文档文本内容
专题 10 相似三角形重难点模型（五大模型）
【题型01：(双)A字型相似】
【题型02：(双)8型相似】
【题型03：母子型相似】
【题型04：旋转相似】
【题型05：K字型相似】
【题型01：(双)A字型相似】
【典例1】如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在
AB,AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，
过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；
EF
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求 的值．
DF
【变式1-2】如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD于点G．
AG
（1）求 的值．
GF
（2）如果BD=4❑√3，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
AE AB
【变式1-3】如图，在ΔABC中，点E,F分别在AB,AC上，且 = ．
AF AC
（1）求证：ΔAEF∼ΔABC；
EG FG
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证： = ．
BD CD【题型02：(双)8型相似】
【典例2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝
3，OE与CD相交于点F．
（1）求证：OE⊥CD；
（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．
【变式2-1】如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的长．
【变式2-2】已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，
AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【变式2-3】如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
1
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT= AD,求tan∠ABM的值
4
【题型03：母子型相似】
【典例3】如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
DE
（1）如果△≝¿与△ABC互为母子三角形，则 的值可能为（ ）
AB
1 1
A．2 B． C．2或
2 2
（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2AD,∠ADE=∠B．
求证：△ABD与△ADE互为母子三角形．
（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，
AG
射线BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求 的值．
GFAB AD
【变式3-1】如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 = ，∠BAD＝∠ECA．
AC CE
△
（1）求证：AC2＝BC•CD；
CE
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
AC
△
【变式3-2】如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P，Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，
其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直运动到点A为止（点P
到达点C后，点Q继续运动）
(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出t的取值范围；
(2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？【变式3-3】如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以2m/s的速度从A点出发，沿AC
向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t
秒(0<t<5)．
（1）AP=______m，PC=______m，CQ=_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不
能，请说明理由．
【题型04：旋转相似】
【典例4】【操作与思考】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD边上的点，且BE+DF=EF，且△ADF绕
点A顺时针旋转90°得到△ABG，画出△ABG，并证明∠EAF=45°；
【尝试与应用】
1
（2）如图2，正方形ABCD边长为8，点E，F分别为BC，CD边上的点，tan∠EAF= ．
2
FM∥BC交AE于M，求证2MF=BE+FD；
【拓展与创新】
1
（3）如图3，矩形ABCD中，AD=10，AB=5，点E，F分别为BC，CD边上的点，tan∠EAF= ，
2
FM∥BC交AE于M．若MF=7，直接写出DF的长．【变式4-1】1.问题发现
图（1），在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=35°，连接AC，BD交于
点M.
AC
① 的值为______；②∠AMB的度数为_______．
BD
（2）类比探究
图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC，交
AC
BD的延长线于点M，请计算 的值及∠AMB的度数；
BD
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若OD=2，AB=8，将△OCD绕点O在平面内旋转一周．
①当直线DC经过点B且点C在线段BD上时，求AC的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线OB距离的最大值．
【变式4-2】在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接
AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想
BD
如图①，当α=60°时， 的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
CP
(2)类比探究
BD
如图②，当α=90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情
CP
形说明理由．
【变式4-3】【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C
重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置
关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋
转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，将△ACD绕点A顺时针
旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°<α<360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【变式4-3】
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
BD
直接写出 的值．
CE
AB AD 3
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
BC DE 4
接BD，CE．
BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【变式4-4】如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG．
(1)[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD=2AB，AG=2AE，猜想DG与BE的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在(2)情况下，连接¿(点E在AB上方)，若GE ∥ AB，且AB= ❑√5，AE=1，求DG的长．
【题型05：K字型相似】
【典例5】综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，□ ABCD的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，
OA=OC=2OB=4，直线y=x+t(−2≤t≤4)分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、
P、Q．
(1)当t=1时，求证：AP=DP．
(2)探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得∠PMQ=90°，且以点M、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，若
存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且
∠3=45°，求证：△ABD∽△DCE.【变式5-2】（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为
E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，
∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，
3
∠CEF=α且tanα= ，若BF=8，求BE的长度．
4【变式5-3】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；
(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
