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江西省五市九校协作体 2023 届第一次联考数学（理科）试卷答案
三．解答题：
17.解（1）
数列
是递增的等比数列，且
，
，
，
，
是方程
的两个根，
解方程
，
得
，
，
，
，
．
（2）由（1）得：
，
，
数列
的前
项和：
，且
对一切
成立，
，解得
，
最小正整数
为2022．
18.（1）证明：取
的中点
，连接
交
于
，连接
，
，
因为
是菱形，所以
，且
是
的中点，
所以
且
，又
，
，
所以
且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
平面
，
所以
平面
，所以
平面
，
一．序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
C
D
A
A
A
A
B
D
D
二．填空
题
13.
182
14.
8
3
15.
10
16.
6
又
平面
，所以平面
平面
；
（2）解：取
的中点
，由四边形
是菱形，
，则
，
是正三角形，
，
，又
平面
，
所以以
为原点，
，
，
为坐标轴建立空间直角坐标系，
设在棱
上存在点
使得平面
与平面
的夹角为
，
则
，
，
，
，
，
，
则设
，
，
所以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，即
，令
，
，
得
平面
的法向量可以为
，
，解得
，
所以
，则
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，得
，
所以点
到平面
的距离
.
19.（1）由频率分步直方图得，得分为17，18 的人数分别为6 人，12 人，
所以两人得分之和不大于35 分为两人得分均为17 分，或两人中1 人17 分1 人18 分，
所以
.
（2）
又
，所以正式测试时，
，所以
，
①所以
，所以
人；
②由正态分布模型，任取1 人，每分钟跳绳个数195 以上的概率为
，即
，
所以
，
所以
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
所以
.
20（1）
设椭圆
的右焦点为
，连接
，
根据椭圆的对称性可知
，四边形
为平行四边形.
又
，所以
而
，所以
，
在四边形
中，
，
所以
，
在
中，根据余弦定理得
即
化简得
.
所以椭圆
的离心率
；。。。。。。5 分
（2）
因为椭圆
的上顶点为
，所以
，所以
，
又由（1）知
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
.
在
中，
，
，
所以
，从而
，
又
为线段
的中点，即
，所以
，
因此
，从而
，
根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为
，
，
，
联立
消去
得
①，
，
根据韦达定理可得
，
，
所以
所以
，
整理得
，解得
或
.
又直线不经过点
，所以
舍去，
于是直线的方程为
，恒过定点
，
该点在椭圆
内，满足关于
的方程①有两个不相等的解，
所以直线恒过定点，定点坐标为
.。。。。。。12 分
21．(1)
；
(2)【分析】(1)
在
内有两个不同的极值点
、
，等价于
在
内有
两个不同的零点
、
.研究
的单调性和零点情况即可求出a 的范围；
(2)设
，由(1)知
且
，则
，
将a=
代入要证的不等式
，可将不等式化为
，令
，则不等式化为
，问题转化为
在(0，1)恒
成立即可．
(1)
函数
定义域为
，
在
内有两个不同的极值点
、
，等价于
在
内有两个
不同的零点
、
．设
，由
，
当
时，
，
在
上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；
当
时，在
上
，
单调递增；在
上
，
单调递减，
∴当
时，
，函数
有两个零点，则必有
，
即
，解得
．
易证
，证明如下：令
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
，故
，得证．∴
，
又
，∴
在
和
上各有一个零点
、
，此时：
0
0
↓
极小值
↑
极大值
↓
故
在定义域内有两个不同的极值点
时，a 的范围为
；
(2)
方法1：由(1)可知
是
的两个零点，不防设
，
由
且
，得
．
∵
．
令
，则
，
记
，
，
则
，令
，
．
又
，则
，即
，
∴
在
上单调递增，故
，即
成立．
∴不等式
成立．
方法2：欲证
，由
，
，则只需证：
．
不妨设
，
则
且
，则
，
∴
，
令
，则
，记
，
，
由
，即
在
上单调递增，故
，即
成立.故
．
【点睛】本题第一问关键是找到x=1 和x=
，判断
，
，从而根据零点
存在性定理判断
在
和
上各有一个零点；第二问的关键是利用
是
的两个零点用
替换a，再利用换元
将双变量转化为单变
量进行证明．
22．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）求得
的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可；
（2）求得曲线
的普通方程，结合
的直角坐标方程，求得交点的直角坐标，再转化为
极坐标即可.
【详解】（1）对点
，设其直角坐标为
，则
，即其直角坐标为
，
故
在直角坐标系下的方程为：
，
由
可得：
，
故
的极坐标方程为：
.
（2）由题可得曲线
的普通方程为：
，联立
，
可得
，解得
或
，又
，故
，则
，
即曲线C 与
交点的直角坐标为
，设其极坐标为
，
则
，
，
即曲线C 与
交点的极坐标为
.
23、
（1）当a＝3 时，
即为
，
等价于
或
或
，
解得
或
或
，
则原不等式的解集为
；。。。。。。5 分
（2）不等式
的解集非空等价于
有解．
由
，
（当且仅当
时取得等号），
所以
，解得
，故a 的取值范围是
．。。。。。。10 分
