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专题11.19 三角形（直通中考）
一、单选题
1．（2023·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长 的两条线段围成一个
三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
3．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， ，且 ， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含 角的三角尺，依次画出
了直线a，b，c．如果 ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线 ， 于点E．若 ，则
的度数是（ ）A． B． C． D．
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于 的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川达州·统考中考真题）如图， ， 平分 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上，
于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， ，点 在线段 上（不与点 ， 重合），连
接 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，直线 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
12．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，分别过 的顶点A，B作 ．若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）正五边形的一个外角的大小为 度．
14．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是
．（只填一个即可）
15．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数
是 ．
16．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是
三角形．
17．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为 ，则其余六个内角之和为
．
18．（2023·江苏徐州·统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三
边的长可以为 （写出一个即可）．
19．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中，若
，则 °．20．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上
的动点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为
．
21．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶
提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三
角形，得出了一个结论：如图， 是锐角 的高，则 ．当
， 时， ．
22．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半
谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣
矩，1欘 宣（其中，1矩 ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强
弩图的部分组件的示意图，若 矩， 欘，则 度．三、解答题
23．（2019·江苏苏州·统考中考真题）如图， 中，点 在 边上， ，将线段 绕点
旋转到 的位置，使得 ，连接 ， 与 交于点
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
24．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点 、 、 、 在一条直线上，且 ，
， ．求证： ．
25．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为 ”计算的条件下，利用“一个三
角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形 的内角和为540°．
26．（2019·浙江台州·统考中考真题）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边
形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．
例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形 的各条边都相等．
①如图1，若 ，求证：五边形 是正五边形；
②如图2，若 ，请判断五边形 是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形 的各条边都相等．
①若 ，则六边形 是正六边形；（ ）
②若 ，则六边形 是正六边形． （ ）27．（2019·甘肃·中考真题）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边 中， 是 边上一点(不含端点 )， 是 的外角 的平
分线上一点，且 ．求证： ．
点拨：如图②，作 ， 与 的延长线相交于点 ，得等边 ，连接 ．易证：
，可得 ；又 ，则 ，可得 ；由
，进一步可得 又因为 ，所以 ，即：
．
问题：如图③，在正方形 中， 是 边上一点(不含端点 )， 是正方形 的外角 的平分线上一点，且 ．求证： ．
28．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在 和 中， 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】如图①，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②，D是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，
则 __________， _________；
(3)如图③，在 中，D，E 分别是 和 边上的点，若 ， ，
，则 __________．
参考答案
1．C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
解：设第三边长度为 ，
则第三边的取值范围是 ，
只有选项C符合，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．2．B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
解：由题意，得 ，即 ，
故 的值可选5，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
3．C
【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故选：C．
【点拨】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
4．D
【分析】可求 ，再由 ，即可求解．
解： ，
，
，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．C
【分析】可求 ，由 ，即可求解．
解：如图，
由题意得： ， ，，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关
键．
6．B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐
角互余即可求出 ．
解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解
题的关键．
7．B
【分析】根据n边形内角和公式 分别求解后，即可得到答案
解：A．三角形内角和是 ，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为 ，故选项符合题意；
C．五边形内角和为 ，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为 ，故选项不符合题意．故选：B．
【点拨】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式 是解题的关键．
8．B
【分析】根据平行线的性质得出 ，再由角平分线确定 ，利用三角形内角和
定理求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这
些知识点是解题关键．
9．C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三
角形两锐角互余是解题关键．
10．B
【分析】根据三角形的外角的性质求得 ，根据平行线的性质即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．B
【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形的外角性质即可得．
解： ，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到 ，利用三角形内角和定理计算即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
13．72
【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．
解：正五边形的一个外角的度数为： ，
故答案为：72．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．
14．4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
，再解即可．
解：设第三边长为x，由题意得：
，
则 ，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的
和．
15．6解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
16．直角
【分析】设一份为 ，则三个内角的度数分别为 ， ， ，然后根据三角形内角和进行求解即
可．
解：设一份为 ，则三个内角的度数分别为 ， ， ．
则 ，
解得 ．
所以 ， ，即 ， ．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点拨】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
17． /800度
【分析】根据多边形的内角和公式 即可得．
解：∵七边形的内角中有一个角为 ，
∴其余六个内角之和为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
18．4
【分析】根据三角形三边关系可进行求解．
解：设第三边的长为x，则有 ，即 ，
∵该三角形的边长均为整数，
∴第三边的长可以为3、4、5、6、7，
故答案为4（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
19． /55度
【分析】先由邻补角求得 ， ，进而由平行线的性质求得 ，
，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是
解题的关键．
20． 或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
解：由折叠的性质得： ；
∵ ，
∴ ；
①当 在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 在 上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；综上， 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
21．
【分析】根据公式求得 ，根据 ，即可求解．
解：∵ ， ，
∴
∴ ,
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
22． / / ．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
解：由题意可知，
矩 ，
欘 宣 矩 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，
并正确计算．
23．（1）证明见分析；（2）78°
【分析】（1）因为 ，所以有 ，又因为 ，所以有，得到 ；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，
得到 ，从而算出∠FGC
解：（1）证明： ，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是
掌握全等三角形证明．
24．见分析
【分析】根据 证明 ，即可得出答案．
解：证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
25．答案见分析
【分析】如下图，连接 ， ，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
解：连接 ， ，
五边形 的内角和等于 ， ， 的内角和的和，
五边形 的内角和 ．
【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角
形是解答此题的关键．
26．（1）①证明见分析②若 ，五边形 是正五边形（2）①真命题②真命题
【分析】（1）①用SSS证明 ，得到
，即可得证；
②先证 ，再证明 ，再根据四边形的内角和与平行的性质证得
即可得证；
（2）①先证 ，再举出等腰直角三角形的反例，得出 ，由
此即可得出结论；
②连接 、 、 ，先证 ，再证 ，得到 ，再由（2）
①即可得出结论．
解：（1）①证明：∵凸五边形 的各条边都相等
∴
在 、 、 、 、 中，
∴
∴
∴五边形 是正五边形；
②解：若 ，五边形 是正五边形，理由如下：在 、 和 中，
∴
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵四边形 内角和为
∴
∴
∴ ，
∴
∴
同理：
∴五边形 是正五边形；
（2）解：①若 ，则六边形 是正六边形；假命题，理由如下：
如图3所示，∵凸六边形 的各条边都相等
∴
在 、 和 中，
∴
因此，如果 都为相同的等腰直角三角形，符合题意
但 ，而正六边形的每个内角都为
∴六边形 不是正六边形故答案为：假；
②若 ，则六边形 是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接 、 、
在 和 中，
∴
∴
∵
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
同理：
∴
由（2）①可知：六边形 不是正六边形
故答案为：假．【点拨】本题主要考查正多边形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
27．见分析；
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，则 ，得
出 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出 ，证出
，得出 ，三点共线，由 证明 得出
，得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，证出 ，得出
，即可得出结论．
解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图所示：
则 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 是正方形 的外角 的平分线上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，三点共线，在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的
性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
28．(1) ；(2) ； ；(3)
【分析】（1）由图可知 和 是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据 ， 和等高三角形的性质可求得 ，然后根据 和等高三角形的性质可求得 ；
（3）根据 ， 和等高三角形的性质可求得 ，然后根据 ，
和等高三角形的性质可求得 ．
（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
则 ，
∵AE=AE，
∴ ．
（2）解：∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ；
∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ 和 是等高三角形，
∴ ，
∴ ；
∵ 和 是等高三角形，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并
能灵活运用是解题的关键．
