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专题 12.8 全等三角形的判定（HL）（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图， 于点 C， 于点D，要根据“ ”直接证
明 与 全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图， 于点D， 于点F， ．证明
不是利用“ ”的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）在 中， ，E是 上的一点，且 ，过
E作 交 于D，如果 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在 中， ， ， 于点
， 于点 ， ， ，则 的长是( )A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在 中，点 、 在 边上，点 在 边上，将
沿着 翻折，使点 和点 重合，将 沿着 翻折，点 恰与点 重合．结论：①
；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
6．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在 和 中， ，过
作 ，垂足为 交 的延长线于点 ，连接 ．四边形 的面积为 ，则
的长是（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点 是网格线交点，且点 在
的边 上，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，点D为 的中点， 的边 过点C，
且 ，连结 ， 的值为（ ）A． B．4 C． D．3
9．（20-21八年级上·重庆万州·期中）如图CD＝CB，AB＝AD，DA延长线交BC于点E，∠EAC＝49°，
∠BAE的度数（ ）
A．60° B．45° C．82° D．71°
10．（18-19七年级下·四川达州·期末）如图， ， ， 平分 ， 平分 ，
以下结论，其中正确的是（ ）
① ；②点 是 的中点；③ ；④ .
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图， ， ，垂足分别为C，B，要根据“ ”
证明 ，应添加的条件是 ．12．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，点D在 上，
．若 ，则 ．
13．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，已知 平分 于点E， 于点F，
， cm， cm，则 的长度为 cm．
14．（22-23八年级上·四川眉山·期中）如图，在四边形 中， ， ， ．若
， ，则 的度数为 ．
15．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图， ，如果点 在线段 上以
秒的速度由 点向 点运动，同时，点 从 点出发沿射线 运动．若经过 秒后， 与
全等，则 的值是 ．
16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点 是 内一点，连接 、 、 ，其中
， 平分 ，若 的面积为4，则 的面积是 ．17．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，
于点 ，点 在 上， ，若 ， ，则 的长为 ．
18．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 和 中， ， ，
，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 ．四边形 的面积为
12， ，则 的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形 中， 于 ， ，
．
求证： ； ．20．（8分）（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，在 中， 于点 ，点 在 上，
， ，点 为 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ．
求证：
(1) ；
(2) ．
21．（10分）（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中， 的角平分线 与
的垂直平分线 交于点D， 垂足分别为E，F．
（1）求证： ；
（2）若 求 的周长．
22．（10分）（23-24八年级上·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作
了进一步的探究：在一个支架的横杆点 处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示
小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到 位置，此时过点 作 于点
，当小球摆到 位置时，过点 作 于点 ，测得 （图中的点在同一平面内）．
（1）猜想此时 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求 的长．
23．（10分）（23-24八年级上·安徽六安·期末）在 中， ，点 分别在边 上，
（1）如图（1），若 ，求证： ．
（2）如图（2），若 ，则线段 与线段 相等吗？如果相等，请给出证明；
如果不相等，请说明理由．
24．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）综合与探究
问题背景
数学活动课上，“兴趣小组”将一副三角尺按不同的摆放位置来探究三条线段的数量关系．特例探究
（1）“兴趣小组”的同学决定从特例人手探究，他们将含 的三角尺按如图1所示的方式摆放在直线l
上， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为D，E，则
之间的数量关系为__________．
类比探究
（2）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图2所示的方式叠放在一起，当顶点B在线段 上且顶点
A在线段 上时，过点C作 ，垂足为P，猜想 之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用
（3）“兴趣小组”的同学将一副三角尺按如图3所示的方式叠放在一起，当顶点A在线段 上且顶点
B在线段 上时，连接 ，若 ，求 的面积．参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可；
【详解】解：∵ ， ，
∴当 时， ．
当 时， ．
故选D．
2．B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵ 于点D， 于点F， ．
∴ ，
∵ ，
∴补充： 或 ，
可得： ，故A，C不符合题意；
补充 ，
∴ ，
∴ ，故D不符合题意；
补充 ，
∴ ，
∴ ，故B符合题意；
故选B
3．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有 、 、 、 、
．
根据 可判定 ，再根据全等三角形的性质得出 ，最后根据线段的和差即可
得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明 ，又由 ，
，得出 ， ，进而得出答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故选B
5．B
【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．将 沿着 翻折，可得 ， ，将
沿着 翻折，可得 ， ，进而得到 ， ，
从而判断①②正确，再假设③④成立，得到与题干条件矛盾，从而判断①②不一定正确．
【详解】解：∵将 沿着 翻折，使点B和点E重合，
∴ ， ，
∵将 沿着 翻折，点C恰与点A重合，
∴ ， ，
∴ ，∴④正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
当 ，则 ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，与题干条件矛盾，故①不准确，同理：当 ，而 ， ，
则 ，
∴ ，
结合三角形的内角和可得： ，与题干条件矛盾，故②不准确，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识．过点 作 于 ，证
，得 ，再证 ，同理 ，得 ，进
而得到 的长．
【详解】解：过点 作 于 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
解得： ；
故选：A．
7．A
