专题15.2解分式方程（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 15.2 解分式方程 a b−x 【典例1】已知，关于x的分式方程 − =1． 2x+3 x−5 （1）当a=2，b=1时，求分式方程的解； a b−x （2）当a=1时，求b为何值时分式方程 − =1无解； 2x+3 x−5 a b−x （3）若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值． 2x+3 x−5 【思路点拨】 （1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数 确定b的取值． 【解题过程】 （1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 2 1−x 得： − =1， 2x+3 x−5 方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)， 得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)， 1 解得：x=− ， 5 1 检验：把x=− 代入(2x+3)(x−5)≠0， 5 1 ∴原分式方程的解为：x=− ． 5 （2）解：把a=1代入原分式方程中， 1 b−x 得： − =1， 2x+3 x−5 方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)， 得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，去括号，得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15， 移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10， 11 ①当11−2b=0时，即b= ，原分式方程无解； 2 3b−10 ②当11−2b≠0时，得x= ， 11−2b 3 Ⅰ.x=− 时，原分式方程无解， 2 3b−10 3 即 =− 时， 11−2b 2 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 3b−10 即 =5时， 11−2b 此时b=5； 11 a b−x 综上所述，b= 或b=5时，分式方程 − =1无解． 2 2x+3 x−5 a b−x （3）解：把a=3b代入分式方程 − =1中， 2x+3 x−5 3b x−b 得： + =1， 2x+3 x−5 方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)， 得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)， 整理得：(10+b)x=18b−15， 18b−15 18(b+10)−195 195 解得：x= = =18− ， 10+b 10+b 10+b ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． x m 1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程 −1= 的解为x=2．则关于y的方程 x−1 x2−1 m y2−2y+1 的解为（ ） +2= +1 y2−2y (y−1)(y−2) 3 1 A．y=−3 B．y=− C．y= D．y=3 7 3 1 m+1 m+2 7 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程 + = 的解满足−42， x−1 1 2 ），求x +4044的值． x >x 1 1 2 x 2