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专题12.20 全等三角形判定方法灵活合理选择（分层练习）
三角形角全等判定方法的选择方法：
解答题
1．如图，在 中， ，点D是 的中点，点E在 上．找出图中的全等三角形，并选一对
证明它们全等．
2．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全
等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明．3．如图，点 ， 分别在 和 上， ，点 是 上一点， 的延长线交 延长线 于
点 ．
(1) 若 ， ，求 的度数；
(2) 若点 是 的中点， 与 全等吗？请说明理由．
4．如图，已知△ABC
(1) 利用尺规作图，作△DEF，使△DEF≌△ABC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由．
5．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选
一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
6．如图，点E、F在BD上，且 ， ， ，试说明：点O是AC的中点．请你在横
线上补充其推理过程或理由．
解：因为
所以 ，即
因为 ，
所以 （理由：SSS）
所以 （理由： ）
因为 （理由： ）
所以 （理由： ）
所以 （理由：全等三角形对应边相等）
所以点O是AC的中点．
7．如图，在多边形ABCDE中， ， 于点F，且 ， ，．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
8．如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、BC和DC上，DG=DC，CE=CF，点P是线段
CG上一点，连接FP，EP．求证：FP=EP．
9．如图， ，垂足为 ，垂足为 ．求证：
(1) ； (2) ．10．如图， ．
(1)写出 与 全等的理由；
(2)判断线段 与 的数量关系，并说明理由．
11．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和
等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1) 观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2) 数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请你写出正确结论再给予证明．
12．在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．(1)如图1，求证：AC＝BD；
(2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅
助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．
13．如图，D为等边三角形ABC外一点，∠BDC=120°，∠DBC=∠DAC．试说明：AD=BD+DC．
14．已知：两个等腰直角三角板 ACB和 DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆
放，连接AE、BD交于点O．AE△与DC交△于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；
（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图
2中四对全等的直角三角形．
15．如图，在等边三角形 中， 是 边上的动点，以 为一边向上作等边三角形 ，连接 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）求证： ；
（3）当点 运动到 的中点时， 与 有什么位置关系？并说明理由．
16．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE．（1）请你找出图中其他的全等三角形；
（2）试证明CF＝EF．
17．如图，AC、BD相交于点O，AB=CD，AC=BD.求证：(1) ∠ABD=∠DCA；(2) AO=DO.
18．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从
顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明 ≌ ；
（2） 会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）P、Q运动几秒时， 是直角三角形？
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。
19．如图，在Rt AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，以AB为一边作等边 ABE，作OA的垂直平分线MN
交AB的垂线AD△于点D． △
（1）连接BD，OE．求证：BD＝OE；
（2）连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．20．探究：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上（D不与A，B重合），
连结CD，过点C作CE⊥CD，且CE=CD，连结DE、AE．
求证：△BCD≌△ACE．
应用：如图②，在图①的基础上，点D在BA的延长线上，其他条件不变．若AD= AB，AB=4，求DE的长．
21．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三
角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知 、 均为锐角三角形，且 ， ， .
求证： .
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.22．如图1，直线 于点B， ，点D为 中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l
交于点E（提示：作法线）．
(1) 求证： ；
(2) 如图2，连接 交 于点F，连接 交 于点H， ，求证： ；
(3) 如图3，在（2）的条件下，点P是 边上的动点，连接 ， ，求 的
最小值．
23．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动;
同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.当点Q到达C点时，点P同时停止，设
运动时间为t秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)
(1)CQ的长为______cm(用含 的代数式表示);
(2)连接DQ并把DQ沿DC翻折，交BC延长线于点F，连接DP、DQ、PQ.
①若 ，求t的值.
