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江阴市普通高中 2022 年秋学期高三阶段测试卷
数学 2023.1
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数 为纯虚数，则 （ ）
A．0 B． C．2 D．5
3．给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A． 是 的充分不必要条件
B． 是 的必要不充分条件
C． 是函数 为奇函数的充要条件
D． 是函数 在 上单调递增的既不充分也不必要条件
4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的
外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六
棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，若满足 的点 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆
及其内部，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设 ， ， ，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
9．若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t（单
位：时），则以下说法中正确的选项是（ ）
A．时针OA旋转的角速度为
B．分针OB旋转的角速度为
C．一小时内（即 时）， 为锐角的时长是
D．一昼夜内（即 时），S取得最大值为44次
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取
出一球放入乙箱，分别以 ， 和 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取
出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件 相互独立 B．
C． D．
12．已知P为抛物线 上的动点， 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l
与抛物线C交于A，B两点， ， ，则（ ）
A． 的最小值为5
B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为
C．若 ，则直线的斜率为2
D．过点 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为 ，则EF平分
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．在平面直角坐标系xOy中，直线 与双曲线 的一条渐近线平行，且双曲线的一
个焦点在直线l上，则双曲线的方程为__________．
14． 的展开式中x的升幂排列的第3项为__________．15．已知函数 ，曲线 在点 处的切线与y轴相交于点 ，
则函数 的极小值为__________．
16．（第一空2分，第二空3分）已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ， ，则向量
__________；若向量 与向量 的夹角为 ，向量 ，其中 ，
当 时，实数a的取值范围为__________．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答
题卡相应的位置上．）
17．（本题满分10分）
已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若 ， ， ，求BD．
18．（本题满分12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
19．（本题满分12分）
天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任
务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标 服从正态分布
，航天员在此项指标中的要求为 ．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，
特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行 4
个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为 ，
且相互独立．（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终
通过学校选拔的人数Y的期望值．
参 考 数 值 ： ， ，
．
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ，
平面PAD，点M满足 ．
（1）若 ，求证：平面 平面PCM；
（2）设平面MPC与平面PCD的夹角为 ，若 ，求 的值．
21．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，设曲线 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 上
的点到原点O的最短距离为 ．以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为 ．
（1）求椭圆 的标准方程：
（2）设AB是过椭圆 中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M
是l与椭圆 的交点，求△AMB的面积的取值范围．22．（本题满分12分）
已知函数 ．
（1）若 有两个零点，求a的取值范围；
（2）若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．【答案】A
【解析】 ， ， ， ，选A．
2．【答案】D
【解析】 为纯虚数，
∴ ，∴ ，∴ ，选D．
3．【答案】C
【解析】“ ”是“ ”的充要条件，A错．
“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件，B错．
时， 是奇函数，充分， 为奇函数，
则 ，则为充要条件，故答案选C．
4．【答案】B
【解析】设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，
正六棱柱的侧面积 ，正六棱锥的母线长
，
又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则 ，∴
，选B．5．【答案】C
【解析】 ，∴ 为奇函数关于原点对称，排除B．
时， ，∴排除D．
， ，排除A，选C．
6．【答案】D
【解析】 ， ， 成等比数列， ，
∴ ，∴ ，选D．
7．【答案】B
【解析】 ，则 ， ，
圆心 ， ， 都在 ，则两圆内切或内含．
∴ ，∴ ，故选B．
8．【答案】C
【解析】 ，∵ ，∴
，且 时， （泰勒展开式求导易证）
∴ ，∴ ，
∴ ，选C．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
9．【答案】AB【解析】 ，则 ，A对，C错．
，则 ，B对，D错，选AB．
10．【答案】ACD
【解析】OA旋转的角速度为 ，A对．
OB旋转的角速度为 ，B错．
或 ， ，
则 或 ， ，C对．
的周期为 且每个周期仅岀现一次最大值
故最大值取得的次数为 ，D对，选ACD．
11．【答案】BD
【解析】 ， ，
先 发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球， ，
先 发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球， ，
先 发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球， ．
，B对．
，，
，C错．
，A错．
，D对．
12．【答案】ACD
【解析】 在抛物线 上，∴ ，抛物线： ， ．
对于A，过点P作抛物线的准线 的垂线FD，垂足为D，
由抛物线定义可知 ，连接DM，则
M，P，D三点共线时， 取最小值 ，A对．
对于B，∵ 为AB中点，则 ，
∵ ， 在直线l上， ，∴ ，
N到直经l的距离 ，则 ，B错．
对于C，设 代入 得 ，
令 ， ， ， ，
，
， ，∴ ，C对．
对于D， 在抛物线上且 轴，设 ， ，易知EG，EH斜率存在， ， ， ，
则 ， ，
则EF平分 ，D对．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．【答案】
【解析】由题意 ，∴ ，双曲线： ．
14．【答案】
【解析】 展开式第 项
展开式第 项
， ， ，
， ， ，
， ， ，
．
15．【答案】
【解析】切点 ， ，
切线： 过 ，∴， 或3，
在 ， ， ， ．
16．【答案】 ；
【解析】设 ， ， ，
∴ 或 ，∴ 或 ， 与 夹角的 ，则
∴
∴
， ， ，
，∴ ，
∴ ，∴ ．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请
将答案填写在答题卡相应的位置上．）
17．【解析】（1）在 和 中，分别由正弦定理∵ ，由AD平分 ，
∴ ．
（2）∵ ， ， ，∴ ，
∵AD平分 ，由（1）知 ，∴ ．
18．【解析】（1）设 公差为d，∴
∴ ，∴ ．
（2）
∴ ，①
，②
① ②
∴ ．
19．【解析】（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，
， ， ，
∴X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P
．（2） ．
∴符合该项指标的学生人数为： 人
每个学生通过投的概率对 ，
∴最终通过学校选拔人数 ，
∴ ．
20．【解析】（1）证明：∵ ， ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，而 ，∴ ，∴ ．
∵ 平面PAD， 平面ABCD，
∴平面 平面PAD且平面 平面 ，
由 平面PAD， 平面ABCD，∴ ，
且 ， ， ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ 平面PCM．
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ，
或由 ，∴ 且 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）如图建系，∵ ，∴ ，∴ ，， ， ，∴ ， ， ，
设平面MPC与平面PCD的一个法向量分别为 ， ，
∴
，
∵ ，∴
，∵ ，
∴ ．
21．【解析】（1）曲线 围成的图形如图∴ ，即
且 ，解得 ，
∴椭圆 的标准方程为 ．
（2）方法一：①若AB斜率为0，则 ；
②若AB斜率不存在，则 ；
③若AB斜率存在且不为0，设AB方程为
，∴
∵ ，
∴
令 ， ，∴
一方面 ，另一方面
综上： 面积的取值范围为 ．
方法二：设 ， ，不妨设 ，由A，M在椭圆上
，而 ，③
① ③ ，
且
由 解得
综上： 面积的取值范围为 ．
22．【解析】（1） ．
当 时， ， 在R上 ， 不可能有两个零点；
当 时，令 且 在 上 ； 上 ，
要使 有两个零点，首先必有
当 时，注意到 ， ， ，
∴ 在 和 上各有一个零点 ， 符合条件．
综上：实数a的取值范围为 ．（2）由 有两个实根 ， ，
∴令 ，∴ 有两个实根 ， ，
要证：
只需证：
由 ，结合①知
① ②
证： ，即证：
而 ，证毕！
