位数字为 ，
， ，当 ， 时，
最小， 最大， 有最小值为 ，又
，从而 或 或 ，进而分类讨论求解
即可．
【详解】解：设 的十位数字为 ，个位数字为 ；则 的十位数字为 ，个位数字为
，
∴ ，
∴
，
∴当 ， 时， 最小， 最大， 有最小值，
最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 被 除余 ，
∴ 或 或 ，当 时， ，
∴ ， 或a=2， ，或 ， ，
∴ 为 或 或 ；
当 时， ，
∴ ， 或 ， ，或 ，b=4，或 ， ，或 ， ，
∴ 为 或 或 或 或 ；
当 时， ，
∴ ， 或 ， ，或 ， ，或 ， ，
∴ 为 或 或 或 ；
综上 最大值为 ，
故答案为： ， ．
3．（23-24八年级上·云南保山·期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道 ，根据完全平方公式： ，所以完全平方公式的
值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式 的最小值时，我们可以这样
处理：
解：原式
∵
∴ ，且当 时， 的最小，为 ；
请根据上面的解题思路，求多项式 的最小值是多少，并写出对应的x的值．
【答案】当 时， 的最小值为1
【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．先
把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【详解】解：原式 ．∵
∴
∴当 时， 的最小值为1