②当 时，求t的值，并判断 与 是否全等，请说明理由.24．（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若
∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明
△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________________．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上． 若
∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证
明．
（3） 拓展应用．
如图3，在四边形ABDC中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且
∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为参考答案
1． ， ， ，证明见解析
【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理 证得 ；根据 证得
；根据 证得 ．
【详解】解：图中的全等三角形有： ， ， ；
∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、
．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不
重不漏．
2．图中全等的直角三角形有： ， ， ， ，
， ，证明见解析
【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可．
【详解】解： ， ， ， ， ，
．
理由如下：
在 与 中， ，，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
在 与 中， ，
，
∴ ．
在 与 中， ，
，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ．在 与 中， ，
∴ ．
综上所述，图中全等的直角三角形有： ， ， ，
， ， （任选三对即可）．
【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：
．注意： 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，
必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．(1) (2)不全等，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）只有一边一角不能证两个三角形全等．
【详解】（1）解： ， ，
，
又 ， ，
；
（2）不全等，理由如下：
点 是 的中点，
，
，
只确定了这两个条件，无法证明全等．
【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线性质得出 是解答本题的
关键．
4．(1)见解析； (2)见解析．
【分析】（1）根据SSS作出图形即可；
（2）根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】（1）如图，△DEF即为所求（作法不唯一）．（2）由作图可知，AB＝DE，EF＝BC，DF＝AC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点拨】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
5．(1)①，SSS (2)见解析
【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；
(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点拨】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解
此题的关键．
6． ； ；全等三角形对应角相等；对顶角相等； ；【分析】根据已知条件判定两三角形全等，并利用全等三角形的对应角相等，再次得到两个三角形全等，
从而得到对应线段相等，即可证明点O是AC的中点．
【详解】因为
所以 ，即
因为 ，
所以 （SSS）
所以 （全等三角形对应角相等）
因为 （对顶角相等）
所以 （ ）
所以 （全等三角形对应边相等）
所以点O是AC的中点．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等，熟练掌握全
等三角形的判定和性质能逐步推理是解题的关键．
7．（1）见解析（2）6
【分析】（1）根据ASA证明△ABF≌△DBC，故可求解；
（2）根据SAS证明△ABE≌△DBE，得到AE=DE=4，故可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴∠BFA=∠C=90°
又 ，
∴△ABF≌△DBC，
∴ ；
（2）∵△ABF≌△DBC
∴∠ABF=∠DBC
∵ = = =
∴∠ABE=∠DBE
又AB=DB，BE=BE
∴△ABE≌△DBE
∴AE=DE=4，
∴ 的面积为 AE×BF= ．
【点拨】此题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．8．证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥CB进而求得∠GCE=∠GCF，根据SAS证出△PCE≌△PCF，即可得出
答案.
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DGC=∠GCE．
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠GCF，
∴∠GCE=∠GCF，
在△PCE和△PCF中，
∵ ，
∴△PCE≌△PCF(SAS)，
∴FP=EP．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，比较简单，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质.
9．(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）直接用 即可证明 ；
（2）由 ，可得出 ，由 ，
可得出 ，由 即可得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在 和 中
∴
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键．
10．(1)见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）由 得出 ，再根据 判断 与 全等即可；
（2）由 与 全等得出 判断 与 全等，最后利用全等三角
形的性质可得．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵ ，
∴ ，
在 与 中
∴
（2） ，理由如下：
在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，
此题比较典型．
11．(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角
度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知
∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可证∠APD＝60°．
【详解】（1）解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
（2）上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中， ，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定
是解决本题的关键．
12．(1)见解析
(2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD．
【分析】（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，即可证明AC=BD；
（2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形．
【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△AOC，
∴AC=BD；
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，由（1）得△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，
在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，
又∠DFB=∠AFC，BD=AC，
∴△DFB≌△AFC(AAS)，
在△DCB和△ABC中，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，
∴∠BAC=∠CDB，
∵AB=CD，
∴△DCB≌△ABC(ASA)，
同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
13．答案见详解
【分析】延长BD至E，使DE=DC，连接CE，由∠BDC=120°，推出等边△CDE，得到CD=DE=CE，
∠DCE=∠DEC=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACD=∠BCE，根据三角形全等的判定推出
△ACD≌△BCE，得出AD=BE，即可求出结论．
【详解】解：AD=BD+DC，理由如下：延长BD至E，使DE=DC，连接CE．
∵∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=DE=CE，∠DEC=60°．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即：∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵BE=BD+DE，
