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专题 10 相似三角形重难点模型（五大模型）
【题型01：(双)A字型相似】
【题型02：(双)8型相似】
【题型03：母子型相似】
【题型04：旋转相似】
【题型05：K字型相似】
【题型01：(双)A字型相似】
【典例1】如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在
AB,AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，
过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；
EF
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求 的值．
DF
【变式1-2】如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD于点G．
AG
（1）求 的值．
GF
（2）如果BD=4❑√3，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
AE AB
【变式1-3】如图，在ΔABC中，点E,F分别在AB,AC上，且 = ．
AF AC
（1）求证：ΔAEF∼ΔABC；
EG FG
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证： = ．
BD CD【题型02：(双)8型相似】
【典例2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝
3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【变式2-1】如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的长．
【变式2-2】已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，
AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【变式2-3】如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
1
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT= AD,求tan∠ABM的值
4
【题型03：母子型相似】
【典例3】如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
DE
（1）如果△≝¿与△ABC互为母子三角形，则 的值可能为（ ）
AB
1 1
A．2 B． C．2或
2 2
（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2AD,∠ADE=∠B．
求证：△ABD与△ADE互为母子三角形．
（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，
AG
射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求 的值．
GFAB AD
【变式3-1】如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 = ，∠BAD＝∠ECA．
AC CE
△
（1）求证：AC2＝BC•CD；
CE
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
AC
△
【变式3-2】如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P，Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，
其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直运动到点A为止（点P
到达点C后，点Q继续运动）
(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出t的取值范围；
(2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？【变式3-3】如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以2m/s的速度从A点出发，沿AC
向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t
秒(0