【分析】根据全等三角形的判定与性质 ， ，再根据直角三角形的判定及性质可知
，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形
的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．8．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由 可得到 ，再由 ，D为 的中点，得到 和
，根据线段比例关系得出结果即可．
【详解】解：延长 ，交于 点 ，如图所示
，D为 的中点，
，
又 ，
，
，
同理可证： ，
，
，
，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
9．C
【分析】证明 ABC≌△ADC得∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49°，进而根据三角形内角和定理得结果．
△【详解】解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA=∠DCA，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，
∴∠B+∠ACB=49°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的
外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB=49°．
10．D
【分析】如图作EH⊥AD于H．利用角平分线的性质定理，证明三角形全等即可解决问题；
【详解】解：如图作EH⊥AD于H．
∵ 平分 ， ，EH⊥AD，
∴EH=BE，
∵DE＞EH，
∴DE＞BE，故①错误，
∵EA平分∠BAD，EB⊥BA，EH⊥AD，
∴BE=EH，
同法可证：EH=EC，
∴EB=EC，故②正确，
∵∠B=∠EHA=90°，AE=AE，EB=EH，
∴Rt△EAB≌Rt△EAH（HL），
∴AH=AB，∠AEB=∠AEH，
同理可证：△EDH≌△EDC（HL），∴DH=DC，∠DEH=∠DEC，
∴AD=AH+DH=AB+CD，∠AED= （∠BEH+∠CEH）=90°，故③④正确，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．
【分析】根据“ ”判定方法求解即可．此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“
”是解题的关键．
【详解】解：应添加的条件是 ，理由是：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即应添加的条件是 ，
故答案为： ．
12． /45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明 ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
13．3
【分析】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，证 、
是解题关键．【详解】解：∵ 平分 于点E， 于点F，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ ， cm， cm，
∴
故答案为：3
14． / 度
【分析】证 可得 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵ ，
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关内容是解题关键．
15．1或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．利
用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当 和②当 时，设运动时
间为 秒，点 的运动速度为 秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设 ． 两点的运动时间为 秒，点 的运动速度为 秒，
则 ， ， ．，
①当 时，
， ．
，
；
②当 时，
， ，
，
．
综上，当 的值是1或 时，能够使 与 全等．
故答案为：1或 ．
16．8
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得
到 ，是解题关键．
【详解】解：延长 交 于点E如图：
， 平分 ，
，
，
，
， ，，
的面积为4，
，
故答案为：8．
17．
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由 为角平分线，利用角平分线定
理得到 ，再由 ，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对应
边相等得出 ，利用 得到三角形 与三角形 全等，利用全等三角形对应边相等得到
，由 ，即可求解．
【详解】解： 是 的平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
在 和 中，
，
，
，
，
故答案： .
18．3
【分析】过点 作 于 ，证 ，得 ，再证 ，同理，得 6，进而得到 的长．
【详解】解：过点 作 于 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造
全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
19．详见解析
【分析】过点 向 作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．
【详解】如图，过点 作 与点 ，则 ，
， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
∵ ，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得 和 都是直角三角形，再利用 定理证明三角形全等即可；
（2）根据 证明 ，得到 再利用直角三角形的两锐角互余得出 ．
【详解】（1） ，
．
又 ， ，
；
（2） 为 中点，
．
， ，
，
．
由（1）得 ，
．
，
，
．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形
全等的判定方法是解题关键．
21．(1)详见解析
(2)17
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定
和性质是解题的关键．
（1）证明 ，即可得到结论；
（2）证明 ，则 ，由（1）可知 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵D在 的中垂线上
∴
∵ ． 平分
∴∴
∴
（2）∵ 平分
∴
∵
∴
又∵ ．
∴
∴
由 (1) 可知
∴ 的周长为：
22．(1) ；见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明 ，得出 ，根据 ，求出 ，即可证明结论；
（2）根据 ，得出 ，根据 ，求出结果即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 于D， 于E，
∴ ，
又∵根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
答： 的长为 ．
23．(1)证明详见解析；
(2)相等，理由详见解析．
【分析】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质．
(1)根据直角三角形的全等判定证明即可．
(2)过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ．仿照(1)证明直角三角
形全等即可．
【详解】（1） ，
均为直角三角形，
又
．
（2）相等，理由如下：
如图所示，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ．
，
，
，
，
，．
24．（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角板中角度的计算，线段的和差计算，熟练掌握相关
性质定理是解题关键
（1）根据题意可知两个三角板都是等腰直角三角形，可证 ，从而得出三边关系；
（2）通过角度之间的关系得出 ，从而证明 ，从而得出三边关系；
（3）先证明 ，得出 ，从而求出结果．
【详解】解：（1） ，理由如下：
由题意可知： ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2） ．
理由：因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（3）如图，过点C作 交 的延长线于点P．因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