∴AD=BD+DC．
【点拨】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，此
题是一个拔高的题目，有一定的难度．
14．（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，
△AOB≌△DOE
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内
角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD．
（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．
【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA，即∠DCB＝∠ACE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
在 ACE与 BCD中，
△ △
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，
∵∠CME＝∠DMO，
，
即∠DOM＝∠ECM＝90°，
∴AE⊥BD，
∴AE＝BD且AE⊥BD；
（2）∵AC＝DC，
∴AC＝CD＝EC＝CB，
在 ACB与 DCE中，
△ △
，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，
∴∠DOM＝90°，
∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN，
∴DM＝AN，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∵DE＝AB，AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3） ，见解析．【分析】（1）根据 和 是等边三角形，得到边角关系，即 ， ，
，根据等式性质得到 ，最后利用 证明全等即可；
（2）根据 ≌ ，可知对应角 ，又因为 ，等量代换可知
，进而得到 ；
（3） ，由 是等边三角形，点 为 的中点，根据三线合一可知 ，再
根据 ≌ ，进而得到 ，最后可求得 的度数．
【详解】（1） 和 是等边三角形；
， ， ，
，
即 ，
在 与 中
，
≌ ；
（2） ≌ ，
；
，
，
；
（3） ，理由如下：
是等边三角形，点 为 的中点，
， ， ，
，
，
≌ ，
，
，．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识
点，准确的运用这些性质是解题的关键．
16．（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；（2）证明过程见解析；
【分析】（1）图中除了已知的Rt△ABC≌Rt△ADE，还有①△ACD与△AEB，②△DCF与△BEF，根据全等
三角形的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，进一步即可根据SAS判断①中两个三角形应是全
等关系，然后根据这两对全等三角形的性质即可判断②中两个三角形的关系，问题从而解决；
（2）根据全等三角形的性质和SAS可证△CAD≌△EAB，然后根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED，
∠ACD＝∠AEB，CD=BE，再利用AAS即可证明△CDF≌△EBF，进一步即可推出结论．
【详解】解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；
①∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
∵AC＝AE，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）．
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．
即∠CAD＝∠EAB．
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）
∴CF＝EF．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，灵活应用全等三角形的判定和性质是
解题的关键．
17．(1)见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）根据三边对应相等的两三角形全等，证得△ABC≌△DCB，然后根据全等三角形的
对应角相等，证得结论；
（2）在（1）的基础上，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等角对等边，可证.
试题解析：（1）在△ABC与△DCB中，AB=CD，AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB，即∠ABD=∠DCA；
（2）由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC
∵AC=BD，∴AC-OC=BD-OB，即AO=DO.
18．（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；（4）
∠CMQ=120°，不变．
【分析】（1）利用SAS可证全等；
（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；
（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t
的值；
（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．
【详解】（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：
AP=BQ
∴ ≌ ；
（2）∠CMQ=60°不变∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t= ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BQ，得t=2（4-t），t= ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形；
（4）∠CMQ=120°不变，
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．
【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性
质进行角度转化，得出需要的结论．
19．(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）连接OD，易证 ADO为等边三角形，再证 ABD≌△AEO即可．
（2）作EH⊥AB于H，先证 A△BO≌△AEH，得AO＝EH，再△证 AFD≌△HFE即可．
【详解】证明：（1）连接O△D，如图1， △
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠EAB＝60°，∵DA⊥BA，
∴∠DAB＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAE＝∠DAB，
∵MN垂直平分OA，
∴OD＝DA，
∴△AOD是等边三角形，
∴DA＝OA，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（2）证明：如图2，作EH⊥AB于H，
∴∠EHA＝∠DAF＝90°，
∵AE＝BE，
∴2AH＝AB，
∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，
∴2OB＝AB，
∴AH＝BO，
∴Rt AEH≌Rt BAO（HL），
∴EH△＝AO＝A△D，
∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴F为DE的中点．
【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．探究：证明见解析；应用： ．
【详解】试题分析：探究：由△ABC是等腰直角三角形，得到直角，线段、角相等，由线段垂直得到直角，
证明三角形全等．
应用：由等腰直角三角形ABC，得到∠CAB=∠ABC=45°，由AD= AB，得到AD=1，BD=5，由勾股定理求得
结果．
试题解析：探究：如图①，
∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵AC=BC，CE=CD，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
应用：如图②，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，∵AD= AB，
∴AD=1，BD=5，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=5，
∴∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠DAE=90°，
∴DE= ．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．
21．（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【分析】（1）过B作BD⊥AC于D，过B 作B D ⊥B C 于D ，得出∠BDA=∠B D A =∠BDC=∠B D C =90°，根
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
据SAS证 BDC≌△B D C ，推出BD=B D ，根据HL证Rt BDA≌Rt B D A ，推出∠A=∠A ，根据AAS推出
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ABC≌△A△B C 即可． △ △
1 1 1
△（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与
（1）同理可证.
