文档内容
专题 14.3 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全
平方公式)的灵活运用
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 对乘法公式的识别问题】........................................................................................................................1
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】........................................................................................................3
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】........................................................................................................4
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】................................................................................................................6
【考点五 利用乘法公式的变式求值】....................................................................................................................8
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】....................................................................................10
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】......................................................................................................14
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】..................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................25
【典型例题】
【考点一 对乘法公式的识别问题】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·上海·期中） 的计算结果是（ ）A． B．
C． D．
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】
例题：（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x的整式 是某个整式的平方，那么m的
值是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于 的二次三项式 是完全平方式，那么 的值是
．
2．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足 ，那么 ．
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】
例题：（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值： ，其中 、
．
2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】
例题：（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算(1)
(2)
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）用简便算法计算．
(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级上·四川乐山·期中）利用乘法公式计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【考点五 利用乘法公式的变式求值】
例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知 ，求
(1) ；
(2)
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知 ，求：
(1) 的值；
(2) 的值．
2．（24-25七年级上·上海·期中）应用完全平方公式解决下列问题：
(1)已知 ， ，求 和 的值；
(2)已知 ，求 和 的值．
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多
数学问题例如：若 ， ，求 的值．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
得 ．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
(3)求代数式 的最小值，并求出此时的 的值．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问
题．观察下列式子：
① ，
∵ ，∴ ．因此代数式 有最小值 ；
② ．
∵ ，∴ ．因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最大值为________；
(2)求代数式 的最小值；(3)如图，在四边形 中，对角线 、BD相交于点 ，且 ，若 ，求四边形
面积的最大值．
2．（24-25八年级上·山东日照·期中）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式
及 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式
的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： ．
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当 _____时，代数式 有最小值；最小值是________________；
又如探求多项式 的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式 ，因为无论 取什么数，都有
的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是
，所以当 时，原多项式的最小值是-22．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求：
（2）多项式 的最小值是多少，并写出对应的 的取值．
（3）多项式 的最大值是多少，并写出对应的 的取值．
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为 的
小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分
面积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种
图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算： ；
(3)【拓展】计算： ．
2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余
部分拼成一个长方形（如图②）．(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
C．
(2)若 ， ，求 的值．
(3)计算： ．
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题呈现】
已知 ， ，求下列各代数式的值：① ； ② ．
（2）【问题推广】
若 ，则 ________；
（3）【问题拓展】
如图，已知E，F分别是正方形 的边AD， 上的点，且 ， ，长方形 的面积
是20，分别以 ， 为边长作正方形 和正方形 ，直接写出阴影部分的面积．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计
算同一个图形的面积，探索了完全平方公式： （如图1）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种
常用方法．
（1）观察图2请你写出 、 、 之间的等量关系是__________；
（2）根据（1）中的结论，若 ， ，且 ，则 __________；
（3）由完全平方公式： ，可得 __________
拓展应用：若 ，求 的值．
（4）拓展：如图3，在 中， ， ，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，
使 ，设 ，分别以BC，CQ为边在 外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连
接BQ，若 ， 的面积等于 ，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和．
2．（24-25八年级上·海南海口·期中）在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙
两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．
(1)【理解探究】
①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到 之间的等量关系式： ；
②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式： ；
(2)【类比应用】根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知 ，求 和 的值；
(3)【拓展升华】
如图4，在 中， ， ，点 是边CE上的点，在边 上取一点， ，使 ，
设 ，分别以 ， 为边在 外部作正方形 和正方形 ，连接 ，若
， 的面积等于 ，直接写出正方形 和正方形 的面积和．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列等式，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若多项式 是关于 、 的完全平方式，则 的值
为（ ）
A．21 B．19 C．21或 D． 或19
3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则M的最小值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
4．（24-25七年级上·上海·期中）老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其
裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分
的面积，从左至右验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算： ．
7．（24-25九年级上·四川资阳·阶段练习）代数式 是一个完全平方式，则 ．
8．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知 ， ，则 的值为 ．
9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）当 时，代数式 有最大值．
10．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学
校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，
其中重叠部分B为池塘，阴影部分 ， 分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若 ，
，则 ．三、解答题
11．（22-23八年级上·海南三亚·期中）利用乘法公式进行简便计算：
(1) ；
(2) ．
12．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知 ， ，求下面各代数式的值：
(1) ；
(2) ．
13．（24-25八年级上·全国·期中）（1）先化简，再求值： ，其中
．
（2）先化简，再求值． （其中 满足
）．
14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）代数推理：
例题：求 的最小值．
解：
无论 取何值， 总是非负数，
即 所以 ，
所以：当 时， 有最小值，最小值为5．阅读材料：利用完全平方式，将多项式 变形为 的形式，然后由 就可以求
出多项式 的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ______ ______ ；
(2)仿照例题的方法求出 的最小值；
(3)若一个长方形的长和宽分别为 和 ，面积记为 ，另一个长方形的长和宽分别为5a和
，面积记为 ，试比较 和 的大小，并说明理由．
15．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：
已知： 满足 ，求 的值．
设 ， ，
则 ， ，
因此 ．
用上面的方法解下列问题：
(1)已知： ，求 的值；
(2)如图，已知正方形 的边长为 ， 、 分别是边 、 上的点， 、 ，分别以
、 为边作正方形．
① ______， ______（用含 的式子表示）；
②若长方形 的面积是48，试求阴影部分的面积．16．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表
示一些代数恒等式．例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若 ， ，求 的值；
(2)【类比应用】填空：
①若 ，则 ______；
②若 ，则 ______；
(3)【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（ ）如图2所示放置，其中
A，O，D在一直线上，连接 ， ．若 ， ，求一块直角三角板的面积．
