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专题14.16 乘法公式（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2011·甘肃天水·中考真题）已知 ，mn=2，则 的值为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
8．（2021·四川广元·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
9．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（
）
A． B．
C． D．
10．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为 米（ ）的正方形
土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，
变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积
会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·四川德阳·统考中考真题）已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ．
12．（2021·江苏扬州·统考中考真题）计算： ．
13．（2022·湖南益阳·统考中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是
．
14．（2022·上海·统考中考真题）解方程组 的结果为 ．
15．（2022·四川广安·统考中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为 ．
16．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式 是一个完全平方式，则实数t
的值为 ．17．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足 ，则
．
18．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ， 的平方差，
且 ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如， ，16就是一个智慧优数，可以利用
进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智
慧优数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·青海西宁·统考中考真题）计算： ．
20．（8分）（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算： ．
21．（10分）（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
22．（10分）（2023·四川凉山·统考中考真题）先化简，再求值：
，其中 ， ．23．（10分）（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 ， 的
正方形秧田 ， ，其中不能使用的面积为 ．
（1）用含 ， 的代数式表示 中能使用的面积___________；
（2）若 ， ，求 比 多出的使用面积．
24．（12分）（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等
的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当 时，该小正方形的面积是多少？参考答案
1．D
【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、
利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
解： 和 不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握
完全平方公式是解本题的关键.
2．A
【分析】根据幂的运算法则，乘法公式处理．解：A. ，正确，符合题意；
B. ，原计算错误，本选项不合题意；
C. ，原计算错误，本选项不合题意；
D. ，原计算错误，本选项不合题意；
【点拨】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
解：A、 ，本选项符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】 变形为 ，将 变形为 ，然后整体
代入求值即可．
解：由 得： ，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为 ．
5．C
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可．
解：A. ，原式计算错误；
B. ，原式计算错误；
C. ，计算正确；
D. ，原式计算错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘
法公式是解题的关键．
6．C
【分析】根据同底数幂相除法则判断选项A；根据幂的乘方法则判断选项B；根据平方差公式判断选
项C；根据完全平方公式判断选项D即可．
解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算正确，符合题意；
D． ，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂相除法则、幂的乘方法则、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌
握各运算法则是解答本题的关键．
7．C
【分析】将完全平方式展开，然后根据（m+n）2=11，mn=2，求出m2+n2的值，再整体代入求解．
解：∵（m+n）2=11，mn=2，
∴m2+n2+2mn=11，
∴m2+n2=11-2mn=11-4=7，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=7-4=3．
故选：C．
【点拨】此题主要考查完全平方式的展开式，解此题的关键是学会将（m-n）2进行拆分，然后再整体
代入，比较简单．
8．B
【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行
计算即可判断求解．
解：A. ，原选项计算错误，不合题意；
B. ，原选项计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，原选项计算错误，不合题意．
故选：B
【点拨】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．
9．A
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为
b的正方形的面积，即可解答．
解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
10．C
【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可．
解：原来的土地面积为 平方米，第二年的面积为
所以面积变小了，
故选C．
【点拨】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
11．6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点拨】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
12．4041
【分析】利用平方差公式进行简便运算即可．
解：
=
=
=4041
故答案为：4041．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，解题时注意运算顺序．
13．3
【分析】观察已知和所求可知， ，将代数式的值代入即可得出结论．
解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴ ，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
14．
【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得 ④，联立①④利用加减消元法，算出
结果即可．
解：
由②，得： ③，将①代入③，得： ，即 ④，
① ②，得： ，
解得+： ，
① ②，得： ，
−
解得： ，
∴方程组 的结果为 ．
【点拨】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是
解决本题的关键．
15．10
【分析】根据平方差公式，把原式化为 ，可得 ，即可求解．
解：a2﹣b2 +2b+9
故答案为：10
【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
16． 或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
解：∵代数式 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，故答案为： 或
【点拨】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
17．
【分析】根据完全平方公式得
，再代值计算即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式 及其
变式是解题本题的关键．
18．
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
解：依题意， 当 ， ，则第1个一个智慧优数为
当 ， ，则第2个智慧优数为
当 ， ，则第3个智慧优数为 ，
当 ， ，则第4个智慧优数为 ，
当 ， ，则第5个智慧优数为
当 ， ，则第6个智慧优数为
当 ， ，则第7个智慧优数为……
时有4个智慧优数，同理 时有 个， 时有6个，
列表如下，
观察表格可知当 时， 时，智慧数为 ，
时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
， 时，智慧数为 ，
第1至第10个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第11至第20个智慧优数分别为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
第21个智慧优数 ，第22个智慧优数为 ，第23个智慧优数为
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
19．
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；解：原式
.
【点拨】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
20．
【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．
解：
．
【点拨】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
21． ，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
解：
当 时，
原式
．
【点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
22． ，
【分析】根据 ， ，单项式乘以多项式法则进行展开，再加
减运算，代值计算即可．
解：原式．
当 ， 时，
原式
．
【点拨】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式
及法则是解题的关键．
23．（1） ；（2）50
【分析】（1）利用正方形秧田 的面积减去不能使用的面积 即可得；
（2）先求出 中能使用的面积为 ，再求出 比 多出的使用面积为 ，利用平方差公式求
解即可得．
（1）解： 中能使用的面积为 ，
故答案为： ．
（2）解： 中能使用的面积为 ，
则 比 多出的使用面积为 ，
， ，
，
答： 比 多出的使用面积为50．
【点拨】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．
24．（1） ；（2）36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直
角边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．（1）解：∵直角三角形较短的直角边 ，
较长的直角边 ，
∴小正方形的边长 ；
（2）解： ，
当 时， ．
【点拨】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的
关键．