【详解】（1）证明：过点 作 于 ，过 作 于 ，
则 .
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ .在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ .
在 和 中，
， ， ，
∴ .
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵ ， ， .
∴ ≌ （HL）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD⊥AC， ，
与（1）同理，利用AAS先证明 ，得到 ，
再利用HL证明 ，得到 ，再利用AAS证明 ；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握
证明三角形全等的方法.
22．(1)见解析 (2)见解析 (3)5
【分析】（1）由 可证 ，可得 ；
（2）由 可证 ，可得 ，由余角的性质可得结论；
（3）由 可证 ，可得 ，则当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，
即 有最小值为 的长，由面积法可以求解．
【详解】（1）证明：如图1，过点D作 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）
（2）① 2.4 ② 2，不是全等三角形.
【分析】（1）根据题意动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.因此利用速度和时间的乘积等于路程，可得CQ的长.
（2）①根据题意分别计算 和 的面积，列方程求出t值即可.
②首先根据题意计算PF、DP和DF的长，再利用勾股定理列方程求解即可,确定了t值再证明 与
是否全等.
【详解】（1）根据题意可得点Q移动的速度为2cm
（2）①根据题意可得
即
②根据题意可得DP=
DF=
PF=
解的
所以当 时，可得
CQ=2, BQ=PB=4,
因此可得 , , ,
而
所以可得 与 不是全等三角形.【点拨】本题主要考查正方形的动点问题，关键在于根据题意列出方程，根据方程求解即可.
24．（1）BE+FD=EF；（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE，证明见解析；（3）
【分析】（1）先证明 ABE≌△ADG（SAS），再证明 AEF≌△AGF（SAS），可即可求解；
（2）首先在DF上截取△BG=DF，并连接AG，然后证明△ ABE≌△ADG（SAS），再证明 AEF≌△AGF（SAS），
可即可求解； △ △
（3）方法一：延长AB至K，使得BK=BC，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，证得 DBK≌△DBC（SAS），进而得
到∠KDC=2∠BDC=90°，由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，可以证得 DK△M≌△DNC（AAS），进一步得
△
到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据 即可求解；
方法二：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，作DH⊥BC，可以证得D为 ABC的旁心，然后得到四边形AMDN为
△
正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据 即可求解．
【详解】（1）BE+FD=EF
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG
又∵AB=AD，BE=GD，
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴∠BAE=∠DAG，AG=AE
∵∠BAD=2∠EAF
∴
∴∠EAF=∠GAF
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴GE=FE
∴GD +DF= GF=EF
∵BE=GD
∴BE+FD=EF
故答案为BE+FD=EF．
（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE.如图2所示，在DF上截取BG=DF，并连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF
又∵AB=AD，BG=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠BAG=∠DAF，AG=AD
∴
∴
∴∠EAG=∠EAF
又∵AG=AD，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE
∴GE=FE
∴EF +DF= GE+BG =BE
故正确结论是EF+FD=BE；
（3）
方法一：延长AB至K，使得BK=BC，∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBM=180°，
∴∠CBD=∠MBD
又∵BK=BC，BD=BD
∴ DBK≌△DBC（SAS）
可△知DK=DC，∠K=∠DCB，∠KDC=2∠BDC=90°
由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC
∵∠K+∠ACD=180°，∠DCN+∠ACD=180°，
∴∠K=∠DCN，即∠DCB=∠K=∠DCN
∴ DKM≌△DNC（AAS），
∴△MK=CN, DM=DN
∴BC=BK=BM+CN，且四边形AMDN为正方形
设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，
∴ ，
∴
∵
∴
方法二：延长AB至K，使得BK=BC，
∵∠ABD+∠CBD=180°，∠ABD+∠DBM=180°，
∴∠CBD=∠MBD
∴ DBK≌△DBC（SAS）
同△理得到∠DCB=∠DCN
可知DK=DC，∠K=∠DCB，∠KDC=2∠BDC=90°
由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，
过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，作DH⊥BC，由角平分线性质可得DM=DH=DN，即点D∵D为 ABC的“旁心”
∴BH=B△M，CH=CN
∴BC=BH+CH=BM+CN，且四边形AMDN为正方形
设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，
∴ ，
∴
∵
∴
故答案为 ．
【点拨】本题考查了三角形全等，全等中辅助线的引发，问题的关键是根据题意做出正确的辅助线，画出
示意图，根据题意推理即可．
