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专题 15.2 解分式方程
a b−x
【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解；
a b−x
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数
确定b的取值．
【解题过程】
（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
2 1−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
1
解得：x=− ，
5
1
检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0，
5
1
∴原分式方程的解为：x=− ．
5
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
1 b−x
得： − =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，去括号，得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10，
11
①当11−2b=0时，即b= ，原分式方程无解；
2
3b−10
②当11−2b≠0时，得x= ，
11−2b
3
Ⅰ.x=− 时，原分式方程无解，
2
3b−10 3
即 =− 时，
11−2b 2
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
3b−10
即 =5时，
11−2b
此时b=5；
11 a b−x
综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解．
2 2x+3 x−5
a b−x
（3）解：把a=3b代入分式方程 − =1中，
2x+3 x−5
3b x−b
得： + =1，
2x+3 x−5
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
整理得：(10+b)x=18b−15，
18b−15 18(b+10)−195 195
解得：x= = =18− ，
10+b 10+b 10+b
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
x m
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2．则关于y的方程
x−1 x2−1
m y2−2y+1 的解为（ ）
+2= +1
y2−2y (y−1)(y−2)
3 1
A．y=−3 B．y=− C．y= D．y=3
7 3
1 m+1 m+2 7
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程 + = 的解满足−4<x< ，则整数m有
x−3 x+3 x2−9 2
（ ）个．
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
1 1 1 1
3．（2023·全国·九年级专题练习）方程 + = + 的解为y=____________.
y−2 y−8 y−4 y−6
1 a−x
4．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为 _____．
2x+3 x−5
5．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）解下列方程：
1 3−x x+1 3 4
（1）3− = ； （2） = − ．
2−x x−2 4x2−1 2x+1 4x−2
6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）解分式方程
3 1 5 5x−4 4x+10
（1） − = （2） = −1
2 3x−1 6x−2 x−2 3x−6
7．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程：
1−x 2 2x 1 3
（1） −1= ； （2） + = ．
x−2 2−x x2−6x+9 x−3 x+3x+5 x+2 x+3 x+4
8．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
x+2005 x+2007 x+2008 x+2004
9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： + = + .
x+2004 x+2006 x+2007 x+2003
10．（2023·全国·九年级专题练习）解方程
16x−13 40x−43 32x−30 20x−24
（1） + = +
4x−3 8x−9 8x−7 4x−5
1 1 1 2001
（2） + +⋯+ =
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) 3x+6006
x x+1 x−2m
11．（2022秋·上海·七年级专题练习）当m为何值时，分式方程 − = 的解不小于1?
x+3 x−2 x2+x−6
x−a 5
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于x的分式方程 − =1
x−2 x
（1）若分式方程的根是x=5，求a的值
（2）若分式方程有增根，求a的值
（3）若分式方程有无解，求a的值1 1 1
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）观察下列各式： = =1− ，
2 1×2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = − ， = = − ， = = − ， = = − ，…
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5 30 5×6 5 6
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．
1 1 1 1 1
（2）请利用上述规律计算： + + +⋯+ + ．（n为正整数）
2 6 12 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1
（3）请利用上述规律，解方程： + + = ．
(x−2)(x−1) (x−1)x x(x+1) x+1
14．（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ，利用上面这个运算规律解决以下问题：
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1
（1）求 + + 的值；
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1
（2）证明： + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n−1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
（3）解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+115．（2023春·八年级课时练习）先阅读下面的材料，然后回答问题：
1 1 1
方程x+ =2+ 的解为x =2，x2 = ；
x 2 ❑1 ❑ 2
1 1 1
方程x+ =3+ 的解为x =3，x = ；
x 3 ❑1 ❑2 3
1 1 1
方程x+ =4+ 的解为x =4，x = ；
x 4 ❑1 ❑2 4
…
1 1
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+ =6+ 的解是 ；
x 6
1 1
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+ =a+ 的解是 ；
x a
y+2 10 1 1
（3）由（2）可知，在解方程y+ = 时，可以变形转化为x+ =a+ 的形式求值，按要求写出你
y+1 3 x a
的变形求解过程．
2x−1 x+2 17
（4）利用（2）的结论解方程： + = ．
x+2 2x−1 416．（2023春·八年级课时练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
x−1 4x
解方程： − =0
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程化为：y− =0，方程两边同时乘以y得：y2−4=0，解得：y=±2，经检
x y
验：y=±2
4
都是方程y− =0的解，
y
x−1 x−1 1
∴当y=2时， =2，解得x=−1；当y=−2时， =−2，解得：x= ．
x x 3
1
经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的解，
3
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．
3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
x−1 x 5
（1）若在方程中 + = ，设 = y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
x x−1 2
x−1 3
（2）模仿上述换元法解方程： − −1=0．
x+2 x−117．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）对x,y定义一种新运算T，规定
ax2+b y2
T(x,y)= （其中a,b是非零常数，且x+ y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：
x+ y
a×32+b×12 9a+b am2+4b
T(3,1)= = ， T(m,−2)= ．
3+1 3+1 m−2
（1）填空：T(4,−1)= （用含a,b的代数式表示）；
（2）若T(−2,0)=−2，且T(5,−1)=6．
①求a与b的值；
②若T(3m−10,−3m)=T(−3m,3m−10)，求m的值．mn
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们定义：形如x+ =m+n（m，n不为零），且两个解分别为
x
x =m，x =n的方程称为“十字分式方程”．
1 2
6 2×3
例如x+ =5为十字分式方程，可化为x+ =2+3，∴x =2，x =3．
x x 1 2
7 (−1)×(−7)
再如x+ =−8为十字分式方程，可化为x+ =(−1)+(−7)．∴x =−1，x =−7．
x x 1 2
应用上面的结论解答下列问题：
12
（1）若x+ =−7为十字分式方程，则x =______，x =______．
x 1 2
6 b a
（2）若十字分式方程x− =−5的两个解分别为x =a，x =b，求 + +1的值．
x 1 2 a b
2023k−2022k2
（3）若关于x的十字分式方程x− =2023k−2022的两个解分别为x ，x （k>2，
x−1 1 2
），求x +4044的值．
x >x 1
1 2 x
2
